Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Площадь треугольника по координатам вершин — формулы для расчета
Самый простой многоугольник и вектор
Чтобы найти площадь треугольника через векторы и известные координаты его вершин, необходимо подробнее познакомиться с этими геометрическими объектами. Знание их свойств позволяет легко вычислять разные характеристики изучаемой фигуры, включая периметр, высоту, углы при вершинах и другие. При этом используются универсальные математические операции, которые можно применять с успехом не только для треугольника, но и для других многоугольников.
Фигура на плоскости
Треугольник в геометрии представляет собой самый простой многоугольник, который лежит всегда в одной плоскости, даже если фигура рассматривается в трехмерном пространстве. Состоит он из сторон и вершины.
Сторон и вершин у фигуры по три. Сторона является отрезком, а вершина — это точка пересечения этих отрезков. Для нее характерен определенный угол. Все углы треугольника являются разными в общем случае, их сумма всегда соответствует 180°. Однако, существуют специальные типы фигуры, для которых либо два угла равны друг другу (равнобедренный), либо все три (равносторонний). В задачах называют треугольники по имени их трех вершин, обозначенных латинскими буквами, например, ABC или NPQ.
Для треугольника важное значение имеют следующие отрезки:
- делящий противоположную углу сторону пополам — медиана;
- разделяющий угол при вершине на два равных — биссектриса;
- падающий под прямым углом на противоположную углу сторону — высота.
Высота, например, используется для расчета площади фигуры. Для равностороннего треугольника все эти отрезки совпадают друг с другом для любой вершины, а для равнобедренного они одинаковы лишь для угла, образованного равными сторонами.
Направленный отрезок
Вектором называют линейный элемент, который имеет начало и конец. Для его определения удобнее всего использовать координатную плоскость. Она представляет собой две направленные оси, имеющие шкалу и пересекающиеся под углом 90°. Точка пересечения является началом координат и обозначается буквой O (0; 0). Здесь каждая из цифр указывает точку пересечение перпендикуляра, опущенного из рассматриваемого объекта к каждой из двух осей.
Если начало A (x0; y0) и конец B (x1; y1) вектора известны, тогда легко можно вычислить его собственные координаты. Делается это так:
AB- = B-A = (x1-x0; y1-y0).
Иными словами, чтобы получить вектор AB-, следует из соответствующих координат его конца вычесть его начало. Эта операция эквивалентна параллельному перемещению AB- в начало координатной плоскости, что говорит о существовании бесконечного количества одинаковых AB-векторов.
Направленные отрезки можно складывать, вычитать и умножать. Для каждой из операций существуют определенные правила. Если для сложения и вычитания речь идет о геометрических особенностях, то в случае умножения применяются исключительно алгебраические выражения. Вектор a- можно умножить на b- двумя принципиально разными способами:
- Скалярно: (a-*b-). В этом случае мы получаем число. Правило умножения записывается следующим образом: (a-*b-) = |a-|*|b-|*cos (ab)=x1*x2+y1*y2. Здесь знаком модуля (||) обозначены длины соответствующих отрезков, cos (ab) — это косинус угла между a- и b-, при этом a-(x1; y1), b-(x2; y2). Этот тип произведения можно использовать для вычисления углов между направленными отрезками, а также для определения объема фигур в пространстве.
- Векторно: [a-*b-]. Результатом этой операции является вектор, который перпендикулярен исходным, его направление (вверх или вниз) принято определять по правилу правой руки: четыре пальца должны быть направлены от конца a- к концу b-, тогда оттопыренный большой палец укажет направление их векторного произведения. Длина этого перпендикулярного вектора определяется так: [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (ab) = x1*y2-x2*y1. Векторное произведение используют для вычисления площадей фигур.
Методы вычисления площади по координатам
Задачи на вычисление площадей, периметров или объемов фигур по известным координатам их вершин являются типичными для школьного курса геометрии. В связи с развитием современных технологий школьники часто ищут в интернете, как решить треугольник онлайн по координатам. Тем не менее, существует ряд простых способов, которые позволяют быстро найти площадь фигуры, если известно расположение трех его вершин на координатной плоскости.
Универсальный подход
Этот метод можно применять всегда, независимо от того, какой тип треугольника рассматривается. Известно, что площадь фигуры вычисляется, как произведение половины стороны на опущенную на нее высоту: S = ½*a*h.
Пусть имеются координаты вершин заданного треугольника ABC:
Тогда координаты его векторов AB- и AC- выразятся так:
Если провести высоту h треугольника ABC к любой из этих сторон, например, к AC, то ее длина может быть рассчитана с использованием тригонометрической функции синуса:
Здесь α является углом между векторами-сторонами AB- и AC-. Тогда формулу площади можно переписать в следующем виде: S = ½*a*h = ½*AC* AB*sin (α).
Можно заметить, что записанное выражение является не чем иным, как векторным произведением для AB- и AC-, поэтому можно переписать формулу для S так:
S = ½*[ AB-* AC- ] = ½*((x2-x1)*(y3-y1) — (y2-y1)*(x3-x1)).
Можно аналогично показать, что подобные выражения получаются для пар векторов AC-, BC- и AB-, BC-.
Рекомендуется не запоминать конечные выражения для площади треугольника, поскольку они являются несколько громоздкими, и при их использовании ученики могут запутаться. Для решения подобного рода задач достаточно понять свойства векторов и единственную универсальную формулу для S для любого типа треугольников.
Любопытно отметить, что векторное произведение при вычислении площади можно применять не только для треугольников, но и для любых четырехугольников. Так, в случае параллелограмма рассматриваемая характеристика будет точно равна векторному произведению любых смежных (непараллельных) его сторон.
Использование формулы Герона
Этот способ также может считаться универсальным, поскольку он применим к любым типам треугольников. В работе Герона Александрийского, которая называется «Метрика» и относится к I веку нашей эры, впервые было обнаружено выражение, позволяющее по длинам сторон рассматриваемой фигуры определить ее площадь. Формула имеет следующий вид:
Здесь p — полупериметр, a, b, c — длины сторон.
Последовательность этапов решения задачи можно выразить таким образом:
- Необходимо определить координаты векторов, образующих стороны треугольника.
- Затем, следует вычислить длины их сторон.
- Посчитать полупериметр фигуры.
- Применить формулу Герона.
Ключевым этапом является определение длины вектора. Пусть AB- имеет координаты (x1; y1), тогда его длина вычисляется так:
|AB-| = (x1 2 + y1 2 )^0,5.
Длина любого вектора как на плоскости, так и в пространстве, вычисляется, как сумма квадратов всех его координат, взятых под корень.
Очевидно, что можно записать общее выражение для площади треугольника через координаты с использованием формулы Герона, но оно будет слишком громоздким, поэтому нет никакого смысла запоминать его.
Другие способы
Существуют эмпирические правила, которые можно запомнить и легко решать задачи на определение площади треугольника. Пусть координаты его вершин задаются так: A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3). Предположим, что порядок вершин A, B, C расположен против часовой стрелки, тогда существуют следующие правила определения площади ABC:
- Можно воспользоваться формулой: S = ½*(x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)). То есть выбирается первая координата вершины и умножается на разность вторых координат двух других вершин, возникающих против хода стрелки часов от первой. Затем, все три члена складываются и делятся на 2.
- Матричный способ. Необходимо выписать в столбик пары координат каждой вершины против часовой стрелки и завершить координатами исходной. После этого следует сложить три попарных произведения первой и второй координат двух соседних вершин, а затем, вычесть три попарных произведений второй и первой координат тех же вершин. Результат поделить пополам. Например: (x1; y1) (x2; y2) (x3; y3) (x1; y1). S = ½*(x1*y2 + x2*y3 + x3*y1 — y1*x2 — y2*x3 — y3*x1).
Решение задачи
Дана фигура АВС. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A (1; -3), B (2; 5), C (-2; -2).
Для нахождения решения следует обратиться за помощью к универсальному способу. Сначала необходимо выбрать два вектора, образующих стороны треугольника. Пусть это будут AB- и BC-. Теперь нужно знать их координаты. Они равны:
Чтобы рассчитать площадь, достаточно вычислить полупроизведение векторное для выбранных направленных отрезков: S = ½*[AB-*BC-] = ½*(1*(-7)-8*(-4)) = 12,5 квадратных единиц.
Таким образом, существует несколько методик вычисления площади треугольника, если известны координаты его вершин. Все они сводятся к использованию свойств векторов и известных формул. Существуют также выражения, которые следует запомнить, чтобы решать подобные задачи.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik
http://nauka.club/matematika/geometriya/ploshchad-treugolnika-po-koordinatam.html
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Дано: у нас есть треугольник, нам известны только координаты его вершин. У нас есть точка, нам известны её координаты.
Что нужно узнать: нужно установить принадлежность точки треугольнику.
В данной статье разбирается несколько разных методов определения принадлежности точки треугольнику.
Метод сравнения площадей
В данном методе сначала находятся площади 3-х треугольников, которые образует данная точка с каждой стороной треугольника. В нашем случае(рис. 1) это треугольники ABP, BCP, CAP и их площади s1, s2, s3 соответственно.
Затем находится площадь самого треугольника ABC.
Найденный площади сравниваются — если сумма 3-х площадей равна площади всего треугольника, то значит точка принадлежит треугольнику. При сравнении, как правило, задаётся погрешность.
Так как у нас известны только координаты точек, то все площади, находятся по формуле Герона, от обильности операций которой становится ясно, почему этот метод очень трудоёмкий.
Простейшая реализация алгоритма:
|
// проверка принадлежности точки треугольнику формулами Герона function IsPointIn_Geron(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs // площадь треугольника по точкам function Square(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy: single): single; begin Result := abs(aBx*aCy — aCx*aBy — aAx*aCy + aCx*aAy + aAx*aBy — aBx*aAy); end; var s : single; begin s := Square(aPx, aPy, aAx, aAy, aBx, aBy) + Square(aPx, aPy, aBx, aBy, aCx, aCy) + Square(aPx, aPy, aCx, aCy, aAx, aAy); Result := abs(Square(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy) — s) <= 0.01{погрешность}; end; |
Атрибуты функции: aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy — координаты точек A, B, C треугольника; aPx, aPy — координаты точки, принадлежность которой надо определить.
Метод относительности
Данный метод заключается в следующем. Сначала выбирается ориентация движения по вершинам треугольника(по часовой или против часовой стрелке). Я выбираю по часовой. На рисунке 2 выбранная ориентация движения(по часовой) показана стрелками. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Не трудно догадаться, что если точка для всех прямых, при нашей ориентации, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, а если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.
На рисунке 2 продемонстрирована ситуация, когда точка только для одной прямой AB лежит по левую сторону, а значит не принадлежит треугольнику.
Реализация алгоритма:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
// проверка прин. точки треуг. методом относительности положения function IsPointIn_Relat(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs function Q(ax, ay, bx, by, atx, aty: single): single; begin Result := atx * (by — ay) + aty * (ax — bx) + ay * bx — ax * by; end; var q1, q2, q3 : single; begin // выбираем определённую ориентацию по вершинам(чтоб было по порядку) // универсальный q1 := Q(aAx, aAy, aBx, aBy, aPx, aPy); q2 := Q(aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy); q3 := Q(aCx, aCy, aAx, aAy, aPx, aPy); Result := ((q1 >= 0) and (q2 >= 0) and (q3 >= 0)) or ((q1 < 0) and (q2 < 0) and (q3 < 0)); //} { // для строгой ориентации по часовой Result := (Q(ftx1, fty1, ftx2, fty2, fpx, fpy) >= 0) and (Q(ftx2, fty2, ftx3, fty3, fpx, fpy) >= 0) and (Q(ftx3, fty3, ftx1, fty1, fpx, fpy) >= 0); //} { // для строгой ориентации против часовой Result := (Q(ftx1, fty1, ftx2, fty2, fpx, fpy) <= 0) and (Q(ftx2, fty2, ftx3, fty3, fpx, fpy) <= 0) and (Q(ftx3, fty3, ftx1, fty1, fpx, fpy) <= 0); //} end; |
Всё относительно!
Тут надо кое что пояснить, весьма не маловажное, что может сыграть роль в оптимизации и выборе алгоритма. Обратите внимание, что в приведённом коде есть закомментированные блоки кода с комментариями «для строгой ориентации», в то время как рабочий код универсален — он предназначен для любой ориентации. Т.е. представленный код определит принадлежность точки для любого заданного треугольника. В моей тестирующей программе треугольники как раз таки строятся по random()-у координат вершин, а ориентация идёт по вершинам(A>B>C>A). Для рисунка 2 — это по часовой стрелки, но для рисунка 3 — это против часовой.
Так вот, в случае рисунка 3 точка должна лежать по левую сторону векторов, чтобы принадлежать треугольнику.
Вот тут и получается важный момент! Если вы уверены, что в вашем проекте все треугольники будут ориентированы по часовой стрелке(а т.е. вершина C будет всегда правее вектора AB), то вам можно закомментировать блок универсального решения и раскомментировать блок «для строгой ориентации по часовой» и данный алгоритм упрощается аж на 3 логических операции!
Векторный метод
Третий метод который я освещаю для меня самый интересный.
Идея его применения зарождается если взглянуть на треугольник как на половинку параллелограмма…
Данный метод я сначала проверил на бумаге. После всех оптимизаций формул, как всё сошлось, я реализовал его в коде, где он показал себя вполне успешным и результативным. Аж эффективнее 2-х предыдущих методов :]
Алгоритм такой:
1) одну вершину треугольника помещаем в координаты (0;0);
2) две стороны, выходящие из этой вершины, представляем как вектора.
Таким образом из всего этого появляется система простых условий нахождения точки P между векторами b и c.(рис. 4)
Смотрим код:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
function IsPIn_Vector(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; var Bx, By, Cx, Cy, Px, Py : single; m, l : single; // мю и лямбда begin Result := False; // переносим треугольник точкой А в (0;0). Bx := aBx — aAx; By := aBy — aAy; Cx := aCx — aAx; Cy := aCy — aAy; Px := aPx — aAx; Py := aPy — aAy; // m := (Px*By — Bx*Py) / (Cx*By — Bx*Cy); if (m >= 0) and (m <= 1) then begin l := (Px — m*Cx) / Bx; if (l >= 0) and ((m + l) <= 1) then Result := True; end; end; |
По коду можно увидеть, что находятся новые координаты точек B и C, которые одновременно являются векторами b и c (рис. 4.). А новые координаты точки P являются вектором (Px, Py). Далее идёт формула, которую я предварительно свёл к общему виду и упростил.
Кол-во основных операций получается 13(+4). Совсем не плохо :]
Метод геометрического луча
Это достаточно известный метод, особенно когда определяется принадлежность точки многоугольникам. Часто данный метод называют «трассировка луча», хотя это не совсем правильно, т.к. трассировка луча — это расчёт хода световых лучей в 3D сцене.
Суть в том, что из данной точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении.
Затем проверяются пересечения со сторонами многоугольника и ведётся подсчёт пересечений.
Таким образом если кол-во пересечений чётное, то значит точка лежит вне многоугольника, если же кол-во НЕчётное, то значит точка лежит внутри.
На рисунке 5 изображены две подопытные точки P и K, у луча из точки P одно пересечение со сторонами треугольника, таким образом точка P принадлежит фигуре, а точке K не повезло — у неё два пересечения.
Реализация алгоритма:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 |
function IsPIn_RayCast(aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy, aPx, aPy: single): boolean; // funcs // p1 — начало 1ого отрезка, p2 — конец 1ого отрезка, p3 — начало 2ого отрезка, p4 — конец 2ого отрезка function peresechenie(p1, p2, p3, p4: TPoint): boolean; var zn, ua, ub : single; begin // 25 операций zn := (p4.y — p3.y) * (p2.x — p1.x) — (p4.x — p3.x) * (p2.y — p1.y); ua := ((p4.x—p3.x)*(p1.y—p3.y) — (p4.y—p3.y)*(p1.x—p3.x)) / zn; ub := ((p2.x—p1.x)*(p1.y—p3.y) — (p2.y—p1.y)*(p1.x—p3.x)) / zn; // если ‘ua’ и ‘ub’ принадлежат [0,1] то отрезки пересекаются Result := (ua >= 0) and (ua <= 1) and (ub >= 0) and (ub <= 1); end; var cros_cnt : integer; s1, s2 : single; // коэф. begin cros_cnt := 0; // кол-во пересечений граней (лучом из точки) // луч пускаем по оси X вправо // 1-я сторона треугла s2 := (aPy — aAy) / (aBy — aAy); s1 := aAx — aPx + s2 * (aBx — aAx); if (s1 >= 0) and (s2 >= 0) and (s2 <= 1) then inc(cros_cnt); // 2-я сторона треугла s2 := (aPy — aBy) / (aCy — aBy); s1 := aBx — aPx + s2 * (aCx — aBx); if (s1 >= 0) and (s2 >= 0) and (s2 <= 1) then inc(cros_cnt); // 3-я сторона треугла if cros_cnt < 2 then begin s2 := (aPy — aCy) / (aAy — aCy); s1 := aCx — aPx + s2 * (aAx — aCx); if (s1 >= 0) and (s2 >= 0) and (s2 <= 1) then inc(cros_cnt); end; Result := cros_cnt = 1; end; |
Вроде нормально упростил(для треугольника имею ввиду), но что-то мне кажется, что может быть и по круче…
А так, получается примерно 30 операций.
Сравнение скоростей
Ну вот мы и подошли к самому интересному! Кто быстрее и сильнее!? :]
Я провёл тест со следующими параметрами(хотя всё зависит от процессора):
- кол-во повторений алгоритма за 1 имитацию = 4 миллиона.
- кол-во имитаций для каждого алгоритма = 1000.
Таблица результатов:
Ну что сказать, векторный метод хорош)
С ним конечно соперничает второй способ относительности точки, но главное отличие в том, что для отн. точки необходима строгая ориентация сторон треугольника, а для векторного это не важно, поэтому он круче)
Так же можно скачать написанную в ходе экспериментов программу: prin_tochki_proga. Программа реализована на Delphi 2007.
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в
сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не
будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется
найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника 
. Требуется:
1) составить уравнения сторон 
и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны 
;
3) найти 
;
4) составить прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
;
5) составить уравнение высоты 
и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника 
;
7) составить уравнение медианы 
;
найти точку пересечения 
.
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы 
;
10) найти центр тяжести 
треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и
самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1
см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон 
и найдём их угловые
коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум
точкам.
Составим уравнение стороны 
по точкам 
:
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь
найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент: 
Самостоятельно разбираемся со сторонами 
и сверяемся, что
получилось:
2) Найдём длину стороны 
. Используем соответствующую формулу для точек 
:
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка 
3) Найдём 
. Это Задача 31, повторим:
Используем формулу 
.
Найдём векторы:
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого
он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла
между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой 
, проходящей через точку 
параллельно прямой 
. Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!
Из общего уравнения прямой 
вытащим направляющий вектор 
.
Составим уравнение прямой 
по точке 
и направляющему вектору 
:
5) Составим уравнение высоты 
и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:
Из уравнения стороны 
снимаем вектор нормали 
. Уравнение высоты
составим по точке 
и направляющему вектору 
:
Обратите внимание, что координаты точки 
нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: 
. В данном случае 
, тогда: 
. Уравнение высоты 
составим по точке 
и угловому коэффициенту 
:
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
а) находим 
– точку
пересечения высоты и стороны 
;
б) находим длину отрезка 
по двум
известным точкам.
Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки 
до прямой 
:
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы 
составим в два шага:
а) Найдём точку 
– середину стороны 
. Используем формулы координат середины отрезка.
Известны концы 
, и тогда середина:
б) Уравнение медианы 
составим по точкам 
:
– для проверки подставим координаты точек 
.
Найдём точку пересечения 
высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам:
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: 
.
Таким образом, 
. Координаты точки 
найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,
параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки 
известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение 
– чтобы использовать формулу 
и
избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
аким образом: 
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы 
составим по точкам 
по формуле 
:
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца
в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то
теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.
Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: 
. Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь
короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в
отношении 
, считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо
отношение 
Нам известны концы отрезка – точки 
и 
.
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника: 
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные
неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую 
. Треугольник лежит в полуплоскости, где находится
вершина 
. Составим вспомогательный многочлен 
и вычислим его значение в точке 
: 
. Поскольку сторона 
принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: 
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к
Задаче 90.
Рассмотрим прямую 
. Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому
очевидно неравенство 
.
И, наконец, для 
составим многочлен 
, в который подставим координаты точки 
: 
.
Таким образом, получаем третье неравенство: 
.
Итак, треугольник 
определяется следующей системой линейных
неравенств:
Готово.
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!
Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
3.1. Алгебраическая линия и её порядок
2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон
В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.
Вам понадобится
- — ручка;
- — бумага для записей;
- — калькулятор.
Инструкция
Прямая на плоскости описывается уравнением: ax+bу+с = 0, где х,y – координаты по оси 0х и оси 0у какой-либо точки прямой; a, b, с – числовые коэффициенты. Причем a и b не могут равняться нулю одновременно. Такой вид записи называется общим уравнением прямой.
Также прямую можно задать выражением вида: y = kx+c. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который является тангенсом угла, образующегося при пересечении данной прямой с осью 0х.
Зная координаты двух точек А (х1;y1), В (х2;у2), вы можете записать уравнение прямой, проведенной через эти точки, используя пропорцию: (у-у1)/(у1-у2)=(х-х1)/(у1-у2). Далее, преобразовав это равенство, приведите его к виду как в шаге 1 или 2.
Рассмотрите алгоритм решения задачи на конкретном примере. Даны три вершины треугольника с известными координатами: А (9;8), В (7;-6), С (-7;4). Напишите уравнение прямых, образующих его.
Найдите уравнение для прямой АВ. Примените формулу из шага 3, подставив значения координат точек А и В: (у-8)/(8-(-6)) = (х-9)/(9-7). Преобразуйте его: (у-8)/14 = (х-9)/2 или 2(у-8) = 14(х-9). Сократите уравнение, разделив левую и правую части на два, и раскройте скобки: у = 7х-63+8 = 7х-55.
Уравнение для АВ: у = 7х-55. Или: 7х-у-55 = 0 (АВ).
Аналогично напишите уравнение для прямой ВС: (у-(-6))/(-6-4) = (х-7)/7-(-7)). (у+6)/(-10) = (х-7)/14. 7(у+6) = -5(х-7). 7у+42 = -5х+35. 7у = -5х-7. у = -5/7х-1.
Уравнение для ВС: y = -5/7х-1. Или: -5х-7у-7 = 0 (ВС).
Затем уравнение для прямой СА: (у-8)/(8-4) = (х-9)/(9-(-7)). 16(у-8) = 4(х-9). 4у-32 = х-9. 4у = х-9+32. у = 0,25х+5,75.
Уравнение для СА: у = 0,25х+5,75. Или: х-4у+23 = 0 (СА).
Вы составили уравнения трех сторон фигуры. Для самопроверки постройте треугольника в системе координат. Найдите на чертеже значения пересечений прямых с осью 0у. Сравните эти координаты с полученными в уравнении. Например, для (BC) при y = 0, х = -1,4.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.