Как найти угловую скорость вращения через радиус

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Связь со вторым законом Ньютона

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Движение по циклоиде*

Что такое угловая скорость

​Угловая скорость (обозначается как (omega)) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.

Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.

Единица измерения

В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула угловой скорости

Вектор угловой скорости определяется отношением угла поворота ((varphi)) к интервалу времени ((mathcal t)), за которое произошел поворот:

(omega=frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})

Зависимость угловой скорости от времени

Зависимость (varphi ) от (mathcal t) наглядно показана на графике:

Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.

Угловая скорость вращения, формула

Через частоту

(omega=2pimathcal n)

(mathcal n) — частота вращения ((1/с))

(pi) — число Пи ((approx 3,14))

(mathcal n=frac1T)

(T )— период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)

Через радиус

(omega=frac vR)

(v) — линейная скорость(м/с)

(R) — радиус окружности (м)

Как определить направление угловой скорости

Направление скорости в физике можно определять двумя способами:

1. Правило буравчика. Буравчик имеет правую резьбу (вращательное движение вправо при закручивании). Если вращать буравчик в направлении вращения тела, он будет завинчиваться (или вывинчиваться) в ту сторону, куда направлена угловая скорость. 
2. Правило правой руки. Представим, что взяли тело в правую руку. Следует направлять и вращать его туда, куда указывают четыре пальца. Отведенный в сторону большой палец покажет направление угловой скорости при этом вращении.

Связь линейной и угловой скорости

Линейная скорость ((v)) тела, расположенного на расстоянии (R) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.

(v=Romega)

(R) — радиус окружности (м)

Чему равна мгновенная угловая скорость

Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при (trianglemathcal trightarrow0) :

(omega=lim_{trianglerightarrow0}frac{trianglevarphi}{trianglemathcal t})

Измеряется в рад/с

Содержание:

• Определение и формула угловой скорости
• Равномерное вращение
• Формула, связывающая линейную и угловую скорости
• Единицы измерения угловой скорости
• Примеры решения задач

Определение и формула угловой скорости

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота
$(varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота
$bar{dvarphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела
$(d varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону,
откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами.
Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее
с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости),
так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($bar{omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол,
то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$omega=frac{varphi}{t}(2)$$

где $(varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот
($Delta varphi=2 pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

$$omega=frac{2 pi}{T}(3)$$

С числом оборотов в единицу времени ($nu) угловая скорость связана формулой:

$$omega=2 pi nu(4)$$

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения,
но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно
с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена
на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

$$bar{v}=[bar{omega} bar{R}](5)$$

где $bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки
$A (bar{r})$ (рис.1). Вектор
$bar{r}$ проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

Единицы измерения угловой скорости

Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$omega$]=рад/с

В СГС: [$omega$]=рад/с

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула удельного веса.

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

1. если известно количество оборотов n за единицу времени t:
   
2. если задан угол поворота φ за единицу времени:
   
3. если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:
   

Размерности угловой скорости:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

• Примеры расчета угловой скорости и ускорения
• Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Иногда удобно рассмотреть скорость движения тела по окружности через угловую скорость. Она показывает, на какой угол успевает повернуться тело за единицу времени. На Рис.1. мотоциклист, переместившись из точки (A) в точку ({A}^{’}), повернулся на угол (Delta varphi) за время (t).
$$omega=frac{Deltavarphi}{t} , (рад/сек);$$
В международной системе единиц измерения угловую скорость принято измерять в радианах в секунду. Кроме обычных градусов углы можно измерять в радианах, с ними вы должны были столкнуться в школьном курсе тригонометрии.

И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.

Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок (AO) вращается по окружности (см.Рис.1.) и за время (t) переходит в отрезок ({A}^{’}O) — точка (A) переходит в точку ({A}^{’}), а точка (B) – в точку ({B}^{’}).

При этом точка (A) проходит за время (t) расстояние равное длине дуги окружности ({AA}^{’}), а точка (B) за тоже самое время (ведь обе точки лежат все время на одной прямой) расстояние ({BB}^{’}).

Выпишем формулы для линейных скоростей точек (A) и (B):
$$V_{A}=frac{{AA}^{’}}{t};$$
$$V_{B}=frac{{BB}^{’}}{t};$$
Из рисунка 1 видно, что ({AA}^{‘}>{BB}^{‘}), а значит линейная скорость точки (A) больше скорости точки (B):
$$V_{A}>V_{B};$$
Можно сделать важный вывод, что чем дальше точка находится от центра, тем больше ее скорость относительно точек, находящихся на этой же прямой.

А на какой угол успевают повернуться точки (A) и (B) за одно и тоже время (t)?

Из рисунка 1 видно, что они обе поворачиваются на один и тот же угол (Deltavarphi). А так как угловая скорость по определению, это отношение угла ко времени, то угловые скорости точек (A) и (B) одинаковые.

И так, что мы имеем – оказывается, что при удалении линейная скорость растет, а угловая скорость при этом не меняется. Тогда логичной выглядит следующая формула, связывающая угловую и линейную скорости:

$$V=omega*R; ,,(1)$$

где (V) – линейная скорость,

(omega) – угловая скорость,

(R) – радиус вращения.

Тангенциальное ускорение

Теперь представим, что мотоциклист едет по круглому мототреку не с постоянной скоростью, а равноускорено/равнозамедлено. В этом случае говорят, говорят, что мотоциклист движется с тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение – это обычное ускорение, к которому мы привыкли в курсе кинематики. Оно показывает на сколько успевает измениться скорость за единицу времени, например, за секунду.

Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к траектории. Если тело ускоряется, то оно сонаправлено с линейной скоростью, а если замедляется, то направлено в противоположную сторону. (см.Рис.3, показано синей стрелкой (vec{a_{/tau}}))

При равноускоренномравнозамедленном движении тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле:
$$a_{tau}=frac{V_к-V_н}{t};$$
где (V_к) – конечная скорость;

(V_н) – начальная скорость;

(t) – время, за которое скорость изменилась с (V_н) до (V_к).

При любом неравномерном движение по криволинейной траектории (окружности), у тела обязательно есть два вида ускорений – нормальное, направленное к центру, перпендикулярно скорости, и тангенциальное, направленное по касательной к траектории. Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора линейной скорости, а тангенциальное за изменение величины линейной скорости.

Если тело движется с постоянной скоростью, то тангенциальное ускорение равно (0).

Если тело движется по прямой, то нормальное ускорение равно (0).

Векторно сложим эти два ускорения по правилу параллелограмма, и получим вектор общего ускорения, которым обладает тело при движении по окружности. (см. Рис.3., фиолетовая стрелка (vec{a})).

Пример 2

Колесо радиуса R вращается с постоянной скоростью. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения двух точек расположенный на расстояниях (R/2) и (R/3) от центра колеса

Решение:
Так как любая точка колеса вращается с одинаковой угловой скоростью (omega), то воспользуемся формулой для центростремительного ускорения через угловую скорость:
$$a_n=omega^2*r;$$
Пусть точка А вращается по окружности радиусом (R/2), а точка В — (R/3).
$$a_{nA}=omega^2*frac{R}{2};$$
$$a_{nB}=omega^2*frac{R}{3};$$
$$frac{a_{nA}}{a_{nB}}=frac{omega^2*frac{R}{2}}{omega^2*frac{R}{3}}=frac{R}{2}*frac{3}{R}=1,5$$
Ответ:(frac{a_{nA}}{a_{nB}}=1.5.)