Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):
- амплитуда,
- период,
- частота,
- циклическая частота,
- фаза,
- начальная фаза.
Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза
Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.
Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.
Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.
А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.
Что такое амплитуда
Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.
Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.
В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.
Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.
К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.
Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».
С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):
Рис. 2. Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды
Что такое период
Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.
Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.
( large T left( c right) ) – период колебаний.
Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.
Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.
Рис. 3. Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике
Период – это время одного полного колебания.
На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):
Рис. 4. Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами
Что такое частота
Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).
Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».
Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:
( large nu left( frac{1}{c} right) ).
Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).
Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.
Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.
[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]
Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:
[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]
Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).
Рис. 5. На графике частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду
Что такое циклическая частота
Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.
Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:
( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )
Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).
Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».
Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:
[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]
Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.
Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.
Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).
И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.
Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.
Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).
Рис. 6. На графике циклическая (круговая) частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд
Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний
Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.
Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).
(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).
Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.
Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний
Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.
Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.
Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой
Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.
Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.
Обратим внимание (рис. 
на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).
Как вычислить начальный угол по интервалу смещения
Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.
- Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
- Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.
[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]
Из графика следует, что период T = 4 сек.
- Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):
[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]
Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.
- Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.
Для этого используем формулу:
[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]
(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )
Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.
- В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.
Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:
[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]
Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».
Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).
Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».
А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».
Примечания:
- Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
- На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.
Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.
Что такое фаза колебаний
Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.
Рис. 9. Угол отклонения от равновесия – фаза, изменяется в процессе колебаний
В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).
Различия между фазой и начальной фазой
Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.
Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.
Рис. 10. Перед началом колебаний задаем начальную фазу — начальный угол отклонения от равновесия. А угол, который изменяется во время колебаний, называют фазой
Как на графике колебаний отметить фазу
На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.
На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.
Рис. 11. На графике колебаний фаза – это точка, скользящая по кривой. В различные моменты времени она находится в разных положениях на графике
А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.
Как определить фазу с помощью формулы
Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.
Время колебаний t будет величиной переменной.
Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:
[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]
Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.
Что такое разность фаз
Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.
Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.
Обозначим их:
( large varphi_{01}) – для первого процесса и,
( large varphi_{02}) – для второго процесса.
Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз
Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:
[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} — varphi_{02} }]
Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.
Как связаны характеристики колебаний — формулы
Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.
Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.
- Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:
[large boxed{ T cdot N = t }]
( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);
( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;
( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;
- Период и частота колебаний связаны так:
[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]
(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.
- Количество и частота колебаний связаны формулой:
[large boxed{ N = nu cdot t}]
- Связь между частотой и циклической частотой колебаний:
[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]
(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.
- Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:
[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]
(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;
(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;
- Между фазой и количеством колебаний связь описана так:
[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]
- Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:
[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]
(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.
Угловая частота колебаний, формула
Угловая частота колебаний — это скорость изменения фазы гармонических колебаний.
Если
| f | частота колебаний, | Герц |
|---|---|---|
| T | период колебаний, | секунд |
то, вычисляется по формуле:
[ ω = 2πf = frac{2π}{T} ]
Вычислить, найти угловую частоту колебаний через линейную частоту
f — частота (Герц)
Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Вычислить, найти угловую частоту колебаний через период
T — период (сек)
Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Угловая частота колебаний, формула |
стр. 535 |
|---|
Периодическое движение объекта, частицы или количества через равные промежутки времени относительно среднего положения известно как колебание.
Когда тело колеблется, оно включает как линейное, так и угловое смещение, это угловое смещение известно как угловая частота колебаний. В физике есть также другие термины для угловой частоты, такие как угловая скорость и орбитальная частота.
Угловая частота — это скалярная мера углового смещения колеблющейся частицы. Для синусоидальных волн это называется скоростью изменения фазы. Когда мяч, привязанный к веревке, вращается по кругу, скорость, с которой он совершает одно колебание на 360 градусов, называется угловой частотой.
Формула угловой частоты колебаний
Изменение угла, которое происходит за одну секунду, называется угловой частотой. Следовательно, основная формула для определения угловой частоты:
ω=Θ/t
Здесь;
ω — угловая частота
Θ — угол, на который перемещается объект.
t — это время.
Для простого гармонического движения или просто колебаний формула угловой частоты получается путем умножения линейной частоты на угол, который покрывают колеблющиеся частицы. Для одного полного цикла угол равен 2π. Следовательно, формула для угловой частоты становится;
ω = 2πf
Используя соотношение между частотой и периодом времени в приведенном выше уравнении, формула принимает следующий вид:
f=1/Т
ω = 2π/T
Поскольку угловая частота — это угловая скорость смещения, ее единица измерения становится радиан в единицу времени, то есть;
ω = 1 рад.сек-1
Угловая частота колебательной пружины
В вышеупомянутой системе пружина-масса при добавлении нагрузки пружина смещается на расстояние y, а колебания растягивают ее до следующего положения x.
По закону Гука.
F = ky
Из диаграммы видно, что
W = mg = ky
Из диаграммы свободного тела мы видим, что вес движется вниз. Сила инерции ma действует вверх, а восстанавливающая сила k (x + y) также действует вверх.
Мы получим:
ma + kx + yW = 0
ma + kx + ky-W = 0
Мы знаем, что W = ky; отсюда получаем:
ma + kx = 0
Делим на m:
а+ кх/м=0
Сравнивая его с уравнением SHM, получаем:
ω2 =к/м
ω = (к/м)1/2
Это угловая частота колебаний пружины.
Угловая частота колебательного маятника
A маятник это небольшой боб, привязанный к нитке. Он раскачивается, чтобы вызвать колебания. В амплитуда колебания маятника измеряется как максимальное смещение, которое боб преодолевает, начиная с центрального положения. В простом маятнике масса струны ничтожна по сравнению с массой боба.
На рисунке выше мы видим силы, действующие на опору маятника. Гравитационный вес действует вниз. Восстанавливающий момент, действующий на маятник, является элементом веса боба. Из рисунка получаем значение крутящего момента как;
τ =-Lmgsinθ
α =-Lmgsinθ
Для каждого маленького угла у нас есть;
sinθ≈θ
Отсюда получаем;
Сравнивая его с простым гармоническое движение уравнение:
Мы получаем:
ω2 =г/л
ω = (г/л)1/2
Здесь;
g — ускорение свободного падения, а L — длина маятника.
Угловая частота колебаний объекта
Для колеблющегося объекта уравнение SHM имеет вид:
х=Asinωt+Φ
Здесь;
x — смещение объекта
A — амплитуда колебаний
Φ — изменение фазы
ω — угловая частота
Для колеблющегося объекта угловая частота задается как;
ω = 2πf
Он говорит о том, на какой угол поворачивается объект для смещения.
Как найти угловую частоту колебаний
Для разных объектов и сценариев используется другая формула для вычисления угловой частоты колебаний.
х=Asinωt+Φ
Например, амплитуда колебаний составляет 0.14 м; изменение фазы равно 0. Теперь, чтобы покрыть 14 см за 8.5 секунд, угловая частота рассчитывается по формуле;
0.14=0.14sin(8.5ω)
1 = грех (8.5ω)
без-11=8.5ω
π/2 = 8.5ω
ω=π/16.2 рад.с-1
Для расчета угловой частоты маятника используется формула:
ω = (г/л)1/2
Например, если длина маятника 10 см, то угловая частота колебаний равна;
ω = (10/0.10)1/2
ш = (100)1/2
ω =10 рад.с-1
Для расчета угловой частоты пружины используется формула:
ω = (к/м)1/2
Если задана жесткость пружины 2 Н / м, а масса — 8 кг, то угловая частота будет;
ω = (2/8)1/2
ω = (1/4)1/2
ю =1/2
ω =0.5 рад.с-1
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Какая угловая частота колебаний?
Повторяющееся движение частицы относительно фиксированной точки называется колебанием.
Изменение угла частицы — это угловая частота колебаний. В физике это также называется скоростью изменения фазы. Это скалярный элемент, поскольку это просто угловое смещение без направления. Формула для угловой частоты имеет вид;
ω = 2πf
Как угловая частота связана с периодом времени?
Колеблющиеся объекты включают как линейные, так и угловые перемещения.
Основная формула для угловой частоты представлена как;
ω = θ/Т
Он показывает соотношение времени и угловой частоты колебаний.
Теперь общая формула для угловой частоты:
ω = 2πf
Подставляя данное соотношение
f=1/Т
Мы получаем;
ω = 2π/T
Это уравнение связывает угловую частоту и период времени.
Какая единица измерения угловой частоты?
Угловая частота — это изменение угла колеблющейся частицы в единицу времени.
Единица угловой частоты выражается в радианах на единицу секунды, например:
ω = 1 рад.с-1
Когда объект проходит один полный цикл за одну секунду, угловая частота становится равной 1.
Угловая частота совпадает с частотой?
Число колебаний, совершаемых объектом за одну секунду, называется частотой.
Нет, частота и угловая частота — это не одно и то же. Угловая частота — это изменение угла колеблющейся частицы за единицу времени, тогда как частота — это колебание, совершаемое за одну секунду. Оба они представляют собой разные термины, используемые для разных концепций физики.
From Wikipedia, the free encyclopedia
Angular frequency ω (with unit radian per second), is 2π times frequency ν (with unit Hz, also called cycle per second). This figure uses the symbol ν, rather than f to denote frequency.
A sphere rotating around an axis. Points farther from the axis move faster, satisfying ω = v / r.
In physics, angular frequency «ω» (also referred to by the terms angular speed and angular rate) is a scalar measure of the angular displacement per unit time (for example, in rotation) or the rate of change of the phase of a sinusoidal waveform (for example, in oscillations and waves), or as the rate of change of the argument of the sine function.
Angular frequency (or angular speed) is the magnitude of the pseudovector quantity angular velocity.[1]
One turn is equal to 2π radians, hence[1][2]
where:
- ω is the angular frequency (unit: radians per second),
- T is the period (unit: seconds),
- f is the ordinary frequency (unit: hertz) (sometimes ν).
Units[edit]
In SI units, angular frequency is normally presented in radians per second, even when it does not express a rotational value. The unit hertz (Hz) is dimensionally equivalent, but by convention it is only used for frequency f, never for angular frequency ω. This convention is used to help avoid the confusion[3] that arises when dealing with quantities such as frequency and angular quantities because the units of measure (such as cycle or radian) are considered to be one and hence may be omitted when expressing quantities in SI units.[4][5]
In digital signal processing, the frequency may be normalized by the sampling rate, yielding the normalized frequency.
Examples[edit]
Circular motion[edit]
In a rotating or orbiting object, there is a relation between distance from the axis, 
, tangential speed, 
, and the angular frequency of the rotation. During one period, 
, a body in circular motion travels a distance 
. This distance is also equal to the circumference of the path traced out by the body, 
. Setting these two quantities equal, and recalling the link between period and angular frequency we obtain:
Oscillations of a spring[edit]
An object attached to a spring can oscillate. If the spring is assumed to be ideal and massless with no damping, then the motion is simple and harmonic with an angular frequency given by[6]
where
- k is the spring constant,
- m is the mass of the object.
ω is referred to as the natural angular frequency (sometimes be denoted as ω0).
As the object oscillates, its acceleration can be calculated by
where x is displacement from an equilibrium position.
Using standard frequency f, this equation would be
LC circuits[edit]
The resonant angular frequency in a series LC circuit equals the square root of the reciprocal of the product of the capacitance (C measured in farads) and the inductance of the circuit (L, with SI unit henry):[7]
Adding series resistance (for example, due to the resistance of the wire in a coil) does not change the resonant frequency of the series LC circuit. For a parallel tuned circuit, the above equation is often a useful approximation, but the resonant frequency does depend on the losses of parallel elements.
Terminology[edit]
Angular frequency is often loosely referred to as frequency, although these two quantities differ by a factor of 2π leading to potential confusion when the distinction is not clear.
See also[edit]
- Cycle per second
- Radian per second
- Degree (angle)
- Mean motion
- Orders of magnitude (angular velocity)
- Simple harmonic motion
References and notes[edit]
- ^ a b Cummings, Karen; Halliday, David (2007). Understanding physics. New Delhi: John Wiley & Sons, authorized reprint to Wiley – India. pp. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(UP1)
- ^
Holzner, Steven (2006). Physics for Dummies. Hoboken, New Jersey: Wiley Publishing. pp. 201. ISBN 978-0-7645-5433-9.angular frequency.
- ^ Lerner, Lawrence S. (1996-01-01). Physics for scientists and engineers. p. 145. ISBN 978-0-86720-479-7.
- ^ Mohr, J. C.; Phillips, W. D. (2015). «Dimensionless Units in the SI». Metrologia. 52 (1): 40–47. arXiv:1409.2794. Bibcode:2015Metro..52…40M. doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. S2CID 3328342.
- ^ «SI units need reform to avoid confusion». Editorial. Nature. 548 (7666): 135. 7 August 2011. doi:10.1038/548135b. PMID 28796224.
- ^
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics (4th ed.). Belmont, CA: Brooks / Cole – Thomson Learning. pp. 375, 376, 385, 397. ISBN 978-0-534-46479-0. - ^
Nahvi, Mahmood; Edminister, Joseph (2003). Schaum’s outline of theory and problems of electric circuits. McGraw-Hill Companies (McGraw-Hill Professional). pp. 214, 216. ISBN 0-07-139307-2.
(LC1)
Related Reading:
- Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2007). The Mechanical Universe. New York City: Cambridge University Press. pp. 383–385, 391–395. ISBN 978-0-521-71592-8.
| Угловая частота | |
| ω | |
| Размерность | T −1 |
| Единицы измерения | |
| СИ | рад/с |
| СГС | рад/с |
| Другие единицы | градус/с |
Углова́я частота́
(синонимы: радиальная частота, циклическая частота, круговая частота, частота вращения) — скалярная физическая величина, мера частоты вращательного или колебательного движения. В случае вращательного движения угловая частота равна модулю вектора угловой скорости. В Международной системе единиц (СИ) и системе СГС угловая частота выражается в радианах в секунду, её размерность обратна размерности времени (радианы безразмерны).
Угловая частота является производной по времени от фазы колебания:
ω = ∂ φ / ∂ t .
Другое распространённое обозначение ω = φ ˙ . >.>
Угловая частота связана с частотой ν соотношением [1]
ω = 2 π ν . u >.>
В случае использования в качестве единицы угловой частоты градусов в секунду связь с обычной частотой будет следующей:
ω = 360 ∘ ν . u >.>
В случае вращательного движения угловая частота численно равна углу, на который повернется вращающееся тело за единицу времени (то есть равна модулю вектора угловой скорости), в случае колебательного движения — приращению полной фазы колебания за единицу времени. Численно угловая (циклическая) частота равна числу циклов (колебаний, оборотов) за 2 π единиц времени.
Введение циклической частоты (в её основной размерности — радианах в секунду) позволяет упростить многие формулы в теоретической физике и электронике. Так, резонансная циклическая частота колебательного LC
-контура равна ω L C = 1 / L C , =1/>,> тогда как обычная резонансная частота ν L C = 1 / ( 2 π L C ) . u _=1/(2pi >).>
В то же время ряд других формул усложняется. Решающим соображением в пользу циклической частоты стало то, что переводные множители 2 π и 1/(2 π ), появляющиеся во многих формулах при использовании радианов для измерения углов и фаз, исчезают при введении циклической частоты.
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Частные случаи формул для вычисления циклической частоты
Груз на пружине (пружинный маятник — идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:
[{omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}left(7right),]
$k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса груза на пружине.
Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:
[{omega }_0=sqrt{frac{mga}{J}}left(8right),]
где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника.
Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:
[{omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(9right),]
где $l$ — длина подвеса.
Угловая частота затухающих колебаний находится как:
[omega =sqrt{{omega }^2_0-{delta }^2}left(10right),]
где $delta $ — коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний ${omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.
Примеры движения
Колебательное движение является одним из наиболее распространенных в природе. Например, можно представить себе струны музыкальных инструментов, качели или голосовые связки человека.
В физике колебаниями называются процессы, которые повторяются через равные промежутки времени. Подобные движения рассматривается посредством нескольких моделей:
- тела, подвешенного на пружине (двигающееся по направлению вверх-вниз);
- груза на нитке;
- электрического контура и других.
Видео
1305 ₽ Подробнее
435 ₽ Подробнее
Смартфоны Samsung Galaxy Note 9
Амплитуда, период и частота
Если подвесить одновременно два груза на две разные нити и запустить их, то можно заметить, что расстояние отклонения груза от среднего положения до крайнего — разное.
Это величина носит название амплитуды. Обозначается буквой А и измеряется в системе Си в метрах. Также для обозначения подобного движения применяются следующие термины:
- Время, за которое маятник приходит в одно и то же положение, называется периодом колебаний.
- Количество колебаний в единицу времени представляет собой частоту. Она измеряется в Герцах (Гц). Имеет обратную зависимость от периода.
- Циклическая частота колебаний (угловая, круговая) представляет собой количество колебаний за 2 π секунд. Обозначается греческой буквой омега. Она вводится для упрощения расчетов в теоретической физике и электронике. Единица измерения циклической частоты рад/с.
- Если имеется два графика функций с одинаковой частотой, но сдвинуты относительно друг друга, то различна их фаза колебаний.
Ссылки и примечания [ править ]
- ^ a b Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики . Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка для Wiley — Индия. стр. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(UP1)
- Holzner, Стивен (2006). Физика для чайников . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley Publishing Inc., стр.201 . ISBN 978-0-7645-5433-9. угловая частота.
- Лернер, Лоуренс С. (1996-01-01). Физика для ученых и инженеров . п. 145. ISBN 978-0-86720-479-7.
- Мор, JC; Филлипс, WD (2015). «Безразмерные единицы в СИ». Метрология
.
52
(1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Bibcode : 2015Metro..52 … 40M . DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 52/1/40 . S2CID 3328342 . - Перейти
↑ Mills, IM (2016). «В единицах радиан и цикл для угла плоскости величины».
Метрология
.
53
(3): 991–997. Bibcode : 2016Metro..53..991M . DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 53/3/991 . - «Единицы СИ необходимо реформировать, чтобы избежать путаницы» . От редакции. Природа
.
548
(7666): 135. 7 августа 2011 г. doi : 10.1038 / 548135b . PMID 28796224 . - PR Бункер; IM Mills; Пер Дженсен (2019). «Постоянная Планка и ее единицы». J Quant Spectrosc Radiat Transfer
.
237
: 106594. дои : 10.1016 / j.jqsrt.2019.106594 . - PR Бункер; Пер Дженсен (2020). «Постоянная Планка действия А ». J Quant Spectrosc Radiat Transfer
.
243
: 106835. дои : 10.1016 / j.jqsrt.2020.106835 . h {displaystyle h} - Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2006). Основы физики (4-е изд.). Белмонт, Калифорния: Brooks / Cole — Thomson Learning. стр. 375, 376, 385, 397. ISBN 978-0-534-46479-0.
- Нахви, Махмуд; Эдминистер, Джозеф (2003). Очерк теории и проблем электрических цепей Шаума . Компании МакГроу-Хилл (McGraw-Hill Professional). стр. 214, 216. ISBN 0-07-139307-2.(LC1)
Связанное чтение:
- Оленик, Ричард П .; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (2007). Механическая Вселенная . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 383–385, 391–395. ISBN 978-0-521-71592-8.
Математический маятник
Эта модель рассматривает движение груза, подвешенного на нитке. Описывается система, в которой масса нитки намного меньше массы груза, а ее длина намного больше его размеров.
Также нить должна быть невесомой и нерастяжимой.
Груз в этом случае считается материальной точкой.
При выполнении этих условий частота колебаний маятника и период не будут зависеть от массы груза. Движение математического маятника рассматривается при небольшом угле отклонения (α). Последний измеряется в радианах, поэтому приблизительно соответствует по значению его синусу и тангенсу. Этот же угол пропорционален отношению смещения на длину нити:
α=x/l.
На маятник действует синусовая составляющая силы тяжести и тангенсовая сила натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона: ma=-mgsin (α). Откуда можно получить a=-gx/l
Вторая производная уравнения движения дает a=-(ω)^2x
Таким образом: -gx/l=-(ω)^2x -> ω ^2=g/l.
Период: T=2π /ω T=2π*sqrt (g/l)
Это формула Галилея, которая описывает движение математического маятника.
Формула частоты колебаний для математического маятника: v=sqrt (l/g)/2π.
Явление резонанса
Это понятие имеет особое значение для описания колебаний. Если имеется некое воздействие, частота которого приближается к собственной частоте системы, то последняя реагирует резким увеличением амплитуды.
Явление резонанса можно представить себе на примере того же математического маятника. Для этого необходимо маятник привязать к веревке, к которой привязать еще один такой же, но с более длинной нитью. При этом длина нитки второго маятника может регулироваться. Если привести в движение оба маятника, а длину второй нитки постепенно изменять, то можно будет заметить, что амплитуда увеличивается по мере приближения размеров обеих ниток.
В этом случае первый маятник будет приемником колебаний, а второй — передатчиком. Причиной увеличения амплитуды является колебание подвески с такой же частотой.
Пружинный маятник
Подобным термином называется система, в которой движения совершает груз, подвешенный на легкой пружине.
Тело находится в положении равновесия, если пружина не деформирована. Если ее растянуть или сжать, то система начнет колебания под действием силы упругости, которая направлена на приведение маятника в положение равновесия.
Сила упругости пропорциональна смещению тела (x), но направлена противоположно. Коэффициент пропорциональности между этими двумя величинами носит название жесткости пружины (k). Таким образом:
F=-kx.
Сила упругости достигает наибольшей величины в положении максимального отклонения тела (амплитуда, смещение) от равновесия. В этой точке наибольшую величину имеет и ускорение.
По мере того, как тело приближается к положению равновесия, уменьшается сила упругости и ускорение. В средней точки обе величины равны нулю, но ненулевое значение имеет скорость тела. Поэтому груз не останавливается, а продолжает движение.
После прохождения положения равновесия он двигается в обратном направлении по инерции, а сила упругости тянет его назад. Благодаря трению воздуха скорость уменьшается, и маятник останавливается.
Все эти модели можно отнести к классическому гармоническому осциллятору — системе, которая имеет одну степень свободы и описывается единственным уравнением.
Примеры [ править ]
Круговое движение [ править ]
Основная статья: Круговое движение
Во вращающемся или орбитальном объекте, существует зависимость между расстоянием от оси, , тангенциальная скорость , и угловая частота вращения. За один период тело, совершая круговое движение, преодолевает расстояние . Это расстояние также равна окружности пути , проходимый телом, . Уравнивая эти две величины и вспоминая связь между периодом и угловой частотой, получаем: р { displaystyle r} v { displaystyle v} Т { displaystyle T} v Т { displaystyle vT} 2 π р { displaystyle 2 pi r} ω знак равно v / р . { displaystyle omega = v / r.}
Колебания пружины [ править ]
| Часть серии по |
| Классическая механика |
| F знак равно d d т ( м v ) {displaystyle {textbf {F}}={frac {d}{dt}}(m{textbf {v}})} Второй закон движения |
|
ветви
|
Основы
|
Составы
|
Основные темы
|
Вращение
|
Ученые
|
| Категории
► Классическая механика |
|
Предмет, прикрепленный к пружине, может колебаться . Если предположить, что пружина идеальная и безмассовая без демпфирования, то движение будет простым и гармоничным с угловой частотой, задаваемой [9]
ω = k m , {displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}},}
куда
k
— жесткость пружины ,
m
— масса объекта.
ω называется собственной частотой (которую иногда можно обозначать как ω 0 ).
Когда объект колеблется, его ускорение можно рассчитать по формуле
a = − ω 2 x , {displaystyle a=-omega ^{2}x,}
где x
— смещение из положения равновесия.
Используя «обычную» частоту оборотов в секунду, это уравнение будет
a = − 4 π 2 f 2 x . {displaystyle a=-4pi ^{2}f^{2}x.}
LC схемы [ править ]
Резонансная угловая частота в последовательном LC-контуре равна квадратному корню из обратной величины произведения емкости ( C,
измеренной в фарадах ) и индуктивности контура (
L
, в единицах СИ — генри ): [10]
ω = 1 L C . {displaystyle omega ={sqrt {frac {1}{LC}}}.}
Добавление последовательного сопротивления (например, из-за сопротивления провода в катушке) не изменяет резонансную частоту последовательного LC-контура. Для параллельной настроенной схемы приведенное выше уравнение часто является полезным приближением, но резонансная частота действительно зависит от потерь в параллельных элементах.
Колебательный контур
Является еще одним примером колебаний, на котором основаны все радиоприемники. Контур играет роль приемника сигнала.
В простейшем примере представляет собой замкнутую цепь из катушки индуктивности и конденсатора. При определенных обстоятельствах в подобном контуре могут возникать и поддерживаться электрические колебания.
Для возбуждения колебаний необходимо подключить источник постоянного напряжения к конденсатору и зарядить его. После этого источник убрать, а цепь замкнуть.
Конденсатор разряжается через катушку индуктивности, а в цепи создается ток, интенсивность которого увеличивается по мере разряда конденсатора. Вокруг катушки создается магнитное поле.
Электрический заряд конденсатора преобразовался в магнитное поле. После этого магнитное поле катушки будет уменьшаться, а конденсатор обратно заряжаться. Процесс повторяется циклически и описывается теми же характеристиками, что и механические колебания: частотой, амплитудой и периодом.
Они являются свободными и затухающими. Чтобы их поддерживать, необходимо периодически заряжать конденсатор.
Длина волны
Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах. Обозначение – ( lambda ), единицы измерения – м.
Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.
Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.