Как найти треугольник с помощью средней линии

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

  • Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
  • Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Отсюда следует, что

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Следствие №2

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Треугольник, образованный средними линиями равнобедренного треугольника, называется : а) прямоугольным б) равносторонним помогите пож?

Геометрия | 5 — 9 классы

Треугольник, образованный средними линиями равнобедренного треугольника, называется : а) прямоугольным б) равносторонним помогите пож.

Он не может называться ни равносторонним ни прямоугольным, так как две средние линии равны половине боковых (равных) сторон, а третья равна половине основания — этот треугольник будет равнобедренным.

Если угол при вершине равен 90 градусов, то он будет еще и прямоугольным, но об углах ничего не сказано.

Ответ, оба варианта неверны.

Люди, пожалуйста помогите?

Люди, пожалуйста помогите!

Прямоугольная трапеция диагональю разделена на 2 треугольника.

Один из них равносторонний треугольник со стороной а, а второй — прямоугольный треугольник.

Найдите среднюю линию трапеции.

Площадь равностороннего треугольника ABC равна 60см в квадрате?

Площадь равностороннего треугольника ABC равна 60см в квадрате.

Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями треугольника ABC.

Прямоугольная трапеция разделяется диагональю на два треугольника — равносторонний со стороной а и прямоугольный?

Прямоугольная трапеция разделяется диагональю на два треугольника — равносторонний со стороной а и прямоугольный.

Найдите среднюю линию трапеции.

Средняя линия отсекает от данного треугольника равнобедренный прямоугольный треугольник?

Средняя линия отсекает от данного треугольника равнобедренный прямоугольный треугольник.

Найдите углы данного треугольника.

Треугольник образованный средними линиями прямоугольного треугольника является каким?

Треугольник образованный средними линиями прямоугольного треугольника является каким?

Площадь равностороннего треугольника АВС равна 60 см?

Площадь равностороннего треугольника АВС равна 60 см.

Найдите площадь треугольника , образованного средними линиями треугольника АВС.

Помогите решить?

Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника — — равносторонний со стороной а и прямоугольный.

Найдите среднюю линию трапеции.

Периметр равностороннего треугольника равен 45 см?

Периметр равностороннего треугольника равен 45 см.

Найдите периметр треугольника, который образован средними линиями заданного треугольника.

Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равнобедренный треугольники?

Прямоугольная трапеция делится диагональю на прямоугольный и равнобедренный треугольники.

Найдите среднюю линию трапеции, если периметр равностороннего треугольника равен 27дм помогите пожалуйста с решением ответ должен получиться6.

75дм можно с чертежом.

Треугольник образован средними линиями равнобедренного треугольника является ?

Треугольник образован средними линиями равнобедренного треугольника является :

Вопрос Треугольник, образованный средними линиями равнобедренного треугольника, называется : а) прямоугольным б) равносторонним помогите пож?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Угол 2 = 180 — 130 = 50 Углы два и три вертикальных следовательно угол 2 равен углу 3 Угол 4 90 — 50 = 40 Ответ : 1угол — 50градусов 2угол — 50градусов 3угол — 40градусов.

1. Найдем координатыАС = (2 + 3 ; — 1 + 1) = (5 ; 0) ВD = ( — 2 + ( — 1) ; — 4 + 1) = ( — 3 ; — 3) ; AC = [tex] sqrt < (2 — 3) ^ <2>+ ( — 1 — 1 ) ^ <2>> = sqrt <5>; BD = [tex] sqrt < ( — 2 + 1 ) ^ <2>+ x( — 4 — 4) ^ <2>> = sqrt <65>; 2) коо..

P = 2(AB + BC) AB = x + 8 BC = x P = 104 104 = x + x + 8 X = 22 BC = 22 AB = 22 + 8 = 30.

По теореме пифагора √169 — 25 = √144 = 12.

Можно решить и по теореме Пифагора.

Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.

Треугольники подобныпо двум сторонам и углу между ними следовательно A1C1 в 4 раза меньше. A1C1 = 30 / 4 = 7. 5 м.

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ = полусумма длин оснований * на высотув трапеции проводим высоту СН, рассмотрим треугольник СДНуголД = 45 градусовугол Н = 90 градусовиз этого следует, что уголС = 45 градусов, а из этого следует треугольник СДН — равнобедренныйСН = ..

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов (не смежных с ним) , АВ = ВС, значит угол А равен углу С, получаем С = 70 / 40 = 1. 75.

Гипотенуза АВ по т. Пифагора равна BC = корень(AB ^ 2 + AC ^ 2) = корень(10 ^ 2 + 6 ^ 2) = корень(136) = 2 * корень(34)По определению синуса острого угла прямоугольного треугольникаsin B = AC ABsin B = 10 (2 * корень(34)) = 5 (корень(34))ответ..

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/srednyaya-liniya-treugolnika.html

http://geometria.my-dict.ru/q/2807256_treugolnik-obrazovannyj-srednimi-liniami-ravnobedrennogo-treugolnika/

Источник

Содержание

  • — Как найти площадь треугольника с помощью средней линии?
  • — Какие из отрезков являются средними линиями треугольника?
  • — Как доказать что линия является средней линией треугольника?
  • — Как найти длину средней линии в треугольнике?
  • — Как найти основания трапеции если известна только средняя линия?
  • — Как найти площадь треугольника формулы?
  • — Сколько может быть средних линий в треугольнике?
  • — Чему равна средней линии трапеции?
  • — В каком отношении Диагональ трапеции делит среднюю линию?
  • — Как доказать середину треугольника?
  • — Как доказать наличие средней линии?
  • — Как известно средняя линия треугольника равна третьей стороне треугольника?
  • — Что делает средняя линия?
  • — Как найти длину средней линии трапеции?
  • — Какие стороны в треугольнике можно считать противоположными?

то есть периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника.

Как найти площадь треугольника с помощью средней линии?

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии. II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник. Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Какие из отрезков являются средними линиями треугольника?

Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1). На рисунке 1 средней линией является отрезок DE.

Как доказать что линия является средней линией треугольника?

Если отрезок параллелен стороне треугольника и равен его половине, то отрезок является средней линией. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок (хорду), соединяющую вершину треугольника с точкой на стороне, параллельной средней линии.

Как найти длину средней линии в треугольнике?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Как найти основания трапеции если известна только средняя линия?

Формулы определения длин сторон трапеции:

  1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу: a = 2m — b. b = 2m — a.
  2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании: a = b + h · (ctg α + ctg β) …
  3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании: a = b + c·cos α + d·cos β

Как найти площадь треугольника формулы?

Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности. Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом: S = r * p, где p — полупериметр.

Сколько может быть средних линий в треугольнике?

Понятие средней линии треугольника

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Чему равна средней линии трапеции?

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. (смотри рисунок 8).

В каком отношении Диагональ трапеции делит среднюю линию?

Вывод: Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.

Как доказать середину треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника, а длина средней линии треугольника равна половине этой стороны.

Как доказать наличие средней линии?

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия треугольника.

Как известно средняя линия треугольника равна третьей стороне треугольника?

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. По признаку параллельности прямых MN||AC.

Что делает средняя линия?

средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника. три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника.

Как найти длину средней линии трапеции?

Средняя линия трапеции

А именно, имеет место такая формула: displaystyle m=frac{a+b}{2}, то есть: Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Какие стороны в треугольнике можно считать противоположными?

Если один из углов прямой ( C, рис. 21 ), то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.

Интересные материалы:

Как сделать текст наклонным курсивом с помощью тега?
Как сделать текст по форме фигуры в Иллюстраторе?
Как сделать текст по круг?
Как сделать текст по кругу в Procreate?
Как сделать текст по кругу в Word 2013?
Как сделать текст по середине в HTML?
Как сделать текст с отражением в фотошопе?
Как сделать текст с правой стороны?
Как сделать текст слева и справа HTML?
Как сделать текст в формате а5?

Источник

Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

nayti ploschad treugolnika, srednyaya liniya kotorogo    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

    [{S_{Delta FCK}}:{S_{AFKB}} = 1:3]

Доказательство:

найти площадь треугольника, средняя линия

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{Delta ACB}}}} = frac{{F{K^2}}}{{A{B^2}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4}.]

Таким образом,

    [{S_{Delta FCK}} = frac{1}{4}{S_{Delta ACB}},]

а так как

    [{S_{AFKB}} = {S_{Delta ACB}} - {S_{Delta FCK}}, Rightarrow {S_{AFKB}} = frac{3}{4}{S_{Delta ACB}}.]

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = frac{1}{3}]

Что и требовалось доказать.

Задача.

nayti ploschad treugolnika, esli srednyaya liniya    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

    [{S_{Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{rm{ na 12 cm}}{rm{,}}]

Найти:

    [{S_{AFKB}}]

Решение:

Пусть

    [{S_{Delta FCK}} = x(c{m^2}).]

По доказанному выше утверждению,

    [frac{{{S_{Delta FCK}}}}{{{S_{AFKB}}}} = frac{1}{3}]

Значит,

    [{S_{AFKB}} = 3x(c{m^2}).]

Поскольку

    [{S_{Delta FCK}} < {S_{AFKB}}{rm{na12cm}},]

    [3x - x = 12]

    [underline {x = 6} ]

    [{S_{AFKB}} = 3 cdot 6 = 18(c{m^2}).]

Ответ: 18 см².

Источник

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

srednyaya-liniya-treugolnika-i-ploshchadI. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

    [S = frac{1}{2}a cdot {h_a}]

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

    [m = frac{1}{2}a,]

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

    [S = m cdot {h_a}]

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

srednyaya-liniya-treugolnika-ploshchadЕсли MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

    [MN = frac{1}{2}AC,]

то 

    [frac{{MN}}{{AC}} = frac{{MB}}{{AB}} = frac{{NB}}{{CB}} = frac{1}{2}.]

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то 

    [frac{{{S_{Delta MBN}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4},]

то есть

    [{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}}.]

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

    [{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{1}{4} cdot 40 = 10(c{m^2})]

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

    [{S_{AMNC}} = frac{3}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{3}{4} cdot 40 = 30(c{m^2}),]

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

Содержание материала

  1. Средняя линия треугольника + Задачи по теме
  2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
  3. Видео
  4. Понятие средней линии прямоугольного треугольника
  5. Средняя линия
  6. Важные свойства
  7. Решение задачи
  8. Формула для расчета
  9. Примеры решения задач

Средняя линия треугольника + Задачи по теме

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ). 3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.

Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC.  Найти: MN, NL, ML.

Задача № 2.

Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O &#821

Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см.   Найти: PКOР

Задача № 4.

Задача № 4.

Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: 
  • Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Видео

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Средняя линия

Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.

Важные свойства

Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:

  1. Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
  2. Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
  3. Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.

Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:

S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.

Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:

S1 = (p1*(p1-a/2)*(p1-b/2)*(p1-c/2))^0,5 = (½*p*(½*p-a/2)*(½*p-b/2)*(½*p-c/2))^0,5 = ¼*S.

Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.

Решение задачи

В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.

Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:

  • A (x1, y1);
  • B (x2, y2);
  • C (x3, y3).

Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:

P = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).

Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:

Q = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2).

Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:

PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

В свою очередь, длина стороны BC равна:

BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.

Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:

PQ = ½*BC.

Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.

Формула для расчета

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.

(A_1C_1=frac12AC)

Доказательство

Дано:

(triangle ABC)

(A_1C_1)— средняя линия

Доказать:

(A_1C_1parallel AC)

(A_1C_1=frac12AC)

Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC):

(left{begin{array}{l}angle B;-;общий\frac{BA_1}{BA}=frac{BC_1}{BC}=frac12end{array}right.)

Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.

Кроме того, из подобия следует, что (frac{A_1C_1}{AC}=frac12)

Следовательно, (A_1C_1=frac12AC)

Утверждение доказано.

Примечание

Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В треугольнике провели среднюю линию , параллельную. Найти площадь треугольника , если известно, что см, а высота , опущенная на сторону , равна 5 см. Решение В треугольнике (см. рис. 1) средняя линия равна половине стороны , поэтому

Найдем площадь треугольника :

Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:

Ответ см.

ПРИМЕР 2

Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника . Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :

см см см

Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:

см Ответ см.

Теги

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как мне найти лагерь для детей
  • Составить правила как быть добрым обществознание 6 класс
  • Как найти скрытые переписки на айфоне
  • Как исправить разбитый экран телевизора
  • Как найти высоту предмета в оптике