Как найти удлинение стержня сопромат

Рассмотрим
однородный стержень с одним концом,
жестко за­деланным, и другим — свободным,
к которому приложена централь­ная
продольная сила Р
(рис. 2.2). До нагружения стержня его
длина равнялась l -после
нагружения она стала равной l + Dl
(рис. 2.2). Величину Dl
называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если
в нагруженном стержне напряженное
состояние является однородным, т.е. все
участки стержня находятся в одинаковых
ус­ловиях, деформация e
остается одной и той же по длине стержня
и равной

. (2.1)

Если
же по длине стержня возникает неоднородное
напряжен­ное состояние, то для
определения его абсолютного удлинения
не­обходимо рассмотреть бесконечно
малый элемент длиной dz
(рис. 2.2). При растяжении он увеличит
свою длину на величину D dz
и его деформация составит:

. (2.2)

В
пределах малых деформаций при простом
растяжении или сжатии закон Гука
записывается в следующем виде:

s = E e . (2.3)

Величина
Е
представляет собой коэффициент
пропорциональ­ности, называемый
модулем упругости материала первого
рода. Из совместного рассмотрения
уравнений (2.2) и (2.3) получим:

,

откуда
с учетом того, что

и
,

окончательно
получим:

. (2.4)

Если
стержень изготовлен из однородного
изотропного мате­риала с Е = const,
имеет постоянное поперечное сечение
F = const
и нагружен по концам силой Р,
то из (2.4) получим

. (2.5)

При
решении многих практических задач
возникает необходи­мость, наряду с
удлинениями, обусловленными действием
механи­ческих нагрузок, учитывать
также удлинения, вызванные темпера­турным
воздействием. В этом случае пользуются
принципом неза­висимости действия
сил, и полные деформации рассматривают
как сумму силовой и температурной
деформаций:

, (2.6)

где
a — коэффициент
температурного расширения материала;
t -пе­репад
температуры тела. Для однородного
стержня, нагруженного по концам
продольными силами Р
и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.7)

2.3. Пример расчета (задача № 1)

Для
стального бруса квадратного сечения
сжатого силой Р
с учетом собственного веса при исходных
данных приведенных ниже, требу­ется
(рис. 2.3, а):

1. Определить
количество расчетных участков;

2. Составить
аналитические выражения для нормальных
сил N_z ,
нормальных напряжений s_z
и вычислить их значения для каж­дого
из участков с учетом их собственных
весов;

3. Построить
эпюры N_z
и s_z
;

4. Вычислить
перемещение верхнего конца колонны от
дейст­вия силы Р
и собственного веса.

Исходные данные: Р = 20 кН;
l₁ = l₂ = l₃ = 0,4 м;
модуль упругости стали Е = 2,1×10⁸ кН/м²;
F₁ = 4×10^-2 м²;
F₂ = 9×10^-2 м²;
F₃ = 25×10^-2 м²;
g = 78
кН/м³
.

Решение

1. Определение
количества участков.
Так как нор­мальная сила N_z
зависит от величин внешних сил, в данном
случае включающих в себя и собственный
вес колонны, а последний, в свою очередь,
от размеров попе­речного сечения F_i
и
объемного веса g,
то границами участков следует назначать
те сечения, в которых приложены внешние
сосредоточенные силы и где происходит
скачкообразное изменение площади
попе­речного сечения или объемного
веса материалов конструкций.

Исходя
из вышесказанного, учитывая g
= const,
брус будет иметь три участка:

1 участок — от
0 до сечения В
(где приложена сила Р);

2 участок — от
сечения
В
до сечения
С;

3 участок — от
сечения
С
до сечения
D.

Следует
заметить, что при определении нормальных
напряже­ний используются те же участки.

1. Составить
   аналитические выражения для нор­мальных
   сил N_z,
   нормальных напряжений s_z
   и вычис­лить их значения для каждого
   из участков, с учетом их собственных
   весов.
   Для
   этого воспользуемся методом сече­ний.

1 участок
(0 — В)
0 £ z₁ £ 0,4
м.

Проведя
сечение 1 — 1
на расстоянии z₁
от
начала координат (точка 0), рассмотрим
равновесие верхней части. При этом, к
рас­сматриваемой части прикладываются
в центре ее тяжести собствен­ный вес
и нормальная сила
,
заменяющую действие отброшен­ной
нижней части бруса на верхнюю
рассматриваемую (рис. 2.3,б).
Составив уравнение равновесия
рассматриваемой верхней части ко­лонны
по оси z ,
получим:

.

В
свою очередь, собственный вес верхней
части колонны оп­ределяется следующим
образом:

кН.

Тогда
выражение для нормальной силы будет
иметь вид:

кН,

а
для нормальных напряжений
:

кН/м².

Так
как,
илинейно
зависят отz₁ ,
то для построения их графиков (эпюр)
достаточно определить значения этих
величин на границах участка, т.е.

при
z₁ = 0

при
z₁ = 0,4 м кН;

кН/м².

Знаки
минус при
и
указывают
на то, что принятое на­правление для
этих величин не совпадает с действительным,
т. к. в принятой схеме продольная сила
не растягивает, а сжимает первый участок.

2
участок (В — С)
0,4 м £ z₂ £ 0,8
м.

Аналогично
предыдущему проводим сечение 2-2
на расстоянии z₂
(рис. 2.3, в).
Для верхней части составляем уравнение
равновесия åz = 0 .

В
это уравнение войдут: собственный вес
первого участка Р₁ =
= g F₁ l₁;
собственный вес отсеченной части второго
участка

;
сосредоточенная силаР
= 20 кН, а также сила
.

Тогда
уравнение равновесия примет вид:

Р₁ +  + P + = 0,

отсюда

= —P — g F₁ l₁ —  = -20 — 78×4×10^-2×0,4 — 78×9×10^-2
(z₂ -0,4) = 
  = -7,02×(z₂ + 2,62678)
кН.

Учитывая
постоянство площади поперечного сечения
на втором участке, выражение для
нормального напряжения может быть
запи­сано таким образом:

êÍ/ì².

Вычислим
значения ординат
ив граничных сечениях второго участка:

при
z₂ = 0,4 м кН,

кН/м²;

при
z₂ = 0,8 м кН,

кН/м².

3
участок (С — D)
0,8 м £ z₃ £
1,2 м.

Составив
уравнение равновесия åz = 0
(рис. 2.3, г)
для верхней части бруса, получим:

Р₁ + Р₂ +  + P + = 0,

откуда

= —P — g F₁ l₁ — g F₂ l₂ — g F₃ (z₃ — l₁ — l₂)= -20 — 78×4×10^-2×0,4 —
— 78×9×10^-2 ×0,4 — 78×25×10^-2 (z₃ — 0,8) = -19,5×(z₃ + 0,43364)
кН.

Выражение
для напряжения:

кН/м².

Вычислим
значения ординат

и
в граничных сечениях третьего участка:

при
z₃
= 0,8 м (0,8) =-19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056
кН,

(0,8) =-78 (0,8 + 0,43364) = -96,224кН/м²;

при
z₃
= 1,2 м (1,2) =-19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856
кН,

кН/м².

3. Построение
эпюр N_z
и s_z

По причине линейной зависимости
нормальной силы и напряжений от координаты
z
для построения их эпюр достаточно
значений N_z
и
s_z
в
граничных сечениях каждого из участков
(см. рис. 2.3, д, е).
Необходимым условием правильности
построения этих графиков является
выпол­нение следующих требований:

— скачок
в эпюре N_z
должен находиться в точке приложения
сосредоточенного усилия и быть равным
по величине значению этой силы;

— скачки
в эпюре s_z
должны
совпадать с точками приложения внешней
силы Р
и изменения площади поперечного сечения
ко­лонны.

После
анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е)
легко можно убедиться, что построения
выполнены правильно.

4. Вычисление
перемещения верхнего конца ко­лонны
от действия всех сил.
Полное перемещение со­гласно закону
Гука может быть вычислено по формуле

.

В
данном случае это выражение принимает
следующий вид:

Так
как величины определенных интегралов
равны площадям, очерченным соответствующими
подынтегральными функциями, то для
вычисления перемещений Dl_i
достаточно
вычислить площади эпюры N_z
на
каждом из этих участков и разделить их
на E_i
F_i
.
Следовательно,

м.

Соседние файлы в папке 1

• #
• #
• #

  25.04.2014747.01 Кб42П1.DOC

• #
• #
• #
• #
• #

Примеры решения задач по сопротивлению материалов



На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, где необходимо найти внутренние усилия, напряжения и линейные удлинения на участках и в сечениях бруса, нагруженного продольной силой и собственным весом.

Результаты расчетов оформлены эпюрами продольных сил, напряжений и удлинений бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

***

Расчет стержня

Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l₁…l₃, и площадью А₁…А₃, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате l_F (см. рис. 1).
Материал стрежня – сталь Ст.3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений δ.

Исходные данные:

• l₁ = 1,1 м;
• l₂ = 1,0 м;
• l₃ = 0,9 м;
• А₁ = 40 см²;
• А₂ = 20 см²;
• А₃ = 25 см²;
• F = 70 кН;
• l_F = l₁ + l₂;
• Опора расположена вверху.

Справочная информация:

Удельный вес стали Ст.3:   γ = (77…79)×10³ Н/м³.
Для расчетов принимаем удельный вес равным   γ = 78×10³ Н/м³.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3:   Е = 2×10¹¹ Н/м².

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q₁ = γ×А₁.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение задачи:

1. Вычерчиваем схему стержня в соответствии с исходными данными.

2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. с III-го участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).
Составляем уравнения для нахождения продольной силы N, нормального напряжения σ и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:

2.1. Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости 3-3. При этом зависимость величины продольной силы F от координаты z₃ будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А₃ и плотность стали γ остается неизменной по всему участку.
Уравнение для продольной силы на участке:

N = q₃×z3 = γ×А₁×z₃,

где
q₃ – вес стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z₃ – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А₃ – площадь сечения участка III (м²);
γ – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 — γ = 78×10³ Н/м³).

Тогда в сечении 3-3 продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N₃ = q₃×z₃ = l₃× γ×А₃ = 0,9×78×10³×25×10^-4 = 175,5 Н.

2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении стержня:

σ₃ = N₃/А₃.

Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

σ₃ = N₃/А₃ = 175,5/25×10^-4 =70222,2 Па   или   σ₃ ≈0,07 МПа.

2.3. Удлинение бруса на участке III определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

∆l₃ = ∫[N₃/(E×A₃)]dz,

где Е – модуль продольной упругости стали;   Е = 2×10¹¹ Н/м².

Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N₃ в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:



3. Проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на участках II и I, учитывая, что к сечению 2-2 участка II приложена продольная сила F, которая по отношению к участкам II и I является растягивающей (т. е. положительной).

3.1. Продольная сила на участках II и I будет равна:

В начале участка II:

N₂¹ = F + N₃ = 70000 + 175,5 = 70175,5 Н  или  N₂¹ ≈ 70,175 кН.

В конце участка II и в начале участка I:

В конце участка I:

N₁² = N₁¹ + q₁×z₁ = F + l₁× γ×А₁ = 70331,5 + (1,1×78×10³×40×10^-4) =70674,7 Н  или  N₁² ≈ 70,67 кН.

3.2. Нормальное напряжение на участках II и I:

В начале участка II:
σ₂¹ = N₁² /А₂ = 70175/20×10^-4 = 35087500 Па  или  σ₂¹ ≈ 35,09 МПа.

В конце участка II:
σ₂² = N₂²/А₂ = 70331,5 /20×10^-4 = 35 165 750 Па  или  σ₂² ≈ 35,16 МПа.

В начале участка I:
σ₁¹ = N₁¹/А₁ = 70331,5 /40×10^-4 = 17 582 875 Па  или  σ₁¹ ≈ 17,58 МПа.

В конце участка I:
σ₁² = N₁²/А₁ = 70674,7 /40×10^-4 = 17668675 Па  или  σ₁² ≈ 17,7 МПа.

3.3. Удлинение стержня на участках II и I:

4. Определяем перемещения сечений стержня:

• δ_0-0 = 0 мм;
• δ_1-1 = ∆l₁ = 0,0991 мм;
• δ_2-2 = ∆l₁ + ∆l₂ = 0,0991 + 0,1785 = 0,2776 мм;
• δ_3-3 = ∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃ = 0,0991 + 0,1785 + 0,000158 = 0,2777 мм.

5. Результаты расчетов сводим в Таблицу 1, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1).

Таблица 1. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.

Участок	Границы участка	Продольная сила, N, кН	Нормальное напряжение, σ, МПа	Перемещение δ, мм
III	начало	0	0	0,2777
конец	0,1755	0,07	0,2776
II	начало	70,175	35,09	0,2776
конец	70,33	35,16	0,0991
I	начало	70,33	17,58	0,0991
конец	70,67	17,70	0

***

Пример расчета вала на скручивание

Контрольная по сопромату для ВУЗов



Привет! В этой статье поговорим о самом простом, но очень важном виде деформации – растяжении (сжатии). Обычно, с этого студенты и начинают изучать сопромат.

Здесь принято вводить основные понятия, которые используются на протяжении всего курса.

Растяжение (сжатие) – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях растянутого (или сжатого) стержня возникают продольные силы (N).

Что такое продольная сила?

Соответственно, продольная сила – это внутренний силовой фактор, возникающий при деформации растяжения (сжатия).

В задачах на растяжение (сжатие) всё начинается с нахождения этих самых продольных сил. Зная, которые можно определить другие, очень важные характеристики: напряжения, перемещения и т. д.

Как определить продольную силу?

Продольные силы определяются методом сечений.

Когда стержень рассекается на две части, действие частей друг на друга заменяется продольными силами:

Затем, из уравнения равновесия, находятся их значения:

Для понимания, как распределены продольные силы по длине стержня, принято строить эпюру продольных сил. Подробный урок, по построению эпюры продольных сил можно найти, перейдя по указанной ссылке.

Что по поводу нормальных напряжений?

Нормальные напряжения также можно найти в любом сечении. Для этого нужно продольную силу в этом сечении разделить на площадь этого сечения:

Так же, как и в случае с продольными силами, принято строить эпюру нормальных напряжений. Чтобы видеть наиболее опасные участки рассматриваемого стержня. Подробнее, про эпюры нормальных напряжений можно почитать в этой же статье.

Как найти перемещения?

В случае с растяжением (сжатием), стержни либо удлиняются, либо укорачиваются.

Например, для схемы, представленной выше, удлинение свободного торца можно посчитать по формуле:

где N – продольная сила в сечениях;

l – длина стержня до приложения внешней силы;

E – модуль упругости, материала из которого изготовлен стержень;

A – площадь поперечного сечения стержня.

Для перемещений тоже принято строить эпюры – эпюры осевых перемещений поперечных сечений. Также можешь найти подробности в ранее указанной статье.

Как насчет расчетов на прочность?

В этом разделе поговорим о расчетах на прочность при растяжении (сжатии), а также рассмотрим несколько примеров.

Условие прочности при растяжении (сжатии)

Условие прочности при растяжении (сжатии) выглядит следующим образом:

То есть рассчитываемый элемент можно считать прочным, если максимальное нормальное напряжение (σ_max) возникающее в элементе меньше, либо, по крайней мере, равно допустимому — [σ].

Нормальные напряжения (σ) в сечениях определяются по формуле:

где N – продольная сила в сечении;

A – площадь сечения.

Площадь простых сечений можно посчитать по этим формулам.

Допустимое напряжение

Как правило, в задачах, допустимое напряжение [σ] уже задано по условию. Для стали, по традиции, принимают [σ] = 160 МПа.

Если же [σ], по условию задачи не дано явно, то допустимое напряжение можно вычислить по формуле:

где σ_пред – предельное напряжение;

n – коэффициент запаса прочности.

Очевидно, за предельное напряжение для разных материалов принимают различное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких материалов (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение (сжатие), с помощью специальных машин, которые фиксируют характеристики материалов в виде диаграмм.

Коэффициент запаса прочности

Коэффициент запаса прочности (n) выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения или сферы применения проектируемой детали. Обычно коэффициент запаса прочности варьируется от 2 до 6.

Проверка прочности при растяжении (сжатии)

Проверим прочность стального стержня, работающего на сжатие, если d₁ = 50 мм, d₂ = 70 мм, σ_т = 260 МПа, n_т = 2.

Определим продольные силы на участках:

Определим площади поперечных сечений на участках:

Найдем нормальные напряжений на участках:

Максимальные нормальные напряжения будут равны:

Проверка прочности стержня

Определим допускаемое напряжение:

Так как:

Прочность стержня обеспеченна.

Подбор размеров поперечных сечений при растяжении (сжатии)

Подберём размеры поперечных сечений стержня, если допустимое напряжение [σ] = 160 МПа.

Найдём продольные силы на каждом участке:

Запишем условие прочности для участков бруса:

Или его можно записать как:

Отсюда можно выразить необходимую площадь поперечных сечений:

Так как сечения бруса круглые, можно записать:

Подставляя численные значения для каждого участка, найдём искомые размеры:

Округлим полученные значения по ГОСТ 6636-69 (Ra40) до ближайших больших и окончательно примем:

Методология
расчетов стержней на растяжение (сжатие)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид
деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная
сила 
(растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю.

ПОСТРОЕНИЕ
ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ N

Рисунок

 
       Продольная сила — это внутреннее усилие, которое возникает между
отдельными частями элемента под действием внешних сип (центрально-сжимающих или
центрально-растягивающих).

     
Для определения продольной силы используется метод сечений. Растяжение
обозначается плюсом (+), сжатие минусом (-). (рис. 1).

     
В соответствии с методом сечений; разрезаем, отбрасываем, заменяем,
уравновешиваем:

    1. Скачок в эпюре N равен приложенной в этом сечении
сосредоточенной силе.
    2. В сечении ‘А’ (заделка) есть реакция Ra, которую
можно найти из формулы: 

Но проще идти со свободного конца, и затем найти реакцию Ra по эпюре в точке А:
Ra = P.

Рисунок 1

При центральном растяжении (сжатии) в поперечном
сечении возникают нормальные напряжения:

где N — продольная сила;

      
F — площадь поперечного сечения.

Эти
напряжения распределены по поперечному сечению равномерно (рис. 2). 

 
Рисунок 2

Проверка прочности центрально растянутого стержня
выполняется по условию: 

При растяжении и сжатии бруса меняются его продольные
и поперечные размеры (рис. 3). 

Рисунок 3 

При растяжении: 

Длина бруса меняется на  (удлинение), Ширина
бруса меняется на  (сужение). При сжатии: 

 (укорочение)

 (увеличение)
Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным
напряжением и относительной деформацией: 

или, если представить в другом виде:

где Е — модуль продольной упругости.

Это физическая постоянная материала, характеризующая его
способность сопротивляться упругому деформированию.

EF — жесткость поперечного сечения бруса при
растяжении-сжатии.

абсолютная деформация (см, м)	относительная деформация безразмерная	коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона
l продольная	продопьная
b поперечная	поперечная

        Деформация бруса (растяжение или сжатие) вызывает перемещение
поперечных сечений.

Рассмотрим три случая нагружения при растяжении.

В первом случае при растяжении бруса сечение n-n
перемещается в положение n1-n1 на величину . Здесь: перемещение
сечения равно деформации (удлинению) бруса  = l. 

Рисунок 4 

Во втором случае растяжения (рис. 5)

Рисунок 5

I-ый
участок бруса деформируется (удлиняется) на величину l1, сечение n-n
перемещается в положение n1-n1 на величину лев = l1.

II-ой
участок бруса не деформируется, так как здесь отсутствует продольная сила N,
сечение m-m перемещается в положение m1-m1 на величину 

В третьем случае рассмотрим деформации бруса при схеме нагружения, представленной
на рисунке (рис. 6).

Рисунок 6

В этом примере: перемещение сечения n-n (лев)
равно удлинению 1-ого участка бруса: 

Сечение m-m переместится в положение m1-m1 за счет деформации 1-ого участка
бруса, а в положение m2-m2 за счет своего собственного удлинения: 

Суммарное перемещение сечения m-m: 

В данном случае:

Рисунок 7 

С использованием эпюры N получаем такой же результат (снимаем N с эпюры) (рис. 8).

Рисунок 8 

Перемещение конца консоли можно получить, используя
только внешние силы (2Р,Р). Тогда

Для решения статически неопределимых задач необходимо
получить столько дополнительных уравнений, сколько имеется лишних неизвестных
(т.е. сколько раз статически неопределима задача).

Эти дополнительные уравнения получают из
рассмотрения деформации системы — составляют условие совместности деформаций
(рис. 9). 

Рисунок 9 

В этой системе мы можем взять следующие условия
совместности деформаций: 
 (перемещение
сечения А равно нулю, т.к. в этом сечении — заделка),  (то
же). 

 (т.е. общее удлинение бруса
равно нулю) 

Нам нужно выбрать только одно условие. Допустим, мы
выбрали . Тогда отбросим заделку В’ и заменим ее
реакцией Rb, которая должна обеспечить неподвижность этого сечения (рис. 9).

Получили необходимое дополнительное уравнение, из которого определяем Rb

Строим эпюру N.

В статически неопределимых задачах эпюры внутренних
усилий (у нас это — эпюра N) всегда двузначные, т.е. переходят с плюса на минус
(или наоборот).

Пример решения работы

Условие задачи:

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с
размерами см; см, см и площадью
поперечного сечения нижнего участка см2, а
верхнего – см2 нагружен
внешними осевыми силами кН и кН. Построить
эпюры продольных сил и нормальных
напряжений . Оценить
прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а
допускаемый коэффициент запаса . Найти
удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи:

Рисунок
10

Решение задачи:

Определяем
значение опорной реакции , возникающей
в заделке

Учитывая, что , направим
опорную реакцию вниз. Тогда из
уравнения равновесия находим:

кН.

Строим
эпюру продольных сил 

Разбиваем длину стержня на три участка. Границами
участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется
размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному
сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Отбросим
(или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. б). Само сечение 1 – 1
мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает
рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня
противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней
продольной силой , направленной
от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет
только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная
сила уравновесит
внешнюю силу . Поэтому
очевидно, что

кН.

Сечение 2 – 2. Внешняя
сила растягивает
рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает
(напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию
задачи, . Чтобы
уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя
сила , противодействующая
сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

кН.

Сечение 3 – 3. Отбросим
теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная
сила должна
уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она
направлена к сечению и равна:

кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не
изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае
продольная сила также
противодействует сжатию. Она равна:

кН.

При построении эпюры продольных сил будем
пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая
в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она
противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует
его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая
часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию
сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для
стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на
растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении
нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению
и равна кН. В любом
сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия,
поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводим
тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. д). Вычисленные значения
продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой
вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила
остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями
соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть
ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в
соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах
приложения внешних сил на эпюре имеет место
скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению
соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как
это видно из рис. д, никак не сказывается на характере эпюры .

Строим
эпюру нормальных напряжений 

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном
сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и – продольная
сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное
напряжение равно

кН/см2,

во втором –

кН/см2,

в третьем –

кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. е). В
пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра
напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет
место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит
изменение размеров поперечного сечения стержня.

Оцениваем
прочность стержня

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное
напряжение , которое в
нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым
напряжением . Напомним,
что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного
напряжения , то есть от
напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как
пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций.
Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

кН/см2.

Условие прочности имеет вид . В нашем
случае

кН/см2
> кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не
обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на
втором участке, равную см2, нам
необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках
стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь
поперечного сечения стержня на втором участке:

см2.

Принимаем на втором участке см2.

Вычисляем
удлинение всего стержня 

При переменных по длине стержня значениях продольной
силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина
соответствующего участка стержня.

Тогда

см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.

Задания для решения работы

Условие задачи:

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2)
находится под действием внешних осевых сил и .
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений .
Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см²,
а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи:

Рисунок
11

Исходные данные к задаче:

Номер схемы	F, см2	a, м	b, м	c, м	P, кН
1	2,0	1,2	1,4	1,6	11
2	2,2	1,4	1,6	1,4	12
3	2,4	1,8	1,6	1,2	13
4	2,6	1,6	2,0	1,0	14
5	2,8	2,0	1,8	1,2	15
6	3,0	2,2	1,6	1,4	16
7	3,2	2,4	1,4	1,6	17
8	3,4	2,6	1,2	1,8	18
9	3,6	2,8	1,0	1,4	19
0	3,8	2,4	1,6	1,2	20