Как найти углы между прямыми в параллелепипеде - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Учебник

Геометрия, 10 класс

Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве

Скрещивающиеся прямые — не параллельны, не имеют общих точек, не пересекаются.

Признаки Скрещивающихся прямых

1-ая прямая лежит в плоскости, а 2-ая пересекает плоскость в точке не из 1-ой, то прямые скрещивающиеся.
Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой. Единственная.
Скрещивающиеся $a$ и $b$ : есть пара пареллельных плоскостей $alpha$ и $beta$, таких что $ain alpha$, $bin beta$

Задача 1: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDMNKL$ найти угол между

скрещивающимися прямыми $AN$ и $BK$, если известны ребра $BA=36$, $BN=15$, $BC=20$

Как находить угол между двумя стереометрическими объектами? по алгоритму параллельных переносов, совмещений.
Свойство инвариантности углов при параллельном переносе стереометрических объектов — прямых, плоскостей:
Если объекты $A$ и $B$ параллельны соответственно $A’$ и $B’$, то углы между парами равные: $angle left(A;Bright)=angle left(A’;B’right)$
В нашем случае, $BKparallel AL$, поэтому равны углы $angle left(AN;BKright)=angle left(AN;ALright)=angle NAL$
Перетащим $BK$ по плоскости $BKLA$ вдоль $BA$ до совмещения с точкой $A$. Тогда $BK$ совметится с отрезком $AL$.
Итак, мы ищем угол $angle NAL$. Найдем его через теорему косинусов в треугольнике $ANL$ для угла $angle NAL$ :
*** $NL^2=AN^2+AL^2-2cdot ANcdot NLcdot cos angle NAL$
Стороны $AN$, $NL$ и $AL$ можем признать диагоналями граней — прямоугольников, значит, найти их по теоремам Пифагора.
Решение: $AN=sqrt{36^2+15^2}=39$ $AL=sqrt{20^2+15^2}=25$ $NL=sqrt{36^2+20^2}=4cdot sqrt{106}$
Из теоремы косинусов $cos angle NAL=frac{AN^2+AL^2-NL^2}{2cdot ANcdot AL}=frac{39^2+25^2-16cdot 106}{2cdot 39cdot 25}=frac{450}{1950}=frac{3}{13}$ Ответ: $angle NAL=arccos frac{3}{13}$
Признак: $NAL$ — плоскость угла: $ANin NAL$ и $BKparallel NAL$

case I case II

Алгоритм: нахождение угла между прямыми путем параллельного переноса (демонстрация по II, прямые $AN$, $BK$ ):

1-ый шаг: Выбираем точку, в которой хотим совместить прямые. Например, точку $Z$ — середину отрезка $BK$.

2-ой шаг: Для прямой $AN$ определим плоскость «скольжения» — плоскость, содержащая эту прямую и точку $Z$. Это $ANC$

3-ий шаг: Двинем прямую $AN$ по плоскости $ANC$ оставаясь параллельно «как стержень». Она совместится с отрезком $ZX$.

4-ый шаг: Что за точка $X$ ? угол $angle XZB$ — именно то, что нам нужно: $angle XZB=angle left(XZ;BKright)=angle left(AN;BKright)$.

Признак: — увидеть ту главную плоскость угла , которая параллельна обеим скрещивающимся прямым. Здесь это $XZB$.

Задача 2: В правильной треугольной призме все ребра 1. Найти косинус угла $angle left(AB;CMright)$

$ABCMNK$ правильная призма: в основании правильный $bigtriangleup ABC$ , ребро $BN$ перпендикулярно основанию.
Нужен угол между $AB$ и $CM$. Выберем Точкой совмещения $M$. Прямая $CM$ уже проходит через нее.
Прямая $AB$ и точка $M$ лежат в плоскости $ABNM$. Значит, $ABNM$ — плоскость сколжения. $AB$ перейдет в $MN$.
Путем параллельного совмещения $AB$ с $MN$ мы устоновили, что искомый угол — это $angle CMN$.
Косинус угла $angle CMN$ можно найти по теореме косинусов треугольника $CMN$: $cos angle CMN=frac{CM^2+MN^2-CN^2}{2cdot CMcdot MN}$
Признак: $CMN$ — плоскость угла: $ABparallel CMN$ и $MCin CMN$

k задачe 2 к задаче 3

Задача 3: В правильном тетраэдре $DABC$ все ребра 1 см. Найти угол между $AD$ и $BC$.

Для нахождения угла, совместим «движениями» наши прямые в точку $O$ — основание высоты $DO$ .
В правильном тетраэдре в основании равносторонный треугольник $DABC$, высота пирамиды попадает в центр окружностей.
Точка $O$ — пересечение высот, медиан, биссектрис. $O$ лежит на высоте $AH$ , $DH$ — высота грани $BDC$.
В точке $O$ проведем прямую параллельную прямой $BC$. Им будет линия $MN$
В точке $O$ проведем прямую $OK$, параллельную $AD$. Она будет лежат в плоскости $ADH$ Значит, $Kin DH$.
Итак, «взамен» наших $AD$ и $BC$ мы получили прямые $OK$ и $MN$ : $OKparallel AD$, $MNparallel BC$
по свойству углов при параллельном переносе $angle left(AD;BCright)=angle left(OK;MNright)=angle MOK$
Найти $angle MOK$ ? Легко! учтите, что у нас правильный тетраэдр и находите.
Признак: $MONK$ — плоскость угла: $ADparallel MONK$ и $BCparallel MONK$

Алгоритм: вычисление угла в пространстве или плоскости

В каком треугольнике этот угол? узнать стороны треугольника и найти угол по теореме косинусов.
Если треугольник окажется равнобедренным, то провести высоту и найти угол прямоугольного треугольника.
А если треугольник прямоугольный, то написать cos или sin или tg этого угла и найти как arc !

Задача 4: В кубе $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ все ребра равны 1. Точка $Q$ — середина ребра . Точка $K$

делит ребро $D_1D$ в соотношении 1 : 3 считая от вершины $D_1$, а точка $M$ делит $C_1C$ в соотношении

5 : 2 считая от вершины $C_1$. Найти угол между скрещивающимися прямыми $BQ$ и $KM$ .

Параллельными переносами добъемся совмещения в точке $B$. Для этого, перенесем $KM$ в два этапа.
Сперва соскользим $KM$ по грани $DD_1C_1C$ вдоль $C_1C$ до вершины $C$. Получим отрезок $CYparallel MK$
Затем, $CY$ протащим параллельно себе вдоль пути $CB$ и перейдем к отрезку $BXparallel CY$.
В итоге получили то, что надо: $KM$ параллельна $BX$, потому как $MKparallel CYparallel BX$.
Требуемый угол $angle left(MK;BQright)=angle left(BX;BQright)=angle XBQ$. Найдем его через треугольник $bigtriangleup XBQ$
В теореме косинусов нам нужны стороны этого треугольника. Вычислим постепенно, шаг за шагом, зная ребро куба 1:
Из отношения $frac{D_1K}{DK}=frac{1}{3}Rightarrow D_1K=frac{1}{4} DK=frac{3}{4}$. Из отношения $frac{C_1K}{CM}=frac{5}{2}Rightarrow C_1M=frac{5}{7} CM=frac{2}{7}$
$MKparallel CYRightarrow KY=MC$ отрезок $DY=D_1D-D_1K-KY=1-frac{1}{4}-frac{2}{7}=frac{13}{28}$
$BXparallel CYRightarrow BX=DY=frac{13}{28}$. По условию задачи $B_1Q=frac{1}{2}$.
Нужные нам стороны треугольника $bigtriangleup XBQ$ являются гипотенузами прямоугольных треугольников.
Зная все катеты, как части ребер, по теореме Пифагора найдем стороны $XB$, $BQ$, $XQ$.
Нужный угол $angle XBQ$ вычислим из теоремы косинусов $XQ^2=XB^2+BQ^2-2cdot XBcdot BQcdot cos angle XBQ$
наконец: $cos angle XBQ=frac{XB^2+BQ^2-XQ^2}{2cdot XBcdot BQ}$ $angle XBQ=arccos frac{XB^2+BQ^2-XQ^2}{2cdot XBcdot BQ}$
Признак: $XBQ$ — плоскость угла: $KMparallel XBQ$ и $BQin XBQ$

Задача 5: В правильной треугольной призме $ABCMNK$ все ребра равны 2. Точка $D$ делит

ребро $MN$ в отношении 3 : 2 считая от вершины $M$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $BK$.

Чтоб найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно «подвигать параллельно» $AD$ и $BK$ до совмещения.
Если двинуть $AD$ так, чтоб точка $D$ совпала с $K$ — т.е. скользить по плоскости $ADK$, но тогда другой конец $D$ вне рисунка.
Достроим призму до параллелепипеда $ABCYMNKZ$ и все нужные отрезки, «движения», плоскости будут внутри!
$AD$ скользит по плоскости $ADK$ и совпадет с $XK$. Точка $X$, конечно, окажется на ребре $YC$
по построению: $Xin CDK$ плоскости; $ADparallel XK$ , $XCparallel AB$ . Значит, $XK$ параллельна $AD$
Угол между прямыми $angle left(AD;BKright)=angle left(XK;BKright)=angle XKB$. Надо найти угол $angle XKB$.
Угол $XKB$ ищем , как обычно, через треугольник $bigtriangleup XKB$, с помощью теоремы косинусов.
Для этого надо найти стороны этого треугольника. Сторону $BK$ найдем по Пифагору для треугольника $bigtriangleup BKC$.
$XC=MD$, найдем $MD$ из отношения 3 : 2 для $MN$ . Затем, по Пифагору $bigtriangleup XKC$ найдем $XK$.
С вычислением $XB$ придется повозится через теорему косинусов треугольника $bigtriangleup XBC$, две его стороны известны.
А что с углом $angle XCB$? по условию $bigtriangleup ABC$ равносторонный, значит в параллелограмме $angle YCB=120$ градусов.
Ну и финально: как только найдем все стороны $bigtriangleup XKB$, мы найдем и его угол $angle XKB$ — то что надо!
Признак: $XKB$ — плоскость угла: $ADparallel XKB$ и $BKin XKB$

Упражнения:

Источник

Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем найти множество примеров ситуаций, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Теорема «Признак скрещивающихся прямых»

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство
Рассмотрим прямую (AB), лежащую в плоскости, и прямую (CD), которая пересекает плоскoсть в точке (D), не лежащей на прямой (AB).

Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.

1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.

Рис. (3). Параллельные прямые.

Рис. (4). Пересекающиеся прямые.

Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые (AB) и (CD).

Рис. (6). Доказательство теоремы.

1. Через точку (D) можно провести прямую (DE), параллельную (AB).
2. Через пересекающиеся прямые (CD) и (DE) можно провести плоскость (α).
3. Так как прямая (AB) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой (DE), то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
Теорема доказана.

1. Если прямые параллельны, то угол между ними —

0°

.
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол

90°

).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Обрати внимание!

Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.

Пример:

Рис. (7). Куб.

Найти угол между

B1D1

Выберем точку

на прямой

и проведём через

прямую

параллельно

B1D1

Рис. (8). Куб с дополнительными построениями.

Угол между

—

45°

, так как

ABCD

— квадрат.

Соотвeтственно, угол между

B1D1

— тоже

45°

Источник

[{Large{text{Скрещивающиеся прямые}}}]

Заметим, что если две прямые лежат в одной плоскости, то, как и в планиметрии, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны, либо совпадать. Значит, и угол между такими прямыми ищется так же, как и в планиметрии (напомним, что угол между параллельными прямыми считается равным (0^circ)). А если через две прямые нельзя провести одну плоскость?

Поэтому к трем видам взаимного расположения прямых в плоскости (пересекаются, параллелельны или совпадают) в пространстве добавляется еще один вид: скрещивающиеся прямые.

Определение

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Угол (alpha) между прямыми — это угол (0^circleqslant
alphaleqslant
90^circ).

Теорема 1: признак скрещивающихся прямых

Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda). Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S), не лежащей на прямой (l), то прямые (l) и (s) скрещиваются (рис. 1).

Доказательство

Необходимо доказать, что через прямые (l) и (s) нельзя провести плоскость. Предположим, что это не так, то есть проведем через эти прямые плоскость (pi). Т.к. плоскость (pi) содержит прямую (l) и точку (S), то она совпадает с плоскостью (lambda) по следствию 1 из аксиом. Значит, т.к. прямая (s) лежит в плоскости (pi), то она лежит и в плоскости (lambda), что противоречит условию. Чтд.

Теорема 2

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой (рис. 2).

Доказательство

Пусть прямые (a) и (b) скрещиваются. Проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P) (как в предыдущей теореме). Через точку (P) проведем прямую (pparallel b). Т.к. прямые (a) и (p) пересекаются (в точке (P)), то через них проходит единственная плоскость (назовем ее (pi)). Прямая (b) параллельна плоскости (pi) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Построенная таким образом плоскость (pi) единственна. Любая другая плоскость, проходящая через прямую (a), будет уже пересекать прямую (p), а следовательно, будет пересекать прямую (b). Чтд.

[{Large{text{Угол между скрещивающимися прямыми}}}]

Определение

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными двум скрещивающимся прямым.

Таким образом, можно определить следующий алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (рис. 2):

Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b) (по алгоритму, приведенному в теореме 2);

Шаг 2. В этой плоскости найти угол между прямыми (a) и (p) ((pparallel b)). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми (a) и (b).

[{Large{text{Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве}}}]

Определение

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ).

Таким образом, перпендикулярными могут быть как и пересекающиеся прямые (лежащие в одной плоскости), так и скрещивающиеся прямые (не лежащие в одной плоскости).

Утверждение 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой прямой:

[aparallel b, aperp c Longrightarrow bperp c]

Утверждение 2

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются (то есть либо параллельны, либо скрещиваются):

[aperp c, bperp c Longrightarrow acap b=varnothing]

Определение

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следствие 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (рис. 3).

(Данное утверждение напрямую следует из утверждения 1.)

Верно и обратное утверждение:

Следствие 2

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны (рис. 3).

Теорема 3: признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Пусть прямая (aperp x,aperp y), причем прямые (x, yin pi).

Предположим, что прямая (a) уже проходит через точку (O) пересечения прямых (x) и (y) (если это не так, то проведем через точку (A) прямую (a’), параллельную (a); если (a’) будет перпендикулярна плоскости, то и (a) будет ей перпендикулярна по следствию 1).

Проведем через точку (O) в плоскости (pi) некоторую прямую (z). Проведем также прямую, пересекающую прямые (x, y, z) в точках (X, Y,
Z) соответственно. На прямой (a) по разные стороны от плоскости (pi) отметим точки (A, B) так, чтобы (AO=OB).

Рассмотрим (triangle AXB). Т.к. (XO) – высота (по условию) и медиана (по построению), то (AX=XB). Аналогично для (triangle AYB): (AY=YB). Таким образом, (triangle AXY=triangle BXY) по трем сторонам. Отсюда (angle AXY=angle BXY).

Значит, по двум сторонам и углу между ними (triangle AXZ=triangle
BXZ). Значит, (AZ=BZ). Теперь (triangle AZB) – равнобедренный, причем (ZO) – медиана (по построению). Значит, (ZO) – высота, то есть прямая (a) перпендикулярна прямой (z).

Т.к. прямую (z) мы выбрали произвольно, то это значит, что прямая (a) перпендикулярна любой прямой из плоскости (pi), проходящей через точку (O). Но это значит, что прямая (a) перпендикулярна вообще любой прямой из плоскости, т.к. для любой прямой (z’), не проходящей через точку (O), существует параллельная ей прямая (z), проходящая через точку (O). А раз (aperp z, zparallel z’
Rightarrow aperp z’) (по утверждению 1).

Следствие 3

Через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну.

Следствие 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

[{Large{text{Расстояния}}}]

Определение

Пусть (aperp beta), причем (acap beta=H). Пусть (Ain a, Bin
beta):

Отрезок (AH) называется перпендикуляром к плоскости (beta).

Отрезок (AB) называется наклонной к плоскости (beta).

Отрезок (BH) называется проекцией наклонной (AB) на плоскость (beta).

Расстояние от точки до плоскости

Длина перпендикуляра (AH) к плоскости (beta) равна расстоянию от точки (A) до плоскости (beta) (рис. 4).

Расстояние между параллельными плоскостями

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.

Заметим, что расстояние между пересекающимися плоскостями равно нулю.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра (h) к обеим скрещивающимся прямым (a) и (b) и есть расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
То есть (hperp a, hperp b).

Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, удобно найти расстояние между одной из них и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

[{Large{text{Теорема о трех перпендикулярах (ТТП)}}}]

ТТП

Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta). Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta). Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

Доказательство

1. Докажем, что из (xperp AB) следует, что (xperp BH).

Заметим, что т.к. (AHperp beta), то (AH) перпендикулярна любой прямой из плоскости (beta).

Проведем прямую (x’parallel x) через точку (B). Рассмотрим плоскость ((AHB)). Прямая (x’) перпендикулярна этой плоскости, т.к. перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AB) и (AH) из этой плоскости. Но т.к. (xparallel x’), то и (xperp(AHB) Rightarrow
xperp BH).

2. Случай, когда из перпендикулярности проекции следует перпендикулярность наклонной, доказывается аналогично.

Замечание

Данная теорема является очень важным и незаменимым инструментов во многих задачах стереометрии.

[{Large{text{Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями}}}]

Определение

Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ((0^circ;90^circ)).

Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным (0^circ). Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен (90^circ).

Замечание

Таким образом, чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку (A) на этой прямой и провести перпендикуляр (AH) к плоскости. Если (B) – точка пересечения прямой с плоскостью, то (angle ABH) и есть искомый угол (рис. 4).

Определение

Двугранный угол – это геометрическая фигура, образованная прямой (a) (называемой ребром) и двумя полуплоскостями (называемыми гранями), общей границей которых является прямая (a).
Будем считать, что данные полуплоскости не принадлежат одной плоскости (т.к. в этом случае двугранный угол представляет собой просто плоскость с прямой из этой плоскости).

Если отметить по одной точке на каждой полуплоскости, а также две точки на прямой (a) (как показано на рисунке), то двугранный угол можно обозначить как (ABCD).

Замечание

Прямая (a) в данном случае является аналогом вершины плоского угла, а полуплоскости – аналогом сторон плоского угла.

Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла.

Определение

Если к ребру (a) двугранного угла провести перпендикулярную плоскость (через любую точку), то она пересечет грани двугранного угла по лучам. Угол, образованный данными лучами, называется линейным углом данного двугранного угла.

Замечание

Таким образом, при пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранных угла, которым соответствуют четыре линейных угла.

Градусная мера угла между данными плоскостями — это градусная мера меньшего из четырех линейных углов. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ([0^circ;90^circ]).

Для того, чтобы найти угол между плоскостями (alpha) и (beta), можно действовать по следующему алгоритму:

Отметить произвольную точку (A) в плоскости (alpha).
Провести (AHperp h), где (h) — линия пересечения плоскостей.
Провести (AB) перпендикулярно плоскости (beta).
Тогда (AB) – перпендикуляр к плоскости (beta), (AH) – наклонная, следовательно, (HB) – проекция. Тогда по ТТП (HBperp h).
Следовательно, плоскость, проходящая через прямые (AH) и (BH), и есть плоскость, перпендикулярная ребру (h) двугранного угла. Значит, (angle AHB) — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла равна градусной мере угла между плоскостями.

Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник (triangle AHB). Как правило, находить (angle AHB) удобно из него.

[{Large{text{Перпендикулярность плоскостей}}}]

Определение

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ).

Теорема 4: признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Пусть прямая (a) лежит в плоскости (alpha) и перпендикулярна плоскости (beta). Докажем, что тогда плоскости (alphaperp beta).

Пусть плоскости пересекаются по прямой (h). Тогда (aperp h) (т.к. (a) перпендикулярна любой прямой из плоскости (beta), а (h), очевидно, лежит в (beta)). Проведем через точку пересечения прямых (a) и (h) прямую (b) в плоскости (beta). Углы, образованные при пересечении прямых (a) и (b) – линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями (alpha) и (beta). Но (aperp b), значит, углы, образованные ими, равны (90^circ). Чтд.

Источник

Скрещивающиеся прямые

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Читай эту статью и всё узнаешь!

Скрещивающиеся прямые — коротко о главном

Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ????) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую ????′, где ????′||????.

Скрещивающиеся прямые — подробнее

Как найти угол, если прямые не пересекаются?

Вот, например: прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) скрещиваются. Какой угол между ними?

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например ( displaystyle b)), нужно провести прямую ( displaystyle {a}’||a).

И тогда угол между ( displaystyle a) и ( displaystyle b) будет равен (по определению!) углу между ( displaystyle {{a}’}) и ( displaystyle b).

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми

В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}).

Решаем:

Прямые ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.

Пользуемся правилом: через точку ( displaystyle {{C}_{1}}) проведем прямую ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}). Она будет параллельна ( displaystyle AC).

Значит, угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) равен углу между ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}) и ( displaystyle D{{C}_{1}}). Осталось его найти.

Смотри: ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}), ( displaystyle {{A}_{1}}D) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) – диагонали граней куба, поэтому ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D), то есть ( displaystyle Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D) – равносторонний.

Поэтому ( displaystyle angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^circ ).

Ответ: ( displaystyle 60{}^circ ).

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.

ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве

На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Перед вами очередная статья с параллелепипедами. Представленные задания просты, вычислений никаких нет или их минимум. Рассматриваются кубы и прямоугольные параллелепипеды. Важно грамотно выполнить построения и знать элементарные свойства. Например, в данных заданиях используются:

1. В равностороннем треугольнике все его углы равны 60 градусам.
2. Диагонали граней куба равны.
3. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
4. Необходимо понимание понятия — скрещивающиеся прямые.

Напомню какая призма является правильной.

Правильная призма – это призма основания которой — правильные многоугольники, боковые рёбра расположены под прямым углом к основаниям. Например, правильная треугольная призма – это прямая призма, основания которой равносторонние треугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это прямая призма, основания которой являются квадратами. Понятно, что такая призма является прямоугольным параллелепипедом.

Правильная шестиугольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными шестиугольниками. Рассмотрим задачи:

315130. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К — середина ребра АA₁, точка L — середина ребра A₁B₁, точка M — середина ребра A₁D₁. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим его вершины и точки K, M и L.

Так как данные точки являются серединами ребёр, то отрезки KM, ML, KL будут равны между собой. Это означает, что треугольник KML равносторонний. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов. Таким образом, угол MLK равен 60⁰.

Ответ: 60

316554. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми АD₁ и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.

Построим куб, обозначим вершины и данные отрезки, также построим отрезок АВ₁.

Отрезки АD₁, B₁D₁и АD₁являются диагоналями граней куба, то есть все они равны, значит треугольник АD₁B₁ является равносторонним. Известно, что в равностороннем треугольнике его углы равны по 60 градусов.

Таким образом, угол между прямыми АD₁ и B₁D₁ равен 60⁰.

Ответ: 60

318474. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA₁ = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A₁C₁.

Построим отрезки CD и A₁C₁:

В данной задаче имеем скрещивающиеся прямые, то есть сами они не имеют общей точки пересечения. Но этот угол между скрещивающимся прямыми определяется. Как?

Простыми словами: если вы мысленно представите в пространстве две непараллельные прямые, то всегда существует такой перпендикуляр, который их соединяет. Так вот, если мы параллельным переносом сдвинем одну прямую к другой по этому перпендикуляру до пересечения этих прямых, то полученный между ними угол и будет тем самым искомым углом.

В кубах и параллелепипедах, где прямые проходят через рёбра и диагонали такие углы определить несложно. А вот в части С присутствуют задания со скрещивающимися прямыми на порядок сложнее.

Вернёмся к нашей задаче.

Мысленно сдвинем отрезок CD вдоль перпендикуляра СC₁ до пересечения с прямой A₁C₁. Получается, что необходимо найти синус угла между A₁C₁ и C₁D₁. Это мы можем сделать воспользовавшись определением синуса в прямоугольном треугольнике А₁C₁D₁. Найдём:

По определению синуса:

Ответ: 0,6

318475. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC. Найдите острый угол между диагоналями BD₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD₁ и CA₁:

Сразу отметим, что диагонали BD₁ и CA₁ являются диагоналями прямоугольника A₁BCD₁, то есть они равны между собой и равны диагонали AC₁ (так как призма правильная четырехугольная).

Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

A₁С = D₁B

A₁O = ОС и D₁O = ОB

A₁O = ОС = D₁O = ОB

В условии сказано, что AC₁ = 2BC, значит имеем BD₁= CA₁ = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:

BO = ОС = BC и A₁O = ОD₁ = A₁D₁

то есть треугольники BОС и A₁OD₁ равносторонние.

Таким образом, угол острый между диагоналями равен 60⁰.

Ответ: 60

В данных заданиях используется теорема Пифагора, для нахождения углов необходимо владеть понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

245359. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3.

Посмотреть решение

245360. Найдите расстояние между вершинами A и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3.

Посмотреть решение

245361. Найдите угол ABD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

245362. Найдите угол C₁BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁ = 4. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

245363. Найдите угол DBD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA₁ = 5. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

284357. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁ = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA₁.

Посмотреть решение

284363. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁ = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA₁.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник