Как найти убывающую линейную функцию

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на

координатной плоскости
и проведем через них прямую.

Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У первой точки « (·)A »
координаты:
x₁ = 0 ;   y₁ = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ;   y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ )»
растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »

достаточно подставить « x₁ » и
« x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) >
y( x₁ ) » полученные формулы

« y( x₁ ) = 9x₁ − 4» и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4

Упростим полученное
неравенство.

9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0

Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.

9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x₂ > x₁».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

---

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.

−x₂ < −x₁ | · (−1)

x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

• функция убывает при
     x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
      −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.

Ответ:

• функция убывает на промежутках    
  x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция

« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁
+ m
+ 3
− 2x₁
< 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁
− m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁

< 0

mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁

< 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x₂ − x₁) + 2(x₂ − x₁)

< 0

Теперь
вынесем общий множитель

« ( x₂ − x₁ ) ».

( x₂ − x₁) (m + 2)

< 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ».
Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁

x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x₂ − x₁) (m + 2)

» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.

+	·	−	< 0
(x2 − x1)	·	(m + 2)	< 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Определение

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
6. При k=0 прямая параллельна оси х.
7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2×0 – 1= –1;

у=2х – 1=2×3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами      А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

Задание OM1106o

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 

---

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>90⁰) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<90⁰). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1103o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции:

A) y = 3x

Б) y = -3x

В) y = (1/3)x

Графики:

---

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от k и b.

• если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
• если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
• если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ:

A) 2

Б) 3

В) 1

Ответ: 231

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 6.2k

Линейная функция — функция вида График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой

Если , линейная функция возрастает. Чем больше х, тем больше у, то есть график идет вправо и вверх.

Если , линейная функция убывает. Чем больше х, тем меньше у, то есть график идет вправо и вниз.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.

Пусть Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.

А что же будет, если ? Мы получим горизонтальную прямую На рисунке показан график функции

Заметим, что прямая (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.

Для прямой это не выполняется: значению соответствует бесконечно много значений у.

Если прямые параллельны.

При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны. Например, прямые и пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.

Построение графика линейной функции 

График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.

Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой — не единственно возможный.

Уравнение прямой можно записать также в виде

Построим, например, прямую, заданную уравнением

При получаем, что

При получаем, что

Значит, наша прямая проходит через точки и

Выразив у из уравнения , получим уравнение прямой вида

Если вы поступаете в вуз на специальность, связанную с математикой, — уже на первом курсе вы познакомитесь и с другими видами уравнения прямой.

Зачем изучать линейную функцию? 

Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде

Например, закон Ома для участка цепи: Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.

Формула для равномерного прямолинейного движения: . Пройденное расстояние S прямо пропорционально времени.

Закон теплового расширения , который вам встретится в одной из задач под номером 10 варианта Профильного ЕГЭ по математике — тоже линейная функция. И таких примеров можно привести очень много.

Обратите внимание, что в формулу линейной функции аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.

Если в формулу функции входит аргумент в любой другой степени — например, в квадрате или в кубе, если мы делим на х, если в формуле присутствует или , или показательные или логарифмические выражения, зависящие от х, — график функции уже не будет прямой линией.