Как найти угловую скорость точки на окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Источник

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

если известно количество оборотов n за единицу времени t:
если задан угол поворота φ за единицу времени:
если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:

Размерности угловой скорости:

Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

Примеры расчета угловой скорости и ускорения
Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Источник

Содержание:

Определение и формула угловой скорости
Равномерное вращение
Формула, связывающая линейную и угловую скорости
Единицы измерения угловой скорости
Примеры решения задач

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность
с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота
$(varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота
$bar{dvarphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела
$(d varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону,
откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами.
Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой
$omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:

$$bar{omega}=frac{d bar{varphi}}{d t}=dot{bar{varphi}}(1)$$

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее
с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости),
так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($bar{omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол,
то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$omega=frac{varphi}{t}(2)$$

где $(varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот
($Delta varphi=2 pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

$$omega=frac{2 pi}{T}(3)$$

С числом оборотов в единицу времени ($nu) угловая скорость связана формулой:

$$omega=2 pi nu(4)$$

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения,
но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно
с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена
на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

$$bar{v}=[bar{omega} bar{R}](5)$$

где $bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки
$A (bar{r})$ (рис.1). Вектор
$bar{r}$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

Единицы измерения угловой скорости

Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$omega$]=рад/с

В СГС: [$omega$]=рад/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением
$varphi=2 t-4 t^{3}$,
$(varphi)$ в рад, t в сек.
Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении (
относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

$$omega=frac{d varphi}{d t}(1.1)$$

Используем заданную в условии задачи функцию
$varphi(t)$, возьмем производную от нее по времени, получим функцию
$omega(t)$:

$$omega(t)=2-8 t^{2}(1.2)$$

Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

$$omega(t)=2-8(0,5)^{2}=0left(frac{r a d}{c}right)$$

Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:

$$left{begin{array}{c}bar{omega}_{1}=t^{2 bar{i}} \ bar{omega}_{2}=2 t^{2} bar{j}end{array}right.$$

где $bar{i}$ и
$bar{j}$ – единичные ортогональные векторы. На какой угол $(varphi)$ поворачивается тело за время равное 3 с?

Решение. Определим, какова функция, которая связывает модуль скорости вращения тела и время (t)
($omega(t)$). Так как вектора
$bar{i}$ и
$bar{j}$ перпендикулярны друг другу, значит:

$$omega=sqrt{omega_{1}^{2}+omega_{2}^{2}}=sqrt{left(t^{2}right)^{2}+left(2 t^{2}right)^{2}}=t^{2} sqrt{5}(2.2)$$

Модуль угловой скорости связан с углом поворота как:

$$omega=frac{d varphi}{d t}(2.3)$$

Следовательно, угол поворота найдем как:

$$varphi=int_{t_{1}}^{t_{2}} omega d t=int_{0}^{3} t^{2} sqrt{5} d t=left.sqrt{5} frac{t^{3}}{3}right|_{0} ^{3} approx 20(mathrm{rad})$$

Ответ. $varphi = 20$ рад.

Читать дальше: Формула удельного веса.

Источник

Видеоурок: Движение по окружности

Лекция: Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки

Движение по окружности

Траектория движения — окружность.

Так как скорость — векторная величина, то она зависит не только от модуля значения, но и от направления. Поэтому движение тела по окружности можно назвать равноускоренным. Даже если тело будет двигаться с постоянной по величине скоростью, её направление будет постоянно изменяться.

Любое криволинейное движение можно свести к нескольким движениям по окружности. Примером данного движения является бег по стадиону, ход стрелки часов, прогулка на корде лошади и другое.

Основные характеристики движения

1. Линейная скорость

Мгновенная скорость (линейная) — на протяжении всего движения меняет свое направление вдоль касательной к траектории.

Так как траектория движения точки — окружность, то в качестве пути в числителе находится формула длины перемещения.

Поэтому формула мгновенной скорости приобретает следующий вид, где Т — период:

2. Центростремительное ускорение

Направлено перпендикулярно к линейной скорости на протяжении всего движения.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

3. Период вращения

Период вращения — это величина, определяющая время, за которое тело делает одно полное вращение.

Период — это скалярная величина. Основной единицей периода является [Т]=1с.

Период определяется по формуле:

где N — количество оборотов, t — время, за которое они были совершены.

4. Частота вращения

Определяет, насколько часто совершаются обороты в единицу времени.

Частота — скалярная величина. Измеряется в [n] = 1с^-1.

Частота определяется по формуле:

5. Угловое перемещение

Угловое перемещение — величина, которая определяется углом поворота радиуса, соединяющего центр описываемой окружности, с точкой, где находится тело, относительно начального его положения.

Данная величина может измеряться в градусной или радианной мере углов.

6. Угловая скорость

Это значение, которое определяет, насколько изменяется угловое перемещение со временем.

Измеряется в 1 рад/с.

Определяется по формуле:

где
— угловая скорость материальной точки, 1/с

— угол поворота радиус — вектора, рад

— промежуток времени, с

Угловое перемещение связано с линейной скоростью и центростремительным ускорением следующей формулой:

Источник

При
вращении твердого тела все его точки
движутся по окружности, центры которых
лежат на единой прямой, называемой осью
вращения. Окружности, по которым движутся
точки тела, лежат в плоскости,
перпендикулярной к этой оси.

Радиус-вектор
каждой точки – есть вектор, проведенный
из центра окружности в данную точку. Он
поворачивается за время t
на один и тот же угол .

Векторная
величина

называется угловой скоростью, где t
– время, за
которое совершается поворот на угол
.
Из определения видно, что вращение точки
по окружности описывается угловой
скоростью

.

Вектор

направлен вдоль оси, вокруг которой
вращается тело в сторону, определяемую
правилом правого винта (рис.1.8). Если
вращать винт так, чтобы его рукоятка
указывала направление вращения
твердого тела, то направление движения
винта укажет направление векто-

М₂



М₁

Рис.1.8

ра
угловой скорости.

При
равномерном вращении угловая скорость

,
а угол поворота

.

Единицей
угловой скорости в системе СИ является
радиан в секунду

.

Угловая
скорость 
— есть величина постоянная, она указывает,
на какой угол поворачивается тело за
единицу времени. В этом случае она
называется круговой или циклической
частотой.

Равномерное
движение можно охарактеризовать также
периодом обращения. Периодом называется
время, за которое тело делает один
оборот, т.е. поворачивается на угол 2.
Поскольку за время, равное Т совершается
угол поворота 2,
то

;

Число
оборотов за единицу времени (частоту)
обозначим 
и выразим период и циклическую частоту
через эту величину

;

Угол
поворота за время t
можно записать через частоту 
и полное
число оборотов
N

;

При
неравномерном вращении величина 
изменяется со временем и за промежуток
времени t
получает приращение .

Величина,
характеризующая изменение вектора
угловой скорости со временем, называется
угловым ускорением

Таким
образом, изменение угловой скорости по
времени характеризуется угловым
ускорением

,
которое определяется как производная
угловой скорости по времени

Единица
измерения углового ускорения

.
При неподвижной оси вращения векторы

коллинеарны и направлены вдоль оси
вращения. Если угловая скорость
увеличивается

,
то векторы

одинаково направлены, если угловая
скорость уменьшается

,
то векторы

противоположно направлены.

При
неравномерном вращении для угла поворота,
угловой скорости и ускорения справедливо
соотношение

где

₀
– начальная угловая скорость.

Найдем
соотношение между

(рис.1.9).

М₁



s

М₂

Рис.1.9

Пусть
за малый промежуток времени t
тело повернется на угол .
Точка М, находящаяся на расстоянии R
от оси проходит при этом путь, равный

Величина

— называ-ется линейной скоростью точки.

Подставляя
значение s
из предыдущего равенства, получим

т.е.
линейная скорость точки прямо
пропорциональна радиусу и угловой
скорости

.
(1.6)

Выясним
соотношение между

и

.
Нормальное ускорение точек прямо
пропорционально квадрату линейной
скорости и обратно пропорционально
радиусу

.
(1.7)

Подставляя
в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим
следующее выражение для нормального
ускорения:

.

Модуль
тангенциального ускорения равен модулю
первой производной от линейной скорости

.
(1.8)

Подставляя
(1.6) в уравнение (1.8) найдем, что

Но
так как

,
то

.
Для нахождения соотношения между
векторами

сделаем чертеж (рис.1.10). Пусть тело
вращается вокруг оси z
с угловой скоростью

.
Выберем точку О на оси и проведем
радиус-вектор

из этой точки к точке С. Из треугольника
ОАС видно, что

.
Умножим обе части равенства на 
и получим cледующее выражение:

.

Так
как

— модуль скорости,

— модуль векторного произведения

,
то

Откуда
следует, что вектор скорости равен
векторному произведению вектора угловой
скорости

на радиус-вектор

.
(1.9)

Формуле
(1.9) можно придать иной вид. Для этого
представим



Рис.1.10

радиус-вектор
в виде суммы двух составляющих

и умножим это равенство векторно на

Векторы

— колли-неарны, т.е.

,
поэтому их векторное произведение
равно 0. Следовательно, можно записать,
что

.
(1.10)

Выведем
соотношение для тангенциального и
углового ускорения. По определению
тангенциальное ускорение есть первая
производная от вектора скорости по
времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим

т.
е.

.

Соседние файлы в папке студ ивт 22 материалы к курсу физики

#
#
#
#
#
#
#
17.11.20229.14 Mб0курс лекц ивт мех версия 2 ч 1 6 09 17 (2).doc
#
#
#
#

Источник