Как найти угловое перемещение сопромат

Как отмечалось ранее, деформацией при изгибе является искривление продольной оси балки.

Вследствие этого искривления, точки и поперечные сечения балки получают линейные и угловые перемещения.

Рассмотрим на примере простой консольной балки.

Линейные перемещения

Отметим в произвольном месте балки точку K и приложим к свободному концу консоли сосредоточенную силу F.

Под действием этой силы балка изогнется, и точка K переместится в новое положение K’.

Очевидно, что перемещение точки K произойдет, не строго вертикально, поэтому разложим его на две составляющие:
вертикальное перемещение по оси y, называемое прогибом балки в т. K (y_K)

и горизонтальное (осевое) смещение точки вдоль горизонтальной оси — z_K

Практические расчеты показывают, что осевые смещения как правило, несоизмеримо меньше вертикальных перемещений (например, в данном случае z_K<< y_K), поэтому ими пренебрегают, ограничиваясь вычислением прогибов.

Линейные перемещения (прогибы балки) измеряются в метрах или кратных единицах измерения (миллиметрах и сантиметрах).

Прогибы, при которых сечение в результате деформации балки перемещается вверх принимаются положительными.

Именно по величине прогибов определяется жесткость балки.

Угловые перемещения

Кроме линейных, сечения балки при изгибе получают и угловые перемещения.
Проведем касательные к продольной оси балки в точках K и K’.

В первом случае линия касательной совпадает с прямой осью балки, во втором – располагается под углом θ.
Угол между касательными очевидно равен углу между нормалями к оси балки в этих точках.

Этот угол θ_K называется углом наклона сечения K в результате деформации балки.

Вычисляется в радианах, с последующим переводом в градусы.

Между линейными и угловыми перемещениями при изгибе существует дифференциальная зависимость.

Например, в сечениях, углы наклона которых равны нулю следует ожидать экстремума изогнутой линии балки на данном участке.

Методы расчета перемещений

Существует несколько способов расчета линейных y и угловых θ перемещений при изгибе:

Метод начальных параметров (МНП)

Перемещения рассчитываются по уравнениям МНП

Считается относительно простым методом расчета перемещений в прямых балках с постоянной жесткостью сечения.
Данный способ не применим для расчета прогибов и углов наклона в балках переменного сечения, с изогнутой или ломаной осью и в рамах.
Подробнее >>

Интеграл Мора

Интеграл Мора относится к энергетическим методам расчета перемещений.

В отличие от МНП позволяет определять линейные и угловые перемещения для любых систем.
Подробнее >>

Способ Верещагина

Данный способ расчета перемещений представляет собой графическую интерпретацию интеграла Мора, особенностью которой является «перемножение эпюр» грузовой и единичных схем.

Подробнее >>

Метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки

Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии

является одним из наиболее универсальных способов расчета перемещений в балках. Может применяться без ограничений к балкам любой формы.

По результатам расчета перемещений сечений балки строится линия изогнутой оси балки (либо эпюра прогибов), с указанием числовых значений прогибов и углов наклона в характерных сечениях.

Эти вычисления и построения необходимы для проверки балок на жесткость.

Примеры решения задач >
Лекции по сопромату >

Сохранить или поделиться с друзьями

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение  .

1. Определим опорные реакции.

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру М_F.

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

Строим эпюру М_F  от заданной нагрузки.

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

Подбираем 2 швеллера №33 см³.

Проверим прочность подобранного сечения.

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент .

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп , определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.М_F – все положительные, эп. – тоже.

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

Определим момент инерции I_х для сечения.

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·10⁵ МПа = 2·10⁸ кПа. Тогда:

Угол поворота φ_А получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φ_В. (рис.г,д )

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп.  от единичной силы (рис.ж).

Рассмотрим рис. е.

Строим эп. :

Определим прогиб в т. С.

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

(знак «— « говорит о том, что реакция R_А направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп.   , 

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

Определим прогиб в точке С.

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим у_D .  (рис. к).

Строим эп.  (рис.л) :

Определим φ_D  (рис. м):

Строим эп.   — (рис.н).

Определим угол поворота:

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

Проверим жесткость балки  , где f – максимальный прогиб.

Максимальный прогиб   — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

Задача. Определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы по интегралу Мора

1. Составляем выражение изгибающего момента M_F от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения.  В нашей задаче прикладываем горизонтальную единичную силу. Составляем выражение изгибающего момента.

Определяем моменты от единичной нагрузки F=1

По интегралу Мора вычисляем горизонтальное перемещение:

Перемещение имеет положительное значение. Это значит, что оно соответствует направлению единичной силы.

Интеграл Мора, формула Мора. В криволинейном брусе определить горизонтальное перемещение точки А. Жесткость в пределах всей длины бруса постоянна. 

Ось бруса очерчена по параболе, уравнение которой:

Учитывая, что брус безраспорный и достаточно пологий (f/ι = 3/15 = 0,2), влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Поэтому для определения перемещения воспользуемся формулой:

 Так как жесткость EJ постоянна, то:

Составим выражение M₁ для действительного состояния бруса (1-го состояния) (рис. а):

Снимаем с бруса все нагрузки и  прикладываем в точке А горизонтальную единичную силу (2-е состояние) (рис. б).  Составляем выражение для :

Вычисляем искомое перемещение в точке А:

Знак минус указывает на то, что перемещение точки А противоположно направлению единичной силы, т.е. это точка смещается по горизонтали влево.

Интеграл Мора, формула Мора.Определить угол поворота шарнирной опоры  D для рамы с определенными опорными реакциями,  Жесткости элементов указаны на расчетной схеме.

Составим выражение М₁, используя схему системы в 1-м состоянии. М₁ – функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для заданной балки или рамы от действия заданных нагрузок 1-го состояния.

Освобождаем раму от нагрузок, прикладываем единичный момент на опоре D, получаем систему второго состояния.

Составляем выражения  — это функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для вспомогательной системы 2- го состояния, нагруженной единичным усилием:Находим искомое перемещение — угол поворота по формуле (интегралу) Мора:Значение угла поворота положительно, значит направление соответствует выбранному направлению единичного момента.

Интеграл Мора (формула Мора). Для рамы определить горизонтальное перемещение точки C. Жесткости элементов указаны на рисунке. Назовем заданную систему системой первого состояния. . Составляем для каждого элемента выражение М₁, пользуясь схемой 1-го состояния системы:

Снимаем с рамы все нагрузки и получим 2-е состояние рамы, приложив по направлению искомого перемещения горизонтальную единичную силу.    Составляем выражение единичных моментов  : . Вычисляем по формуле (интегралу) Мора  искомое перемещение: 

Тогда получим:

Знак минус указывает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы.

Для стальной балки подобрать размеры поперечного сечения, состоящего из двух двутавров, на основе условия прочности по нормальным напряжениям, построить эпюры линейных и угловых перемещений. Дано: 

Расчет опорных реакций и значений грузовой эпюры (эпюры изгибающих моментов) приводить не будем, покажем без расчетов. Итак, грузовая эпюра моментов:

При этом на эпюре М у значений изгибающих моментов отсутствуют знаки, указываются волокна, испытывающие сжатие. Как видно из эпюры, в опасном сечении: М_С=М_max=86,7кНм. 

Подберем сечение из двух двутавров. Из условия прочности: 

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №27а, у которого I_x1=5500см³, h=27см. Фактическое значение осевого момента сопротивления всего сечения W_x=2I_x1/(h/2)=2·5500/(27/2)=815см^3.

Вычисляем линейные и угловые перемещения сечения балки методом О.Мора, применяя формулу Симпсона. Выбор количества сечений, необходимого для построения эпюр линейных и угловых перемещений в балке, зависит от числа участков и характера эпюры изгибающих моментов. В рассматриваемой балке к  таким можно отнести сечения А, B, C, D (принадлежат границам силовых участков) и сечения 1, 2, 3 – в середине участков (определение перемещений в этих сечениях повышает точность построения эпюр).

Сечение А. Как известно, линейное перемещение сечения в шарнирной опоре y_A=0.

Для вычисления углового перемещения θ_а загружаем вспомогательную систему единичной парой сил -моментом, равным единицеУравнения равновесия

Решая уравнения равновесия, получим:

Определяем значения моментов в характерных сечениях

Участок АD: 

В середине участка АВ значение изгибающего момента грузовой эпюры M_F равно f=73,3·1- 80·1²/2=33,3кНм

Определяем угловое перемещение сечения А по формуле Симпсона:

Угловое перемещение сечения А направлено против часовой стрелки (противоположно действию единичного момента).

Сечение В

Прикладываем в  сечении В силу, равную единице, для определения линейного перемещения, и строим единичную эпюру моментов

Уравнения равновесия:

Из решения уравнений равновесия следует:

Определяем значения моментов в характерных сечениях:

Определяем линейное перемещение y_В.

Линейное перемещение  y_В=3,65×10^-3м  направлено вверх (противоположно действию единичной силы).

Для определения углового перемещения в сечении В прикладываем единичный момент и строим единичную эпюру моментов.

В результате «перемножения»  единичной эпюры  и грузовой эпюры  получим угловое перемещение:

Угловое перемещение направлено против часовой стрелки.

Сечение С.

Линейное перемещение:

Линейное перемещение y_С=5,4 ×10^{-3 м} направлено вверх.

Угловое перемещение:

Угловое перемещение направлено по часовой стрелке.

Сечение D. Линейное перемещение в данном сечении равно нулю.

Угловое перемещение:

Угловое перемещение  направлено по часовой стрелке.

Дополнительные сечения:

Сечение 1 (z=0,5ℓ)

Линейное перемещение y₁=1,34×10^-3м  направлено вверх;

Угловое перемещение:

Угловое перемещение направлено против часовой стрелки.

Аналогично строим единичные эпюры для сечения 2 (z=1,5ℓ) и сечения 3 (z=2,5ℓ),находим перемещения.

Применяя правило знаков для линейных перемещений вверх — плюс, вниз — минус, а для угловых перемещений против часовой стрелки — плюс, по часовой стрелке – минус, строим эпюры линейных и угловых перемещений y и θ. 

Для балки определить максимальный прогиб и максимальный угол поворота.

Ввиду симметрии нагрузки опорные реакции  А=В=ql/2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

Интегрируем данное уравнение дважды. После первого интегрирования получаем уравнение углов поворота:

   (а)

После второго интегрирования получаем уравнение прогибов:    

  (б)

Необходимо определить значение постоянных интегрирования — С и Д. Определим их из граничных условий. В сечениях А и В балка имеет шарнирные опоры, значит прогибы в них равны нулю. Следовательно, имеем граничные условия:

1)   z = 0, y = 0.

2)   z = l, y = 0.

Используем первое граничное условие: z = 0, y = 0.

Тогда из (б) имеем:

Второе граничное условие при z =l дает:

, откуда:

Окончательно получаем.

Уравнение углов поворота:

Уравнение прогибов:

При  угол поворота  равен нулю, а прогиб будет максимальным:

Знак минус говорит о том, что при принятом положительном направлении оси вверх, прогиб будет направлен вниз.

Наибольшее значение угол поворота  имеет на опорных сечениях, например,  при

z = 0:

Знак минус говорит о том, что угол поворота   при z = 0   направлен по часовой стрелке.

Для  рамы  требуется определить угол поворота сечения 1 и горизонтальное перемещение сечения 2.

Дано:  L=8 м, F=2 кН, q=1 кН/м, h=6 м,  моменты инерции I₁=I, I₂=2I

1. Определяем  опорные реакции и строим грузовую эпюру:

а) Определяем опорные реакции:

Проверка сошлась. Вертикальные реакции определены верно.  Для определения горизонтальных реакций нужно использовать свойство шарнира, а именно —  записать уравнение моментов относительно шарнира от всех сил, расположенных с одной стороны рамы.

Проверка сошлась, значит,  горизонтальные реакции определены верно.

б) Строим грузовую эпюру — эпюру от заданной нагрузки. Грузовую эпюру будем строить на растянутых волокнах.

Разбиваем раму на участки. На каждом участке намечаем сечения в начале и конце участка, а на участках с распределенной нагрузкой дополнительное сечение в середине. В каждом сечении определяем значение внутреннего изгибающего момента по правилу: изгибающий момент  равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных с одной стороны  от сечения, относительно центра этого сечения. Правило знаков для изгибающего момента: момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна.

Строим грузовую эпюру.

2.Определяем угол поворота сечения (1)

а) Для того, чтобы определить угол поворота указанного сечения, нужно зарисовать исходную раму без внешней нагрузки и к заданному сечению приложить единичный момент.

Сначала определяем  реакции:

 Строим единичную эпюру моментов.

б) Определяем угол поворота по формуле Симпсона, подставив I₁=I, I₂=2I:

Знак « — » означает, что поворот сечения происходит против направления единичного момента, т.е. по часовой стрелке.

3. Определяем горизонтальное перемещение сечения (2).

а) Для того, чтобы определить горизонтальное перемещение в указанном сечении, нужно зарисовать исходную раму без внешней нагрузки и к заданному сечению приложить в горизонтальном направлении единичную силу.

Определяем реакции:

Строим единичную эпюру моментов

б) Определяем горизонтальное перемещение сечения (2) по формуле Симпсона:

Результат получился с «+», значит точка (2) перемещается по направлению единичной силы, т.е. вправо.

Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.

Дано: a=2 м, b=4 м, с=3 м, F=20 кН, М=18 кНм, q=6 кН/м, σ_adm=160 МПа, Е=2 10⁵ МПа

1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции —  вертикальная и горизонтальная, а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.

∑F_y= 0        q7-F+R_E=0

R_E=-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Найдем опорный момент в жесткой заделке, для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.

∑M_C: -M_E-R_E9-F6-q77/2-M=0 

M_E=-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)

Далее требуется выполнить проверку правильности определения реакций, составив уравнение равновесия относительно любой точки, к примеру, точки Е, ∑M_Е   = 0.

2) Строим грузовую эпюру  M^F– эпюру моментов от заданной нагрузки. 

Для построения эпюр моментов  найдем моменты в характерных точках. В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил, поскольку в этой точке приложен момент.

Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС)  нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм. Строим грузовую эпюру.

3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.

 4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона. 

где  l_i – длина участка;

 EI_i – жесткость балки на участке;

 M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

–  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак  «+»,  если с разных, то знак «-».

Если результат получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.

Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.

Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичной силы.

Прогиб получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).

Определим угол поворота, перемножив грузовую эпюру на эпюру  от единичного момента.

Угол поворота получился со знаком «-», значит  искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).

5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра 

где M_max – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов

Подбираем по сортаменту двутавр №30  с W_x=472см³ и I_x= 7080см⁴

6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль  Юнга (2 10⁵ МПа),  J_x – осевой момент инерции сечения

Прогиб в точке А (вверх)

Угол поворота (против часовой стрелки)

Если требуется построить изогнутую ось балки, то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны — строится плавная кривая – изогнутая ось балки.

Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры  имеет криволинейное очертание и равна:

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Центр тяжести грузовой эпюры находится на расстоянии одной четверти (см. эпюру)

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 

Теперь по формуле правила Верещагина  определяем:

сначала прогиб

 затем угол поворота:

В знаменателе формулы — жесткость сечения.