Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:
- Найти все стороны треугольника.
- Найти все углы треугольника.
- Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
- Найти радиус (r) вписанной окружности.
- Найти радиус (R) описанной окружности.
- Найти высоту (h) треугольника.
Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.
Как найти длину стороны треугольника?
Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.
Для прямоугольного треугольника:
1) Найти катет через гипотенузу и другой катет
где a и b — катеты, с — гипотенуза.
2) Найти гипотенузу по двум катетам
где a и b — катеты, с — гипотенуза.
3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу
где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.
4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол
где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.
Для равнобедренного треугольника:
1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними
где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.
2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании
где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.
3) Найти боковые стороны по углу между ними
где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.
4) Найти боковые стороны по углу при основании
где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.
Для равностороннего треугольника:
1) Найти сторону через площадь
где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.
2) Найти сторону через высоту
где a — искомая сторона,h — высота треугольника.
3) Найти сторону через радиус вписанной окружности
где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.
4) Найти сторону через радиус описанной окружности
где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.
Для произвольного треугольника:
1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)
где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.
2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)
где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.
Скачать все формулы в формате Word
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем 
.
Решение:
Из теоремы косинусов имеем:
Откуда
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: 
Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:
И, наконец, находим угол C:
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Решение:
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
Далее, из формулы
найдем cosA:
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: 
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
Вычисления выше легко производить инженерным онлайн калькулятором.
Из формулы (3) найдем cosA:
Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos или инженерный онлайн калькулятор находим угол A:
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Решение:
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
Откуда
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: 
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
Ответ:
Информация по назначению калькулятора
Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.
В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.
Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.
Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:
⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.
⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.
Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:
⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.
⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).
⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.
Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:
- Длины сторон
- Углы
- Высота
- Периметр
- Площадь
- Медианы
- Биссектрисы
- Радиус Вписанной и Описанной окружностей
- Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
- Длина Вписанной и Описанной окружностей
- Площадь Вписанной и Описанной окружностей
— равны в равностороннем треугольнике
— также равны в равностороннем треугольнике
— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)
— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)
— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)
Triangle is a closed figure which is formed by three line segments. It consists of three angles and three vertices. The angles of triangles can be the same or different depending on the type of triangle. There are different types of triangles based on line and angles properties.
Properties of a Triangle:
1. Each triangle has 3 sides and 3 angles.
2. Sum of all the angles of triangles is 180°
3. Perimeter of a triangle is the sum of all three sides of the triangle.
4. A triangle has 3 vertices.
Types of Triangles based on line Properties
Scalene Triangle: Scalene Triangle is a type of triangle in which all the sides are of different lengths. All the angles of a scalene triangle are different from one another.
Isosceles Triangle: Isosceles Triangle is another type of triangle in which two sides are equal and the third side is unequal. In this triangle, the two angles are also equal and the third angle is different.
Right-angled Triangle: A right-angled triangle is one that follows the Pythagoras Theorem and one angle of such triangles is 90 degrees which is formed by the base and perpendicular. The hypotenuse is the longest side in such triangles.
Equilateral Triangle: An equilateral triangle is a triangle in which all the three sides are of equal size and all the angles of such triangles are also equal.
Finding Third Side of a Triangle given Two Sides
Lets assume that the triangle is Right Angled Triangle because to find a third side provided two sides are given is only possible in a right angled triangle.
We know that the right-angled triangle follows Pythagoras Theorem
According to Pythagoras Theorem, the sum of squares of two sides is equal to the square of the third side.
(Perpendicular)2 + (Base)2 = (Hypotenuse)2
Using the above equation third side can be calculated if two sides are known.
Example: Suppose two sides are given one of 3 cm and the other of 4 cm then find the third side.
Lets take perpendicular P = 3 cm and Base B = 4 cm.
using Pythagoras theorem
P2 + B2 = H2
(3)2 + (4)2 = H2
9 + 16 = H2
25 = H2
H = 5
Sample Questions
Question 1: Find the measure of base if perpendicular and hypotenuse is given, perpendicular = 12 cm and hypotenuse = 13 cm.
Solution:
Perpendicular = 12 cm
Hypotenuse = 13 cm
Using Pythagoras Theorem
P2 + B2 = H2
B2 = H2 – P2
B2 = 132 – 122
B2 = 169 – 144
B2 = 25
B = 5
Question 2: Perimeter of the equilateral triangle is 63 cm find the side of the triangle.
Solution:
Perimeter of an equilateral triangle = 3×side
3×side = 64
side = 63/3
side = 21 cm
Question 3: Find the measure of the third side of a right-angled triangle if the two sides are 6 cm and 8 cm.
Solution:
Perpendicular = 6 cm
Base = 8 cm
Using Pythagoras Theorem
H2 = P2 + B2
H2 = P2 + B2
H2 = 62 + 82
H2 = 36 + 64
H2 = 100
H = 10 cm
Question 4: Find whether the given triangle is a right-angled triangle or not, sides are 48, 55, 73?
Solution:
A right-angled triangle follows the Pythagorean theorem so we need to check it .
Sum of squares of two small sides should be equal to the square of the longest side
so 482 + 552 must be equal to 732
2304 + 3025 = 5329 which is equal to 732 = 5329
Hence the given triangle is a right-angled triangle because it is satisfying the Pythagorean theorem.
Question 5: Find the hypotenuse of a right angled triangle whose base is 8 cm and whose height is 15 cm?
Solution:
Using Pythagorean theorem, a2 + b2 = c2
So 82 + 152 = c2
hence c = √(64 + 225)
c = √289
c = 17 cm
Last Updated :
15 Feb, 2022
Like Article
Save Article
Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.
По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.
Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:
откуда легко найдем x .
Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:
Теорема.
Произведение двух сторон треугольника равно:
1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.
2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.
1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через ha , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.
Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.
По первой теореме мы имеем: bс = 2Rha , где b и с есть две стороны треугольника, ha — высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R — радиус описанного круга.
Из этого равенства выводим:
Исключим из этой формулы высоту ha: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение ha a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:
,
Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.
Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.
Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику
Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.
При помощи сторон и углов
Итак, первый способ нахождения сторон треугольника — это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень. Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет «альфа», напротив b -«бета», напротив c — «гамма».
Равнобедренный треугольник
Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание — b. Стало быть, раз у треугольника есть два «бедра» одной величины, то и углы на «фундаменте» тоже будут одинаковыми. Их назовем «альфа». Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину — угол, образованный между равными «бедрами».
Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего «бета». Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно. Первые две — это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах.
Прямоугольный треугольник
Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда «теряются» данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы. Дело все в том, что вопрос: «Как найти сторону прямоугольного треугольника?» — затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b. Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем «альфа» и «бета» соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится — он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos»бета»=c*sin»альфа»=b*tg»альфа».
Итоги
Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться «страшных» цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.
http://www.calc.ru/Treugolnik-Sootnosheniya-Mezhdu-Storonami-Treugolnika-I-Radi.html
http://www.syl.ru/article/165121/mod_kak-nayti-storonu-treugolnika—v-pomosch-shkolniku