Как найти углы наклона линии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания,^[1] то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

1

Уясните формулу для вычисления углового коэффициента. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, который она образует с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.
2

Выберите две точки и найдите их координаты. Можно выбрать любые две точки, лежащие на прямой.
3

Задайте порядок точек (относительно друг друга). Одна точка будет первой точкой, а другая – второй. Не имеет значения, какая точка будет первой, а какая второй – главное не перепутать их порядок в процессе вычисления.^[2]
4

Запишите формулу для вычисления углового коэффициента. Формула: ${frac {VR}{GR}}={frac {y_{{2}}-y_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}}$ , где VR – вертикальное расстояние, определяемое изменением координаты «у», GR – горизонтальное расстояние, определяемое изменением координаты «х».^[3]

Реклама

1

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «у». Не перепутайте их с координатами «х» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
2

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «х». Не перепутайте их с координатами «у» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
3

Вычтите координаты «у». Вы найдете вертикальное расстояние.
4

Вычтите координаты «х». Вы найдете горизонтальное расстояние.
5

Если возможно, сократите дробь. Вы найдете угловой коэффициент.
6
Обращайте внимание на отрицательные числа. Угловой коэффициент может быть положительным или отрицательным. В случае положительного значения прямая возрастает (движется вверх слева направо); в случае отрицательного значения прямая убывает (движется вниз слева направо).
- Помните, что если и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, то результат будет положительным.
- Если в числителе или в знаменателе стоит отрицательное число, то результат будет отрицательным.
7
Проверьте ответ. Для этого измерьте или посчитайте (по шкалам осей) вертикальное и горизонтальное расстояния. Если они совпали с вычисленными, то ответ правильный.
- Если измеренные или посчитанные вертикальное и горизонтальное расстояния не совпали с вычисленными, то ответ не правильный.
Реклама

Советы

Об этой статье

Эту страницу просматривали 90 508 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Уклон любой линии
на карте находим по формуле:

tgν
= h/d
= i, (1.8)

где
ν
– угол наклона линии к горизонту, в
градусах;

h
– разность отметок (превышение) концов
линии;

d
– горизонтальное проложение (проекция)
линии;

i
– уклон линии в тысячных долях.

Например,
найти уклон линии между точками S
и А (рис. 1.6). Уклон линии SА
определяем так:

h
= (H_A
— H_S)
= 141.3 – 151.1 = 9.8 м

d
= SA 
M = 3.8 x 100 = 380 м.

Здесь
SA
= 3,8 см,

М – знаменатель
масштаба, равный 100 м.

i
= tgν
= -9.8 
380 = — 0.026,

ν
= 130.

Рисунок 1.6 –
Определение уклонов

1.5.7. Измерение угла наклона линии с помощью графиков «Масштаб заложения»

Графики
масштабов заложения (рис. 1.7а) строятся
по формулам, вытекающим из выражения
(1.8):

для
определения углов наклона: d
= h
/ tg
ν;
(1.9)

для
определения уклонов: d
= h/i.
(1.10)

Пользуясь
циркулем-измерителем, по построенным
графикам масштабов заложений находят
искомые ν
и i
для отрезков заданной линии SN

(рис. 1.7б).

Рисунок
1.7 – Определение уклонов с помощью
графика масштаба заложения

1.5.8. Построение профиля местности

Профиль
местности (рис. 1.8) строят на миллиметровой
бумаге по заданной линии SN
в такой последовательности:

к
заданной профильной линии SN
прикладывают лист миллиметровой бумаги
и переносят на её край короткими
черточками места пересечения горизонталей
с профильной линией (выходы горизонталей);
на
листе миллиметровой бумаги слева у
горизонтальных линий подписывают
высоты, соответствующие высотам
горизонталей на карте, приняв условно
промежутки между этими линиями за
высоту сечения;
от
всех черточек (выходов горизонталей)
опускают перпендикуляры до пересечения
их с соответствующими по отметкам
параллельными линиями и отмечают
полученные точки пересечения;
соединяют
точки пересечения плавной кривой,
которая и изображает профиль местности.

Длины
отрезков S
– 1, 1 – 2 и т.д. измеряют по линейному
масштабу и подписывают под профилем
(рис. 1.8).

Вертикальный
масштаб (шкала высот) принимается в
десять раз крупнее горизонтального.

Отметку условного горизонта вычисляют
по формуле

УГ = Но – К 
М, (1.11)

где Но – минимальная отметка точки на
линии профиля, округлённая до значения,
кратного знаменателю вертикального
масштаба;

М – знаменатель вертикального масштаба
(м);

К – коэффициент, принимаемый равным 5
– 7.

Измеренные
и вычисленные значения отметок Н,
превышений h,
горизонтальных проложений d,
уклонов i
и углов наклона ν
для всех отрезков заданной профильной
линии SN
заносят в таблицу 1.2.

Таблица
1.2 – Расчет элементов продольного
профиля местности

№№ точек	Отметка точки Н, м	Расстояние между горизонталями, h, м	Горизонтальное проложение, d, м	Уклон i= h/d	Угол наклона, ν, 
S
1

2

…..


N

Рисунок
1.8 – Продольный профиль местности

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Download Article

Easily find the slope with these simple methods

Download Article

Finding the Slope

Types of Slopes

Video

Tips

Things You’ll Need

If you’re taking algebra, finding the slope of a line is an important concept to understand. But there are multiple ways to find the slope, and your teacher may expect you to learn them all. Feeling a bit overwhelmed? Don’t fret. This guide covers all the important methods for determining the slope of a line. We’ll also explain how the slope formula works and how to use it to find the slope from a graph or list of (x, y) points. Keep reading to learn how to calculate the slope of a line and ace your next quiz, exam, or homework assignment.

Practice Problems

Things You Should Know

Slope = Rise divided by Run and is represented by the variable m. When given two (x, y) points on a line, Run = x₂ — x₁ and Rise = y₂ — y₁. Therefore, m = (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁).
Find the slope by finding two (x, y) points on a line, labeling one (x₁, y₁) and the other (x₂, y₂). The slope m = (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁).
Positive slopes go “uphill” from left to right, and negative slopes go “downhill.” A horizontal line has a slope of m = 0, while the slope of a vertical line is undefined.

1
This is the slope formula, which states Slope = Rise over Run. When plotting a line on a graph, the “Rise” refers to the change in y that corresponds to a specific change in x. This change in x is called the “Run.” For instance, if y increases by 4 when x increases by 2, then Rise = 4 and Run = 2. To find the slope, divide 4/2 to get 2.^[1]
- The slope of a line is represented by the variable m. In this example, m = 2.
- The slope m is part of the formula y = mx + b. This is called the “slope-intercept formula.”
- You can use y = mx + b to calculate a value of y that corresponds to a particular value of x. Each pair of corresponding x and y values is called a “point”, written as (x, y).^[2]
- If you find multiple (x, y) points for the same equation, you can plot those points on a graph and draw a straight line through them.

1
Find two different points that the line passes through. Each point has an x value and a y value, written together as (x, y). You can pick any two points you like, as long as the line passes directly through them.^[3]
- In the example above, we picked the points (2, 1) and (5, 3).
- The first point has an x value of 2 and a y value of 1, so it’s written as (2, 1).
- The second point has an x value of 5 and a y value of 3. It’s written as (5, 3).
2
Choose one point to be (x₁, y₁) and the other to be (x₂, y₂). In other words, the first (x, y) pair can be (x₁, y₁), and the second paid can be (x₂, y₂). In the example above, (x₁, y₁) is (2, 1), while (x₂, y₂) is (5, 3).^[4]
- For simplicity, you can always make the point farthest on the left (x₁, y₁). This point will have the lower value for x.
- In reality, you can make either point (x₁, y₁) or (x₂, y₂), as long as you remember which is which.
3
Calculate m by dividing the Rise by the Run. Rise = y₂ — y₁, while Run = x₂ — x₁. To illustrate this, let’s calculate m for our previous example using the coordinates (2, 1) and (5, 3):^[5]
- (x₁, y₁) = (2, 1), and (x₂, y₂) is (5, 3).
- Rise = y₂ — y₁, or 3 — 1. Run = x₂ — x₁, or 5 — 2.
- Rise/Run = (3 — 1)/(5 — 2), or (2/3).
- Therefore, m = ⅔, or 0.67.

1
Positive slope: A positive slope is “uphill” with a positive m value. “Uphill” means that y increases as x increases. In the above image, the lines all have positive slopes. Note that each line goes uphill from left to right, and that the y value for each point gets larger as the x value gets larger.^[6]
- A positive slope can be a positive integer like 3, 5, or 16. It can also be a fraction or decimal, like ½, 0.75, or 1.86.
- Look closely at the y = mx + b formulas listed with each line. Notice that m is always a positive number.
2
Negative slope: A negative slope is “downhill” with a negative m value. “Downhill” means that y decreases as x increases. In the above image, the lines all have negative slopes. Note that each line goes downhill from left to right, and that the y value for each point gets smaller as the x value gets larger.^[7]
- A negative slope can be a negative integer like -2, -6, or -19. It can also be a negative fraction or decimal, like -⅓, -0.9, or -2.21.
- Note the y = mx + b formulas for each line. You’ll see that m is always a negative number.
3
Zero slope: A horizontal line has a slope of m = 0. The y value always stays the same, even as x increases. In other words, the line doesn’t go “uphill” or “downhill”. In the graph above, you’ll see that all the lines are completely flat.^[8]
- A horizontal line always has a slope of m = 0. This means the equation y = mx + b can be written as y = 0x + b. Since 0x = 0, the equation gets simplified to y = b, with b being the y corresponding value for all values of x.
- The formulas for the line above all follow the same format: y = some number.
4
Undefined slope: A vertical line has an “undefined” slope and one value for x. In other words, y can have any value, but x always has the same value. Vertical lines can’t be written with the formula y = mx + b. Instead, they are written as x = some number, and the vertical line passes through the x-axis at that exact number.^[9]
- The image above shows lines with undefined slopes.

Add New Question

Question

How do I find slope of 2x — 4y = 20?

Re-work the equation until y is isolated on one side. Then note the coefficient of the x term. That’s the slope. In this example, we re-work the equation until we isolate y: y = x/2 — 5. The coefficient of x is ½, so the slope of the line is ½.
Question

How do I find the slope of a line y=9?

For all lines where y equals a constant and there is no x, the slope is 0.
Question

How do I use a protractor and trigonometry to find slope of a line?

The slope of a line is a non-angular representation of the angle between the line and a horizontal line such as the x-axis. Use a protractor to measure that angle, and then convert the angle to a decimal or a fraction using a trig table. For example, if a protractor tells you that there is a 45° angle between the line and a horizontal line, a trig table will tell you that the tangent of 45° is 1, which is the line’s slope. Most angles do not have such a simple tangent. For instance, a 30° angle has a tangent of 0.577. You could use that as the slope, or you could convert the decimal to a fraction, but in this case it would be a rather unwieldy fraction (577/1000 or 72/125).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

You can calculate the slope from a list of (x, y) points that correspond to a line
Choose one point from the list to be (x₁, y₁) and another to be (x₂, y₂).
As long as you have at least two (x, y) points, you don’t need to plot the line on a graph to calculate the slope (though your assignments may still require you to do so).

Thanks for submitting a tip for review!

Example

Given: Line AB.
Coordinates: A — (-2, 0) B — (0, -2)
(y₂-y₁): -2-0=-2; Rise = -2
(x₂-x₁): 0-(-2)=2; Run = 2
Slope of Line AB = (Rise/Run) = -1.

Things You’ll Need

Graph paper (possibly).
A coordinate plane, or a line with two given coordinates.
The Slope Formula.
Pencil and paper,a ruler, a calculator, or just your mind.
Line(s).
x-coordinates.
y-coordinates.

References

About This Article

Article SummaryX

In geometry, the slope of a line describes how steep the line is, as well as the direction it’s going—that is, whether the line is going up or down. To find the slope of a line, all you have to do is divide the rise of the line by its run. To get the rise and run, pick any two coordinates along the line. For instance, your first coordinate might be at 2 on the x axis and 4 on the y axis, while your second coordinate might be at 5 on the x axis and 7 on the y axis. Next, write a fraction with the difference between your two y coordinates on top—this is the rise—and the difference between the x coordinates on the bottom—that’s the run. In our example, the rise would be 7-4, while the run would be 5-2. This means the slope of the line would be 3/3, or 1. To figure out the direction of the line, check whether your slope is positive or negative. Lines that go up from left to right always have a positive slope, while lines that go down from left to right always have a negative slope. To figure out how steep the line is, look at the magnitude of the number. Whether it’s positive or negative, the greater the magnitude, the steeper the slope. For instance, a line with a slope of -7 is steeper than a line with a slope of -2. Similarly, a line with a slope of 15 is steeper than a line with a slope of 3. If you want to learn how to reduce the numbers in your slope, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 433,736 times.

Did this article help you?

Источник

Углы наклона прямой

Углы наклона прямой общего положения по двум ее проекциям находятся попутно при определении действительной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.
В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

Углы наклона прямой

[
tg α = BB_1/AB_1 = (BB` — B`B_1)/AB_1 = (z_B — z_A)/A`B`
]

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB₁) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций (рис.).

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и угла наклона ее к плоскости проекций на эпюре (КЧ) необходимо построить прямоугольный треугольник:
— первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов);
— из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций;
— гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка;
— угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией на эту плоскость проекций.

Углы наклона прямой, отрезка общего положения всегда будут меньше их ортогональных проекций.

Углы наклона прямой

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка достаточно
построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную (фронтальную, профильную)
проекцию отрезка, а за другой катет — разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или
соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции.

[
tg α = BB_1/AB_1 = (BB` — B`B_1)/AB_1 = (z_B — z_A)/A`B`
]

[
tg β = AA_1/BA_1 = (AA» — A»A_1)/BA_1 = (y_A — y_B)/A»B»
]

Графическое определение действительной величины отрезка [AB] путем построения прямоугольных треугольников
ΔA`B`B₀ или ΔA»B»A₀ и попутно углов его наклона:
— α к горизонтальной плоскости проекции;
— β к фронтальной плоскости проекции.

Углы наклона прямой

Углы наклона прямой к плоскости проекций проецируется на эпюре без искажений, когда она занимает положение прямой уровня, это может быть:
— Горизонтальная прямая;
— Фронтальная прямая;
— Профильная прямая

Углы наклона прямой применяются в статье графическая работа 1: Графическая работа 1

Определение углов наклона плоскости смотри также: Линия наибольшего наклона

Источник

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания, то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

Запись задачи

Уясните формулу для вычисления углового коэффициента. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, который она образует с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.
Выберите две точки и найдите их координаты. Можно выбрать любые две точки, лежащие на прямой.
- Воспользуйтесь этим методом, если даны только координаты двух точек (без графика).
- Координаты записываются в виде (x,y){displaystyle (x,y)}, где x{displaystyle x} – координата по оси Х (горизонтальная ось), y{displaystyle y} – координата по оси Y (вертикальная ось).
- Например, даны две точки со следующими координатами: (3,2){displaystyle (3,2)} и (7,8){displaystyle (7,8)}.
Задайте порядок точек (относительно друг друга). Одна точка будет первой точкой, а другая – второй. Не имеет значения, какая точка будет первой, а какая второй – главное не перепутать их порядок в процессе вычисления.
- Координаты первой точки обозначим как (x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})}, а координаты второй точки – как (x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})}.
Запишите формулу для вычисления углового коэффициента. Формула: VRGR=y2−y1x2−x1{displaystyle {frac {VR}{GR}}={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}, где VR – вертикальное расстояние, определяемое изменением координаты «у», GR – горизонтальное расстояние, определяемое изменением координаты «х».

Вычисление угла наклона прямой

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «у». Не перепутайте их с координатами «х» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
- Например, если координаты первой точки: (3,2){displaystyle (3,2)}, а координаты второй точки: (7,8){displaystyle (7,8)}, то формула примет следующий вид:VRGR=8−2×2−x1{displaystyle {frac {VR}{GR}}={frac {8-2}{x_{2}-x_{1}}}}
В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «х». Не перепутайте их с координатами «у» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
- Например, если координаты первой точки: (3,2){displaystyle (3,2)}, а координаты второй точки: (7,8){displaystyle (7,8)}, то формула примет следующий вид:VRGR=8−27−9{displaystyle {frac {VR}{GR}}={frac {8-2}{7-9}}}
Вычтите координаты «у». Вы найдете вертикальное расстояние.
- Например, если координаты «у»: 8{displaystyle 8} и 2{displaystyle 2}, то вертикальное расстояние: 8−2=6{displaystyle 8-2=6}.
Вычтите координаты «х». Вы найдете горизонтальное расстояние.
- Например, если координаты «х»: 7{displaystyle 7} и 3{displaystyle 3}, то горизонтальное расстояние: 7−3=4{displaystyle 7-3=4}.
Если возможно, сократите дробь. Вы найдете угловой коэффициент.
- Если вы не знаете, как сокращать дроби, прочитайте эту статью.
- В нашем примере дробь 64{displaystyle {frac {6}{4}}} сокращается до 32{displaystyle {frac {3}{2}}}, то есть угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (3,2){displaystyle (3,2)} и (7,8){displaystyle (7,8)}, равен 32{displaystyle {frac {3}{2}}} или 1,5{displaystyle 1,5}. Чтобы вычислить угол наклона прямой, из найденного значения возьмите арктангенс. В нашем примере: arctg(1,5) = 56,3 градусов.
Обращайте внимание на отрицательные числа. Угловой коэффициент может быть положительным или отрицательным. В случае положительного значения прямая возрастает (движется вверх слева направо); в случае отрицательного значения прямая убывает (движется вниз слева направо).
- Помните, что если и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, то результат будет положительным.
- Если в числителе или в знаменателе стоит отрицательное число, то результат будет отрицательным.
Проверьте ответ. Для этого измерьте или посчитайте (по шкалам осей) вертикальное и горизонтальное расстояния. Если они совпали с вычисленными, то ответ правильный.
- Если измеренные или посчитанные вертикальное и горизонтальное расстояния не совпали с вычисленными, то ответ не правильный.

Советы

Угловой коэффициент обозначается как k{displaystyle k}. Вычислив угловой коэффициент, можно записать функцию прямой: y=kx+b{displaystyle y=kx+b}, где k{displaystyle k} – угловой коэффициент, b{displaystyle b} – координата «у» точки пересечения прямой с осью Y.

Источник

Советы

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

1.5.7. Измерение угла наклона линии с помощью графиков «Масштаб заложения»

1.5.8. Построение профиля местности

Practice Problems

Things You Should Know

Example

Things You’ll Need

References

About This Article

Did this article help you?

Углы наклона прямой

Запись задачи

Вычисление угла наклона прямой

Советы