Как найти угловую скорость движения стрелки

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

1. если известно количество оборотов n за единицу времени t:
   
2. если задан угол поворота φ за единицу времени:
   
3. если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:
   

Размерности угловой скорости:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

• Примеры расчета угловой скорости и ускорения
• Скорости и ускорения точек вращающегося тела

In everyday discourse, «speed» and «velocity» are often used interchangeably. In physics, however, these terms have specific and distinct meanings. «Speed» is the rate of displacement of an object in space, and it is given only by a number with specific units (often in meters per second or miles per hour). Velocity, on the other hand, is a speed coupled to a direction. Speed, then, is called a scalar quantity, whereas velocity is a vector quantity.

When a car is zipping along a highway or a baseball is whizzing through the air, the speed of these objects is measured in reference to the ground, whereas the velocity incorporates more information. For example, if you’re in a car traveling at 70 miles per hour on Interstate 95 on the East Coast of the United States, it’s also helpful to know whether it is headed northeast toward Boston or south toward Florida. With baseball, you might want to know if its y-coordinate is changing more rapidly than its x-coordinate (a fly ball) or if the reverse is true (a line drive). But what about the spinning of the tires or the rotation (spin) of the baseball as the car and the ball move toward their ultimate destination? For these kinds of questions, physics offers the concept of ‌angular‌ ‌velocity‌.

The Basics of Motion

Things move through three-dimensional physical space in two main ways: translation and rotation. Translation is the displacement of the entire object from one location to another, like a car driving from New York City to Los Angeles. Rotation, on the other hand, is the cyclical motion of an object around a fixed point. Many objects, such as the baseball in the above example, exhibit both types of movement at the same time; as a fly ball moves through the air from home plate toward the outfield fence, it also spins at a given rate around its own center.

Describing these two kinds of motion are treated as separate physics problems; that is, when calculating the distance the ball travels through the air based on things like its initial launch angle and the speed with which it leaves the bat, you can ignore its rotation, and when calculating its rotation you can treat it as sitting in one place for present purposes.

The Angular Velocity Equation

First, when you are talking about «angular» anything, be it velocity or some other physical quantity, recognize that, because you are dealing with angles, you’re talking about traveling in circles or portions thereof. You may recall from geometry or trigonometry that the circumference of a circle is its diameter times the constant pi, or ‌πd‌. (The value of pi is about 3.14159.) This is more commonly expressed in terms of the circle’s radius ‌r‌;, which is half the diameter, making the circumference ‌2πr‌.

In addition, you have probably learned somewhere along the way that a circle consists of 360 degrees (360°). If you move a distance S along a circle, than the angular displacement θ is equal to S/r. One full revolution, then, gives 2πr/r, which just leaves 2 * π rad. That means angles can be expressed in terms of pi, or in other words, as radians.

Taking all of these pieces of information together, you can express angles, or portions of a circle, in units other than degrees:

180^circ = pi text{rad} \ text{} \ text{Radians} = text{degrees} cdotfrac{pi}{180^circ}

Whereas linear velocity is expressed in length per unit time, the units of angular velocity are measured in radians per unit time, usually per second.

If you know that a particle is moving in a circular path with a velocity ‌v‌ at a distance ‌r‌ from the center of the circle, with the direction of ‌v‌ always being perpendicular to the radius of the circle, then the average angular velocity can be written as:

omega = frac{Delta v}{r}

where angular velocity ‌ω‌ is the Greek letter omega. Angular velocity units are radians per second; you can also treat this unit as «reciprocal seconds,» because v/r yields m/s divided by m, or s^-1, meaning that radians technically have no units.

Rotational Motion Equations

The angular acceleration formula is derived in the same essential way as the angular velocity formula: We can find angular acceleration by finding the change in angular velocity over a certain change in time. This is average angular acceleration:

alpha = frac{Delta omega}{Delta t}

If angular acceleration is zero, then the object has uniform circular motion meaning there is constant angular velocity (i.e. the velocity vector will have a constant magnitude).

Other Quantities of Angular Rotation

Rotational kinematics also has more descriptive quantities involved; tangential velocity, tangential acceleration, and centripetal acceleration that are all key pieces of circular motion.

‌α‌, as you probably know, is the Greek letter «alpha,” and it denotes angular acceleration, while ‌ω‌ references angular velocity. When discussing tangential quantities, this refers to a linear speed or acceleration whose vector is a straight line tangential to the circle. These quantities are measured in traditional kinematic units where tangential velocity is meters per second and tangential acceleration is meters per second squared. Given tangential velocity ‌v‌ and tangential acceleration ‌a:‌

a = frac{v}{t}

Curiously enough, however, rotational motion boasts another kind of acceleration, called centripetal («center-seeking») acceleration. This is given by the expression:

a_c = frac{v^2}{r}

Centripetal force is then given with Newton’s second equation:

F_c = frac{mv^2}{r}

This acceleration is directed toward the point around which the object in question is rotating. This may seem strange, since the object is getting no closer to this central point since the radius ‌r‌ is fixed. Think of centripetal acceleration as a free-fall in which there is no danger of the object hitting the ground, because the force drawing the object toward it (usually gravity) is exactly offset by the tangential (linear) acceleration described by the first equation in this section. If ‌a_c‌ were not equal to ‌a‌, the object would either fly off into space or soon crash into the middle of the circle.

Related Quantities and Expressions

Although angular velocity is usually expressed, as noted, in radians per second, there may be instances in which it is preferable or necessary to use degrees per second instead, or conversely, to convert from degrees to radians before solving a problem.

Say you were told that a light source rotates through 90° every second at a constant velocity. What is its angular velocity in radians?

First, remember that 2π radians = 360°, and set up a proportion:

frac{360}{2pi}=frac{90}{omega}implies 360omega =180piimplies omega =frac{pi}{2}

The answer is one-half pi radians per second.

If you were further told that the light beam has a range of 10 meters, what would be the tip of the beam’s linear velocity ‌v‌, its angular acceleration ‌α‌ and its centripetal acceleration ‌a_c‌?

To solve for ‌v‌, from above, v = ωr, where ω = π/2 and r = 10m:

frac{pi}{2} 10=15.7text{ m/s}

To find ‌α‌, assume the angular speed is reached in 1 second, then:

alpha = frac{omega}{t}=frac{pi /2}{1}=frac{pi}{2}text{ rad/s}^2

(Note that this only works for problems in which the angular velocity is constant.)

Finally, also from above,

a_c=frac{v^2}{r}=frac{15.7^2}{10}=24.65text{ m/s}^2

Angular Velocity vs. Linear Velocity

Building on the previous problem, imagine yourself on a very large merry-go-round, one with an unlikely radius of 10 kilometers (10,000 meters). This merry-go-round makes one complete revolution every 1 minute and 40 seconds, or every 100 seconds.

One consequence of the difference between angular velocity, which is independent of the distance from the axis of rotation, and linear circular velocity, which is not, is that two people experiencing the same ‌ω‌ may be undergoing vastly different physical experiences. If you happen to be 1 meter from the center if this putative, massive merry-go-round, your linear (tangential) velocity is:

v=omega r = frac{2pi}{100}(1)=0.0628text{ m/s}

or 6.29 cm (less than 3 inches) per second.

But if you’re on the rim of this monster, your linear velocity is:

v=omega r = frac{2pi}{100}(10000)=628text{ m/s}

That’s about 1,406 miles per hour, faster than a bullet. Hang on!

Angular Momentum

Angular momentum, L, is based upon the moment of inertia and the angular velocity given in the equation (also related to mass, radius, and velocity):

L = I omega = rmv

The center of mass plays a critical role in defining angular momentum through the moment of inertia, and the center of rotation also impacts this quantity, as the radius could be changing with respect to rotation angle.

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про угловая скорость, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое
угловая скорость , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Физические основы механики.

угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения материальной точки или абсолютно твердого тела относительно центра вращения. Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта. Строго говоря, угловая скорость представляется псевдовектором (аксиальным вектором), и может быть также представлена в виде кососимметрического тензора .

Векторная величина

(2.1)

называется угловой скоростью тела. Вектор направлен вдоль мгновенной оси вращения в сторону, определяемую правилом винта, т.е. также как вектор элементарного поворота . Модуль вектора угловой скорости равен . Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом:

т.е. при равномерном вращении показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Характеристика быстроты вращения тела вокруг неподвижной оси => угловая скорость:

Размерность в системе СИ – радиан/сек или 1/сек.

Движение по окружности данного радиуса R, будет задано в том случае, если заданы

1. величина угловой скорости ω,

2. плоскость в которой лежит окружность,

3. направление вращения

Все три характеристики могут быть даны с помощью одного вектора:

Вектор перпендикулярен плоскости вращения

Направление вектора дает направление вращения по правилу правого винта.

Будем считать, что ω – это такой вектор

При вращении с постоянной угловой скоростью полный оборот совершается за время

Величина обратная периоду – число оборотов в единицу времени:

Т и ν можно рассматривать и как характеристики движения с переменной угловой скоростью. Тогда они будут характеризовать вращение в данный момент времени.

Пример: изменение скорости вращения ротора, двигателя и т.п. характеризуют изменением числа оборотов (а не изменением угловой скорости).

Векторное представление в трехмерном пространстве

В трехмерном пространстве вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим против часовой стрелки.

Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

Тензорное представление

Вектор угловой скорости определенное выше, может быть эквивалентно выражено как тензор угловой скорости , матрица (или линейное отображение) W = W ( t ), определяемая следующим образом:

Это бесконечно малая матрица вращения . Линейное отображение W действует как :

Единицы измерения

Единица измерения угловой скорости, принятая в Международной системе единиц (СИ) и в системах СГС и МКГСС, — радиан в секунду (русское обозначение: рад/с, международное: rad/s) ^{[Комм 1]} . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы, минуты, секунды дуги в секунду, грады в секунду. Часто в технике используют обороты в минуту — это идет с тех времен, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто на глаз, подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Свойства

Вектор мгновенной скорости любой точки абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , определяется формулой:

где — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) от оси вращения можно считать так: Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

• В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
• Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
• Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
• Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, отличающихся положением начала отсчета и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и поступательно друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчета может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
• В случае движения точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

где — радиус-вектор точки (из начала координат), — скорость этой точки, — векторное произведение, — скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твердого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

• В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твердого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

Связь с конечным поворотом в пространстве

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• кинематика вращательного движения , абсолютно твердое тело ,
• угол поворота твердого тела ,
• период обращения , частота обращения ,
• угловое ускорение ,
• кинематика , вращение абсолютно твердого тела ,
• Угловой момент
• Ареальная скорость
• Изометрия
• Ортогональная группа
• Динамика жесткого тела
• Завихренность

Статью про угловая скорость я написал специально для тебя. Если ты хотел бы внести свой вклад в развии теории и практики,
ты можешь написать коммент или статью отправив на мою почту в разделе контакты.
Этим ты поможешь другим читателям, ведь ты хочешь это сделать? Надеюсь, что теперь ты понял что такое угловая скорость
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Физические основы механики

Что такое угловая скорость

​Угловая скорость (обозначается как (omega)) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.

Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.

Единица измерения

В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула угловой скорости

Вектор угловой скорости определяется отношением угла поворота ((varphi)) к интервалу времени ((mathcal t)), за которое произошел поворот:

(omega=frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})

Зависимость угловой скорости от времени

Зависимость (varphi ) от (mathcal t) наглядно показана на графике:

Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.

Угловая скорость вращения, формула

Через частоту

(omega=2pimathcal n)

(mathcal n) — частота вращения ((1/с))

(pi) — число Пи ((approx 3,14))

(mathcal n=frac1T)

(T )— период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)

Через радиус

(omega=frac vR)

(v) — линейная скорость(м/с)

(R) — радиус окружности (м)

Как определить направление угловой скорости

Направление скорости в физике можно определять двумя способами:

1. Правило буравчика. Буравчик имеет правую резьбу (вращательное движение вправо при закручивании). Если вращать буравчик в направлении вращения тела, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость. 
2. Правило правой руки. Представим, что взяли тело в правую руку. Следует направлять и вращать его туда, куда указывают четыре пальца. Отведенный в сторону большой палец покажет направление угловой скорости при этом вращении.

Связь линейной и угловой скорости

Линейная скорость ((v)) тела, расположенного на расстоянии (R) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.

(v=Romega)

(R) — радиус окружности (м)

Чему равна мгновенная угловая скорость

Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при (trianglemathcal trightarrow0) :

(omega=lim_{trianglerightarrow0}frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})

Измеряется в рад/с