Как найти тупой угол треугольника описана окружность - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности	Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

источники:

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-treugolnik-vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnost/

Источник

sibatod746

Вопрос по геометрии:

Около тупоугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Угол AOC равен 140°.Чему равен тупой угол треугольника ABC?

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

utvenle438

Тупой угол это угол АВС.
Угол АОС — центральный, он равен дуге, на которую опирается, т.е он равен 140°.
Угол АВС — вписанный угол. Он равен половине дуги, на которую опирается, т.е он равен 1/2(360°-140°) = 110°
Ответ: 110°

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое тупой угол, а также разберем примеры задач, в которых он участвует.

Определение тупого угла
Примеры задач

Определение тупого угла

Угол является тупым, если его градусная мера находится между 90 и 180 градусами.

∠α – тупой, если 90° < α < 180°.

То есть тупой угол больше прямого (90°), но меньше развернутого (180°).

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник, у которого известны два угла – 34° и 27°. Найдем третий и определим, является ли он тупым.

Решение:
Примем неизвестную величину за “α“. Как мы знаем, сумма углов треугольника равняется 180 градусам, значит:

α = 180° – 34° – 27° = 119°.

Следовательно, угол α – тупой.

Задание 2
Дан ромб, площадь (S) которого составляет 12,5 см², а длина (a) стороны – 5 см. Найдем его углы и определим, являются ли они тупыми.

Решение:
Синус угла ромба (α) можно найти следующим образом (выведено из формулы расчета площади фигуры):

Следовательно, α = 30° (arcsin 0,5), является острым.

Как мы знаем, сумма соседних углов ромба составляет 180 градусов, значит второй угол β равен 150° (180° – 30°), и он является тупым.

Источник

Определение

Тупой угол — это угол, больший прямого, но меньший развёрнутого.

Градусная мера тупого угла — от 90º до 180º.

Например,

∠ABC, ∠DEF, ∠PTK — тупые углы.

Построить тупой угол заданной градусной меры можно с помощью транспортира.

Пример.

Построить с помощью транспортира угол 140º.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От точки проводим луч — сторону угла.

3) Отметку в центре транспортира (у разных моделей отметка может располагаться в разных местах) совмещаем с вершиной угла таким образом, чтобы отметка 0º находилась на стороне угла.

4) Находим 140º на той шкале, где находится 0º, и ставим точку.

5) От вершины угла к отмеченной точке проводим луч — вторую сторону угла.

На рисунках показано построение угла 140º с началом отсчёта по разным шкалам — по нижней и по верхней.

∠ABC=140º

∠MNK=140º

Чтобы найти тупой угол на рисунке при помощи угольника, нужно приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника проходила вдоль одной из сторон угла. Если угол тупой, то его другая сторона выйдет за вторую сторону угольника.

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле: $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен $displaystyle R=frac{asqrt{3}}{3}.$

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике ABC стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Получаем, что $displaystyle R=OB=frac{2}{3}BH, r=OH=frac{1}{3}BH.$

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны $displaystyle BH=frac{asqrt{3}}{2}.$

Тогда $displaystyle R=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}, r=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=afrac{sqrt{3}}{6}.$

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{3}.$

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

$displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}, R=frac{asqrt{3}}{3},$ где — сторона треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

где $p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right)$ — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},$

где a, b, c — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

$displaystylefrac{a}{sinangle A}=frac{b}{sinangle B}=frac{c}{sinangle C}=2R,$

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника, a a, b, c – его стороны.

$displaystyle p=frac{13+14+15}{2}=21,$

Тогда $displaystyle r=frac{S}{p}=frac{84}{21}=4$ , а диаметр окружности равен

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r.$

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку r=2 , получаем, что .

Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике ABC сторона равна , а угол равен $120^{circ}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов $displaystyle frac{AC}{sin B}=2R.$

Тогда $displaystyle R=frac{7sqrt{3}}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=7.$

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике ABC угол А равен $57^{circ}$ , а угол В – $93^{circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если сторона равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , найдем угол С.

$displaystyle angle C = 180^{circ }-(angle A+angle B)=180^{circ }-(53^{circ }+97^{circ })=30^{circ }.$

По теореме синусов $displaystyle frac{AB}{sinC}=frac{BC}{sinA}=frac{AC}{sinB}=2R.$

Значит, $displaystyle R=frac{AB}{2sinC}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R.$

Получаем, что $sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}$ . Угол — тупой. Значит, он равен $150^{circ}$ .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah$ , где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем h=32 .

Тогда R=25 .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника ABH :

$displaystyle AB=sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$

Периметр треугольника ABC – это сумма длин сторон, т.е.

Площадь треугольника $displaystyle S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2}cdot 10cdot 12=60.$

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

$displaystyle r=frac{S}{p}=frac{60}{18}=frac{10}{3}.$

Ответ: $displaystyle 30; frac{10}{3}.$

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника ABC равны 6 и соответственно, угол $B- 45^{circ }$ . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение:

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

$displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2cdot ABcdot BCcdot cosB=6^{2}+(3sqrt{2})^{2}-2cdot 6cdot 3sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=18,AC=3sqrt{2}.$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$displaystyle frac{AC}{sin45^{circ }}=2R,$

$displaystyle 2R=3sqrt{2}:frac{sqrt{2}}{2}=6.$

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности R = 5 , а длина радиуса вписанной окружности r = 1.

Мы знаем, что $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}, R=frac{c}{2}, S=pcdot r$ , где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=$

Отсюда

Тогда

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности r = 2 , а гипотенуза c = 10.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=p-c,$ отсюда p =r+c.

Площадь находится по формуле S =pr, где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APO , если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 10, $displaystyle angle BAC=75^{circ }, angle ABC=60^{circ }.$

Решение:

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов ABC и BAC соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу PC.
Тогда

– внешний угол треугольника AOB , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б) , следовательно, треугольник POA – равнобедренный, – основание,

Угол ABC равен $60^{circ }$ , значит, $displaystyle angle ABO=angle OBC=30^{circ }.$

По теореме синусов для треугольника ABP :

$displaystyle frac{AP}{sinB}=2R, AP=2cdot 10cdot sin30^{circ }=10.$

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. OP = 10 .

Найдем угол С из треугольника ABC : $displaystyle angle C= 180^{circ }-60^{circ }-75^{circ }=45^{circ }.$

$displaystyle angle APO=angle ACB=45^{circ }$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника AOP находится по формуле: $displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sinalpha.$

$displaystyle S_{APO}=frac{1}{2}cdot APcdot POcdot sinAPO=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot sin45^{circ }=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot frac{sqrt{2}}{2}=$

Ответ:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Окружность, описанная около треугольника.Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Окружность, описанная около треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус описанной окружности около треугольника

Площадь треугольника

Периметр треугольника

Сторона треугольника

Средняя линия треугольника

Высота треугольника

Свойства

Доказательство

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Есть сомнения?

Определение тупого угла

Примеры задач

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов