Как найти углы между векторами в ромбе

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α = a · b
| a |·| b |

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 24 = 24 = 0.96
| a | · | b | 5 · 5 25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 40 = 40 = 4 = 0.8
| a | · | b | 5√ 2 · 5√ 2 50 5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 28 = 14
| a | · | b | 5 · 6 15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Угол между векторами ромба

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α = a · b
| a |·| b |

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 24 = 24 = 0.96
| a | · | b | 5 · 5 25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 40 = 40 = 4 = 0.8
| a | · | b | 5√ 2 · 5√ 2 50 5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b = 28 = 14
| a | · | b | 5 · 6 15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Угол между векторами

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом занятии мы поговорим об угле между векторами. Для начала дадим определение упомянутому понятию и используем его при обозначении скалярного произведения векторов. После рассмотрим примеры построения ненулевых векторов и вычисления угла между ними. Научимся находить скалярное произведение векторов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl/

http://b4.cooksy.ru/articles/ugol-mezhdu-vektorami-romba

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Векторы».

Содержание данной страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Свойства векторов» рассматривается на примере решения задачи 86;
  • – онлайн задания, как находить угол между векторами, в том числе в координатной форме, как определяется скалярное произведение векторов, скалярный квадрат, представлены в контрольных работах 87 — 107 учебника.

Свойства векторов

1) Вектор коллинеарный с вектором

2) ↑↑↑↑

3) =

4) =

5) Дано: система координат

модуль вектора = 5

= 12

Найдите: OA

Решение:

OA== 13

OA = = 13

Ответ: OA = 13

***

Пусть и — данные векторы.

1) Отложим от точки O векторы = и =

2) Если ↑↓— противоположно направленные векторы, то лучи OA и OB образуют угол AOB

3) Если ↑↑— сонаправленные векторы, то угол между векторами и равен 0°.

Угол между двумя векторами и обозначается так:

Определение:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

***

Задача 86.

Дано:

ABCD — квадрат

AC ∩ BD = O

Найти: углы между векторами BAC, DAB = ?

Вычисление:

a) Т.к. AC — диагональ квадрата, то она делит угол A пополам. Тогда угол между векторами = 45°

б) Т.к. ABCD — квадрат, то градусная мера угла между векторами = = 90°, т.е. прямой угол.

***

Скалярное произведение векторов

Задача 87.

Дано:

ABCD — ромб

BD = AB; AC ∩ BD = 0

Вычислите: угол, образованный векторами

и , и , и = ?

Решение:

а) По определению ромба ΔABD — равносторонний (AB = AD = BD).

Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами = 60°

б) Т.к. векторы ↑↑сонаправленные, то угол между векторами = 0°

в) Т.к. векторы ↑↓ — противоположно направленные, то угол между векторами = 180°

***

Определение:

Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.

Обозначение: или

= *cos (a,b)     (1)

Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:

1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.

>0, если <90°

скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.

<0, если >90°

2) Если ↑↑ — сонаправленные векторы, то угол между векторами равен нулю градусов, т.е. =0° =

3) Если перпендикулярные векторы и =90° Cos 90° = 0, то = 0

Верно и обратное, т.е. если = 0

Вывод: = 0

***

Задача 88.

Дано:

Векторы

=2

=3

Угол α = 90°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем

= • Cos 90° = 2 • 3 • 0 = 0

Ответ: = 0

***

Скалярный квадрат

***

Задача 89.

Дано:

ΔABC — равносторонний

AB = a

Найти: скалярное произведение векторов 1) 2)

Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

1) = •Cos () = =

2) = •Cos (120°) = —

***

Задача 90.

Дано:

Векторы

=2; =3

1) угол α = 45°

2) α = 135°

Найти: скалярное произведение векторов

Решение:

1) = •Cos 45° = 2 • 3 • = 3

2) = •Cos 135° = 2 • 3 • = -3

Ответ: 1) 3; 2) -3

***

Задача 91.

Дано:

ΔABC — равносторонний

AB = a

BD — высота

Найти: скалярное произведение векторов

1)

2) 3)

Решение:

1) = •Cos 120° = • (-Cos 60°) = —

2) т.к. векторы перпендикулярны BDAC = 0

3) = =

Ответ:1) —; 2) 0 ; 3)

Задача 92.

Дано:

ABCD — ромб

BD ∩ AC = 0

BD = AB

1) ;

2) ;

Найти: величину угла между векторами

1) ; 2)

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC — равнобедренный, т.к. AB=BD.

Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD — равносторонний.

Тогда DAB =BDA = 60°

По свойству ромба следует, что ADC = 120°

Тогда угол между векторами =120°

2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:

BA || CD и ↑↑ , тогда векторы параллельны ||, поэтому векторы равны =.

Рассмотрим треугольник ΔCBD — равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.

По определению ромба ΔCBD — равносторонний.

Значит, угол BDC = 60°

По свойству ромба угол ADC = 120°.

Тогда угол между векторами =120°.

Ответ: 1) =120°; 2) =120°.

***

Скалярное произведение векторов в координатах

Теорема:

Если два вектора имеют координаты {x1; y1}; { x2; y2}, то скалярным произведением двух векторов (формула 2) называется произведение их координат:

(2)

Доказательство:

1 случай.

Если какой-нибудь вектор — нулевой, то равенство (2) выполняется очевидно.

2 случай.

Если векторы и — неколлинеарны.

Отложим векторы от произвольной точки O.

Рассмотрим треугольник ΔOBA.

Известно, что формула косинуса

c2 = a2 + b2 — 2ab • Cos α, получаем равенство

AB­­2 = OB2 + OA2 — 2 • OB • OA • Cos α (3)

Учитывая значения (*) = ; = ; = ; а также, что OA = ||; OB = || ; AB = ||, подставив значения (*) в равенство (3), получаем

||2 = ||2 + ||2 — 2 (4)

Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем

=; =.

Т.к. = {x2 — x1; y2 – y1}, то, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

|| = .

Тогда из равенства (4) следует

(x2 — x1)2 + (y2 – y1)2 = x22 + y22 + x12 + y12 — 2

x22 -2 x2 x1 + x12 + y22 – 2 y2y1 + y12 = x22 + y22 + x12 + y12 — 2

-2 x2 x1– 2 y2y1 = — 2

= x2 x1 + y2 y1

***

Следствия:

1) Если векторы перпендикулярны, т.е.

{x1; y1}{ x2; y2} x1 x2 + y1 y2 = 0

2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)

= • Cos α

Cos α =

Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:

 

Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.

***

Скалярное векторное произведение

Задача 93.

Если {; -1}; {2; 3}, то = 0,5 + (-3) = -2,5

***

Задача 94.

Если {x; -1}; {3; 2} и векторы перпендикулярны , тогда = 3x — 2 0 = 3x — 2 2 = 3x x =

***

Задача 95.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Найти: косинус угла между векторами Cos A = ?

Решение:

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

{b1 – a1; b2 – a2}, тогда

= {} = {}

= {} = {}

Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов

Cos A = , получаем

Cos A = ===

Ответ: Cos A =

***

Длина вектора

Задача 96.

Дано:

угол между векторами равен = =60° ,

длины векторов || = 1, || = || = 2

Найти: произведение векторов ()= ?

Решение:

()=+= ||•||•Cos 60° + ||•||•Cos 60° = 1 + 2 = 3

Ответ: ()= 3

***

Задача 97.

Дано:

=, =

длина векторов ||=||=1

— перпендикулярные векторы

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= ()•() = 32 + 12 — 2— 82 =

= 32 + 10 — 82 = 3||2 + 0 — 8||2 = -5.

Ответ: = -5.

***

Задача 98.

Дано:

{1,5 ; 2}, {4 ; -0,5}

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= x1 x2 + y1 y2 = 6 + (-1) = 5

Ответ: = 5.

***

Задача 99.

Дано:

{0 ; -3}, {5 ; x}

— перпендикулярные векторы

Найти: произведение векторов = ?

Решение:

= x1 x2 + y1 y2

0 = 0 + (-3x)

3x = 0

x = 0

Ответ: при x=0, .

***

Задача 100.

Дано:

Координаты точек

A(2;8), B(-1;5), C(3;1)

Найти: косинус угла векторов

1) Cos B = ?

2) Cos C = ?

Решение:

1)

Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала

{b1 – a1; b2 – a2}, тогда

= {} = {}

= {} = {}

Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов

Cos B = , получаем

Cos B = == 0

2)

= {} = {}

= {} = {}

Cos C = ===

Ответ: Cos B =0, Cos C =

***

Задача 101.

Дано:

, где i и j – координатные векторы

Найти: длину вектора || = ?

Решение:

Найдем координаты вектора .

{3; -4}

Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат || = , тогда получаем

|| = = = 5.

Ответ: || = 5.

***

Задача 102.

Дано:

ABCD — ромб

AB =, AD =

Доказать: диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны

ACBD или =0

Доказательство:

Т.к. ABCD — ромб — параллелограмм, то векторы параллелограмма ,

=

= (+) () = 2 + 2 = 22 = =||2 -||2 = 0. Поэтому угол между векторами = 90°. Значит, диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны ACBD.

***

Задача 103.

Дано:

треугольник ΔABC — равнобедренный

AM — медиана

Доказать:

1) 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A

2) CH = AM

Доказательство:

1) Т.к. точка M — середина BC, тогда

2=

Значит, (2) • (2) = ()() =

= AB2 + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A

Получаем 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A

2) По формуле, полученной выше, следует

4CH2 = AC2 + BC2 + 2AC • BC • Cos C

Т.к. треугольник ΔABC — равнобедренный, тогда AB = BC, A = C Cos A = Cos C

Получим, что 4CH2 = AC2 + BC2(=AB2) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)

4CH2 = AC2 + AB2 + 2AC • AB • Cos A

4CH2 = 4AM2

=

2CH = 2AM | : 2

CH = AM

***

Задача 104.

Дано:

ABCD — выпуклый четырехугольник

BD = d1 и AC = d2 — диагонали

d1 ∩ d2 = O — точка пересечения диагоналей

Доказать:

Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними

SABCD= d1 • d2 • Sin α

Доказательство:

Площадь четырехугольника — сумма площадей четырех треугольников.

SABCD= S1 + S2 + S3 + S4 , где

S1 = SΔAOB ; S2 = SΔCOB ; S3 = SΔCOD ; S4 = SΔAOD

S1 = BO • OA • Sin α

S2 = BO • OC • Sin (180° — α) = BO • OC • Sin α

S3 = CO • OD • Sin α

S4 = AO • OD • Sin (180° — α) = AO • OD • Sin α

Сложив S1 + S2 + S3 + S4, получаем

SABCD= BO • Sin α (OA+OC) +

+ OD • Sin α (CO+OA)

Т.к. OA+OC = AC, CO+OA = AC, BO + OD = BD тогда

SABCD=BO • AC • Sin α +OD • AC • Sin α =BD • AC • Sin α

Формула площади выпуклого четырехугольника:

SABCD= d1 • d2 • Sin α

***

Задача 105.

Дано:

два вектора образуют угол α = 150°,

длины векторов || = 2 , || = 2

Найти: длину вектора |2| = ?

Решение:

BC2 = AB2 + AC2 — 2 AB • AC • Cos 150°

BC2 = 48 + 4 — 2 • 4• 2 • (-) = 52 + 24 = 76

BC = = 2

Ответ: BC = |2| = 2

***

Задача 106.

Дано:

Треугольник ΔABC

Угол B = 45°, C = 70°

a=24,6

Найти: Угол в градусах A, стороны b, c

Решение:

A = 180° — (45° + 70°) = 75°

Используя теорему синусов

, получаем выражение

b = ≈ 19,2

c =

≈ 25,5

Ответ: A = 75°; b ≈ 19,2; c ≈ 25,5.

***

Задача 107.

Дано:

длины векторов || = 5, || = 8,

угол между 2 векторами =60°

Найти: значение векторов

1) ||= ?

2) ||= ?

Решение: По теореме косинусов

1)

AC2 = AB2 + BC2 — 2AB • BC • Cos 120°

AC2 = 25 + 64 — 80 • (- 0,5) = 129

AC = ±, но AC = — не удовлетворяет решению задачи. Значит, AC =.

2) BC2 = AB2 + AC2 — 2AB • AC • Cos 60°

BC2 = 89 — 80 • 0,5 = 49

BC = ±, но BC = — 7 не удовлетворяет решению задачи. Значит, BC = 7.

Ответ: || =; || = 7.

***

План урока:

Угол между векторами

Понятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение в координатах

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Вычисление угла между векторами

Свойства скалярного произведения

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

1 skalyarnoe proizvedenie

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между и b, надо отложить их от одной и той же точки:

2 skalyarnoe proizvedenie

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

3 skalyarnoe proizvedenie

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

4 skalyarnoe proizvedenie

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

5 skalyarnoe proizvedenie

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

6 skalyarnoe proizvedenie

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

7 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

8 skalyarnoe proizvedenie

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

9 skalyarnoe proizvedenie

Угол между и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

10 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

11 skalyarnoe proizvedenie

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

12 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: 8.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

13 skalyarnoe proizvedenie

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

14 skalyarnoe proizvedenie

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Решение.

15 skalyarnoe proizvedenie

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

16 skalyarnoe proizvedenie

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

17 skalyarnoe proizvedenie

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

18 skalyarnoe proizvedenie

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

19 skalyarnoe proizvedenie

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

20 skalyarnoe proizvedenie

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

21 skalyarnoe proizvedenie

Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х21 – у2}. С учетом этого (2) примет вид

22 skalyarnoe proizvedenie

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

23 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

24 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

25 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

26 skalyarnoe proizvedenie

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

27 skalyarnoe proizvedenie

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

28 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

29 skalyarnoe proizvedenie

Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

30 skalyarnoe proizvedenie

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

31 skalyarnoe proizvedenie

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

32 skalyarnoe proizvedenie

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

33 skalyarnoe proizvedenie

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

34 skalyarnoe proizvedenie

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

35 skalyarnoe proizvedenie

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

36 skalyarnoe proizvedenie

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

37 skalyarnoe proizvedenie

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

38 skalyarnoe proizvedenie

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

39 skalyarnoe proizvedenie

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

40 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

41 skalyarnoe proizvedenie

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

42 skalyarnoe proizvedenie

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

43 skalyarnoe proizvedenie

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

44 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

45 skalyarnoe proizvedenie

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

46 skalyarnoe proizvedenie

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

47 skalyarnoe proizvedenie

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

48 skalyarnoe proizvedenie

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы».  В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные.  Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала

Скалярное произведение векторов

И ещё:

Угол между векторами

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные  формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 1800 (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 00 до 900), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 900 до 1800), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При  180о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При 90о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение:  скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Рассмотрим задачи:

27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.

100

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Как найти координаты вектора изложено в этой статье.

Вычисляем:

Ответ: 40

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.

101

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Посмотреть решение

Посмотреть решение

27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

102

Посмотреть решение

27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.

103

Посмотреть решение

27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.

104

Посмотреть решение

На этом  всё! Успехов вам! 

С уважением, Александр Крутицких.

На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. … значит, ты… и ты. … Понятно… Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Угол между векторами

Определение

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

Угол между векторами

 

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

(left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

Острый угол между векторами

 

Тупой:

Тупой угол между векторами

 

Прямой:

Прямой угол

 

С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):

0 градусов

 

С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):

180 градусов

 

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Определение

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))

  1. Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
  2. Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
  3. Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
  4. Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
  5. Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.

В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Расчет угла, если вектор задан координатами

В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)), то угол между ними можно найти следующим образом:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})

Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:

(overrightarrow a=left(a_x;a_y;a_zright))

( overrightarrow b=left(b_x;b_y;b_zright))

то формула принимает такой вид:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.

Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow{AC}) и (overrightarrow{BC}).

Решение

Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:

(overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1))

(overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2))

После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac{(overrightarrow{AC};;overrightarrow{BC})}{left|overrightarrow{AC}right|cdotleft|overrightarrow{BC}right|}=frac{3cdot4+1cdot(-2)}{sqrt{3^2+1^2}cdotsqrt{4^2+{(-2)}^2}}=frac{10}{sqrt{10}cdot2sqrt5}=frac{10}{10sqrt2}=frac1{sqrt2})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac1{sqrt2}.)

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.

Решение

Применим формулу:

( cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})

Подставим известные значения:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{-9}{3cdot6}=-frac12)

Далее найдем угол между данными векторами:

(arccosleft(-frac12right)=frac{3pi}4)

Ответ: (left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=-frac12,;left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{3pi}4.)

Задача 2

В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)). Вычислить угол α между ними.

Решение

Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})

Подставляем значения и получаем:

(cosleft(alpharight)=frac{8cdot(-2)+(-11)cdot(-7)+7cdot8}{sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}cdotsqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=frac{117}{sqrt{234}cdotsqrt{117}}=frac{sqrt{117}}{sqrt{234}}=frac1{sqrt2}=frac2{sqrt2})

Теперь находим угол α:

(alpha=arccosleft(frac2{sqrt2}right)=45^circ)

Ответ: (45^circ).

Задача 3

Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)). Найти угол между ними.

Решение

Для расчета используем формулу:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})

Подставим известные значения и получим:

(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}}=frac{3cdot2+4cdot5}{sqrt{3^2+4^2}cdotsqrt{2^2+5^2}}=frac{26}{sqrt{25}cdotsqrt{29}}=frac{26}{5sqrt{29}})

Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{26}{5sqrt{29}})

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить договор на материальную ответственность образцы
  • Как найти невидимую папку на windows 10
  • Как найти линейное увеличение собирающей линзы
  • Как составить план семейного бюджета на месяц
  • Как найти точный перевод