Как найти угловое ускорение через частоту вращения

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

1. если известно количество оборотов n за единицу времени t:
   
2. если задан угол поворота φ за единицу времени:
   
3. если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:
   

Размерности угловой скорости:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

• Примеры расчета угловой скорости и ускорения
• Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Угловое ускорение – что это?

Угловое ускорение (varepsilon) – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости при движении тела.

Единица измерения: (lbrackvarepsilonrbrack=frac1{с^2}) или (с^{-2})

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость (omega) – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

1. (omega=frac nt), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).
2. (omega=fracvarphi t), где (varphi) – угол поворота, (t) – время, за которое он совершен.
3. (omega=frac{2pi}T), где (Т) – период обращения (время, за которое тело/точка совершает один оборот).
4. (omega=2pinu), где (nu) – числом оборотов в единицу времени.

Единица измерения угловой скорости в СИ: (lbrackomegarbrack=frac{рад}с)

Связь между угловой скоростью и нормальным (центростремительным) ускорением

Центростремительное (нормальное) ускорение (a_n) – это составляющая полного ускорения, которая характеризует изменение направления вектора скорости при криволинейном движении. Другим компонентом полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно характеризует изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

 (a_n=frac{V^2}R),

где (V) – скорость движения, (R) – радиус окружности.

Единица измерения в СИ: (lbrack a_nrbrack=frac м{с^2})

Итак, формула связывающая эти две величины:

(a_n=omega^2R)

Основные формулы для расчета углового ускорения

Угловое ускорение маховика

(varepsilon=fracomega t=frac{2pi n}t), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

(leftlanglevarepsilonrightrangle=frac{triangleomega}{triangle t})

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением (a_tau) называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

(a_tau=varepsilon r), где (varepsilon) – угловое ускорение, (r) –  радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение (alpha) есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.

(alpha=tg(varepsilon)=frac{;domega}{dt}=frac{d^2phi}{dt^2})

Движение
твердого тела, при котором все его точки
перемещаются по окружности, центры
которой расположены на перпендикулярной
этим окружностям неподвижной прямой,
называется вращательным.
Неподвижная прямая, на которой лежат
центры круговых траекторий то­чек
тела, называется его осью
вращения.
Для образования оси вра­щения достаточно
закрепить какие-либо две точки тела. В
качестве примеров вращательного движения
тел можно привести движение две­рей
или створок окон при их открывании или
закрывании.

Представим
себе тело в виде цилиндра, ось AB
которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К
анализу вращательного движения твердого
тела

Движением одной
какой-либо точки однозначно определить
вращательное движение тела нельзя.

Для
установления закона вращательного
движения тела, по кото­рому можно
определять его положение в данный
момент, проведем через ось вращения
тела связанную только с нею неподвижную
полуплоскость НП, а внутри тела отметим
подвижную полуплоскость, ко­торая
вращается около оси вместе с телом,
теперь угол
φ,
образуемый в каждый данный момент
времени полуплоскостями НП и ПП, точно
определяет положение тела в пространстве
(см. рис. 7.3). Угол φ
называется углом
поворота
и выражается в радианах. Чтобы определять
положение тела в пространстве в любой
момент времени, необходимо знать
зависимость между углом поворота φ
и временем t,
т. е. знать закон вращательного движения
тела:

Быстрота
изменения угла поворота во времени
характеризуется величиной, которая
называется угловой
скоростью.

Представим,
что в некоторый момент времени t
положение
вращающегося тела определяется углом
поворота φ,
а в момент t
+ Δt –
углом поворота φ
+ Δ φ.
Следовательно, за время Δt
тело повернулось на угол Δ
φ,
и величина

называется
средней
угловой скоростью.

Единицей
угловой скорости является 1 рад/с.
Характеристикой быстроты изменения
угловой скорости служит угловое
ускорение,
обозначаемое
.
Среднее ускорение
;

.

Единица
углового ускорения 1 рад/с².

Условимся
угол поворота, отсчитываемый против
хода часовой
стрелки,
считать положительным, а отсчитываемый
по ходу часовой стрелки – отрицательным.

б

а

Рис. 7.4. К
определению вида вращательного движения

Векторы

и

– это скользящие векторы, которые
направлены по оси вращения, чтобы, глядя
из конца вектора

(или

),
видеть вращение, происходящее против
часовой стрелки.

Если
векторы

и

направлены в одну сторону (рис. 7.4,
а),
то вращательное движение тела ускоренное
– угловая скорость возрастает. Если
векторы

и

направлены в противоположные стороны,
то вращение тела замедленное
–
угловая скорость уменьшается (рис. 7.4,
б).

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное
вращательное движение.
Если угловое ускорение
и, следовательно, угловая скорость

,
(7.1)

то
вращательное движение называется
равномерным. Из выражения (7.1) после
разделения переменных получим

Если
при изменении времени от 0 до t
угол поворота изменялся от φ₀
(начальный угол поворота) до φ,
то, интегрируя уравнение в этих пределах:

получаем уравнение
равномерного вращательного движения

,

которое в
окончательном виде записывается так:

.

Если

,
то

.

Таким
образом, при равномерном вращательном
движении угловая скорость

или при
.

2. Равнопеременное
вращательное движение.
Если угловое ускорение

(7.2)

то
вращательное движение называется
равнопеременным. Производя разделение
переменных в выражении (7.2):

и
приняв, что при изменении времени от 0
до t
угловая скорость изменилась от
(начальная угловая скорость) до
,
проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

,

т. е.
получим уравнение

(7.3)

выражающее значение
угловой скорости в любой момент времени.

Закон
равнопеременного вращательного движения

или, с учетом уравнения (7.3):

Полагая,
что в течение времени от 0 до t
угол поворота изменялся от
до,
проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение
равнопеременного вращательного движения
в оконча­тельном виде

(7.4)

Первую
вспомогательную формулу получим,
исключив из формул (7.3)
и
(7.4) время:

(7.5)

Исключив
из тех же формул угловое ускорение
,
получим вторую вспомогательную формулу:

(7.6)

где
–
средняя угловая скорость при
равнопере­менном вращательном
движении.

Когда

и
,
формулы (7.3)–(7.6) приобретают более
простой вид:

В
процессе конструирования угловое
перемещение выражают не в радианах, а
просто в оборотах.

Угловая
скорость, выражаемая количеством
оборотов в минуту, называется частотой
вращения
и обозначается n.
Установим зависимость между

(с^–1)
и n
(мин^–1).
Так как
,
то при n
(мин^–1)
за t
=
1 мин = 60 с угол поворота
.
Следовательно:

.

При
переходе от угловой скорости

(с^–1)
к частоте вращения n
(мин^–1)
имеем

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Понятия и определения

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Определение и формулы

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Определение и формулы

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Полезные факты

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Определение и формула

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с²). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10³ секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10⁶. Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 22k