Как найти углы описанного четырехугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов углы являются внешними.

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом.

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если то параллелограмм является ромбом.

Доказательство теоремы 1.

Дано: ромб.

Докажите, что

Доказательство (словестное): По определению ромба При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что равнобедренный. Медиана (так как ), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Так как является прямым углом, то . Аналогичным образом можно доказать, что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
2. Все стороны конгруэнтны.
3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
2. Все углы прямые.
3. Все стороны конгруэнтны.
4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

План доказательства теоремы 2

Дано: равнобедренная трапеция.

Докажите:

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если тогда Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку проведем параллельную прямую к прямой

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике через точку — середину стороны проведите прямую параллельную Какая фигура получилась? Является ли трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Можно ли утверждать, что

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Доказательство. Пусть дан треугольник и его средняя линия Проведём через точку прямую параллельную стороне По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны т.е. совпадает со средней линией Т.е. средняя линия параллельна стороне Теперь проведём среднюю линию Т.к. то четырёхугольник является параллелограммом. По свойству параллелограмма По теореме Фалеса Тогда Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство: Через точку и точку середину проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной через

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки и и точка которая является серединой отрезка

то а отсюда следует, что

2) По теореме Фалеса, если точка является серединой отрезка то на оси абсцисс точка является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках и

3) Координаты середины отрезка с концами и точки находятся так:

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

различать рациональные и иррациональные числа;
упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
решать задания на извлечение квадратного корня;
основам теоремы Пифагора;
решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах:

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если то, — прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа являются Пифагоровыми тройками, то и числа также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой —

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой.

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, , стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: =40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В + CD (по неравенству треугольника). Тогда . Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Решение:

(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично (АВ CD, ВС-секущая), (ВС || AD, CD — секущая), (АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Доказательство. по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
либо противоположные стороны попарно равны (признак),
либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

противоположные стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что . по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что . Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: . По свойству углов четырёхугольника,

Следовательно, : 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать:

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому .

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором (рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. по двум сторонами и углу между ними.

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, по условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

либо все стороны равны (определение ромба),
либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки и Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках При помощи циркуля сравните длины отрезков Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Проведём через точки прямые параллельные ВС. по стороне и прилежащим к ней углам. У них по условию, как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что и как противоположные стороны параллелограммов

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Проведём прямую . Через точки проведём прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия , так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказать:

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия . Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: . По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно,

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Поэтому . КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КР, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку = 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, как вертикальные, внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и равнобедренный. Поэтому соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать:

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом . По свойству внешнего угла треугольника, — равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:

Из доказанного в первом случае следует, что измеряется половиной дуги AD, a — половиной дуги DC. Поэтому измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому , так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно,

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, (рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около (рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо:

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность.

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказать:

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует:

Тогда

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225).

Докажем, что . В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, . По свойству равнобокой трапеции,

Тогда и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника вписанного в окружность. Действительно,

Следовательно, четырёхугольник — вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Площади фигур в геометрии
Площади поверхностей геометрических тел
Вычисление площадей плоских фигур
Преобразование фигур в геометрии
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva/

http://www.evkova.org/chetyirehugolnik

Источник

Вписанные и описанные четырехугольники

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^{circ }.$

$angle A +angle C = 180^{circ }$

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a+c=b+d

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

$displaystyle S=frac{a+b+c+d}{2}cdot r=pr$

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

c+d=a+b

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $82^{circ}$ и $58^{circ}$ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ}$ . Пусть угол равен $82^{circ}$ . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен $58^{circ}$ , то угол равен $180^{circ}-58^{circ}=122^{circ}$ .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона равна , равна , а DC - 3x . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что x=4 , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d , и значит, периметр равен .
Получаем, что a+c=40 , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4. Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен $32^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна $180^{circ }.$

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-32^{circ }=148^{circ }.$

Ответ: 148.

Задача 5. Углы A, B, C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3 . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть

Сумма всех углов четырехугольника равна $360^{circ }.$

А сумма каждой пары противоположных углов равна $180^{circ }$ (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем $4x=180, x=45, y=90^{circ }.$

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника ABCD и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $107^{circ }$ и $39^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ }$ .

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A.$

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. $107^{circ }+39^{circ }=146^{circ }.$

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. $146^{circ }:2=73^{circ }.$

$angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-73^{circ }=107^{circ }.$

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и AD, градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу BD, равную сумме дуг и CD. Найдем дуги и CD.

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда или $36x=360, x=10^{circ }.$

Сумма дуг и составляет $x+2x=30^{circ }.$

Вписанный угол А равен половине дуги BD, т.е. $30^{circ }:2=15^{circ }.$

Ответ: 15.

Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна

Выразим сторону квадрата через его диагональ: $displaystyle a=frac{d}{sqrt{2}}=32.$

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен $60^{circ }$ , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями

Тогда боковые стороны

Проведем параллельно CD. Тогда треугольник ABO – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. $angle A = 60^{circ }.$ Поэтому AO=a.

BCDO – параллелограмм по построению, но BC=CD , поэтому BCDO – ромб, и OD=a.

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как

Радиус окружности равен половине диаметра: 18:2=9.

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому r = 8.

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона CB = 7, тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине AD, т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник ACK – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. BCKD – параллелограмм, и BC = KD ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ACK .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту MN, проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники OMC и OND – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а AB=2BC.

Решение:

Обозначим BC=x. Тогда AB=2x.

Обозначим также

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда y=x+z.

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это

Пусть

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из $triangle AOB: 4x^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Из $triangle BOC: x^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Из $triangle COD: z^{2}=c^{2}+d^{2}.$

Из $triangle AOD: y^{2}=a^{2}+d^{2}.$

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив $x^{2}+y^{2}$ как $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},$ получим: $4x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Кроме того, y=x+z. Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

$begin{cases}3x^{2}+z^{2}=y^{2} \y=x+zend{cases}$

находим:

Значит,

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы ABC и ADC равны.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма углов ABC и ADC равна 180 градусов. Мы получили, что углы ABC и ADC – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, R=5 , тогда AC=10.

опирается на диаметр.

– прямоугольный, – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

$100=x^{2}+4x^{2}.$

Отсюда $x^{2}=20.$

$S_{ABCD}=2cdot S_{triangle ABC}=2x^{2}=40.$

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Содержание:

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника.

Признаки параллелограмма

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом.

Доказательство теоремы 1.

Дано: ромб.

Докажите, что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
2. Все стороны конгруэнтны.
3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
2. Все углы прямые.
3. Все стороны конгруэнтны.
4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

План доказательства теоремы 2

Дано: равнобедренная трапеция.

Докажите:

Средняя линия треугольника

Доказательство: через точку проведем параллельную прямую к прямой

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки и и точка которая является серединой отрезка

то а отсюда следует, что

3) Координаты середины отрезка с концами и точки находятся так:

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

различать рациональные и иррациональные числа;
упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
решать задания на извлечение квадратного корня;
основам теоремы Пифагора;
решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Обратная теорема:

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25,… также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа являются Пифагоровыми тройками, то и числа также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

(рис. 1).

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: =40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В + CD (по неравенству треугольника). Тогда . Аналогично АВ< ВС+ CD + AD, BC

Может ли четырёхугольник иметь стороны: 1 см, 2 см, 3 см, 6 см? Не может, так как наибольшая сторона равна сумме трёх других.

Для того чтобы определить, можно ли из четырёх отрезков а, Ь, с, d построить четырёхугольник, проверьте, является ли наибольший из четырёх отрезков меньше, чем сумма трёх других.

Начертите произвольный четырёхугольник и измерьте транспортиром его углы. Чему равна их сумма?

Теорема (о сумме углов четырёхугольника).

Сумма углов четырёхугольника равна 360е.

Дано: четырёхугольник ABCD (рис. 8).

Доказать;

Доказательство. Диагональ АС четырёхугольника ABCD разделяет его на два треугольника ABC и ACD. Сумма углов четырёхугольника равна сумме всех углов этих треугольников, то есть

Могут ли в четырёхугольнике все углы быть острыми? Нет, поскольку тогда сумма этих углов будет меньше 360°.

Угол, смежный с углом четырёхугольника, называют внешним углом четырёхугольника.

На рисунке 9 — внешний угол четырёхугольника при вершине D.

1. У вас может возникнуть вопрос: Чем отличаются выпуклые и невыпуклые четырёхугольники?

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 10) пересекаются, и каждая из них разделяет его на два треугольника. А диагонали невыпуклого четырёхугольника MNKP (рис. 11) не пересекаются, и только одна из них разбивает его на два треугольника.

Каждый угол выпуклого четырёхугольника меньше 180°. Если четырёхугольник невыпуклый, то один из его углов больше 180°.

Понятие «внешний угол» относится только к выпуклым четырёхугольникам. Посмотрите на рисунок 11. В невыпуклом четырёхугольнике MNKP угол N больше 180°. А понятие внешнего угла на углы, которые больше 180е, не распространяется, ведь согласно определению — это угол, смежный с углом четырёхугольника.

2. В отличие от треугольника четырёхугольник — фигура нежёсткая. Если взять четыре планки и соединить их шарнирами, то форму полученного четырёхугольника можно изменять (рис. 12).

3. Термин «диагональ» происходит от греческого слова diagonios, что означает «идущий от угла к углу». Этот термин стал общепринятым лишь в XVIII веке.

Параллелограмм и его свойства

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольнике ABCD (рис. 28) AD || ВС и АВ || DC.

Четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одной стороны к параллельной ей стороне (либо её продолжению).

На рисунке 29 отрезки ВМ и BN — высоты параллелограмма ABCD.

Теорема (свойство сторон и углов параллелограмма).

В параллелограмме: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 30).

Доказать:

Доказательство. Проведём диагональ AC. по стороне и прилежащим к ней углам. При этом АС — общая сторона, — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC, также, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых >45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Решение:

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.

Признаки параллелограмма

Теорема (признак параллелограмма).

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Решение:

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
либо противоположные стороны попарно равны (признак),
либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

противоположные стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Доказать: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Следовательно, : 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать:

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

либо все стороны равны (определение ромба),
либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Таблица 1 1

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Дано:

Доказать:

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия , так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Доказать:

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: . По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно,

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Поэтому . КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать:

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: — вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать:

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда:

Следствие 1.

Следствие 2.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Вписанные и описанные четырёхугольники

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Доказать:

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует:

Тогда

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225).

Поэтому, . По свойству равнобокой трапеции,

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ےM + ےK = 180°, либо ےN + ےP= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

Следовательно, четырёхугольник — вписанный в окружность.

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ےABC + ےADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

Пример №10

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ےACM+ ےADM= 180°.

Тогда ےMAD= ےMCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Площади фигур в геометрии
Площади поверхностей геометрических тел
Вычисление площадей плоских фигур
Преобразование фигур в геометрии
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Источник

Свойства вписанных и описанных четыехугольников

Содержание:

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Вписанный в окружность четырехугольник является таким четырехугольником, каждая из вершин которого принадлежит описанной около него окружности.

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке

Источник: www.treugolniki.ru

Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Теорема 1

Какой-либо четырехугольник может быть вписан в некую окружность при условии, что его противолежащие углы в сумме дают 180°.

Теорема 2

В том случае, когда противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°, данный четырехугольник может быть вписан в окружность.

противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°

Источник: www.treugolniki.ru

На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:

(left. begin{array}{l} angle A + angle C = {180^o}\ angle B + angle D = {180^o} end{array} right} Leftrightarrow ABCD) треугольник вписан в окружность.

Следствие 1

Не каждый параллелограмм допустимо вписывать в окружность, лишь прямоугольники — в том числе квадраты.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:

(R = frac{1}{2}BD)

Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:

(R = frac{1}{2}sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.)

Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:

(R = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}})

Следствие 2

Допустимо вписать в окружность лишь такую трапецию, которая является равнобедренной.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:

ABC, ABD, ACD или BCD.

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Описанным четырехугольником называют такую геометрическую фигуру с четырьмя углами, каждая из сторон которой является касательной к окружности. Данная окружность считается вписанной в рассматриваемый четырехугольник.

Теорема 3

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность при условии, что его противолежащие стороны в сумме равны.

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что в данном случае соблюдено условие:

AB+CD=BC+AD

На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.

Теорема 4

Центральная точка окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы данной геометрической фигуры.

Центральная точка окружности

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:

В результате:

(angle BAO = angle DAO)

(angle ABO = angle CBO) и так далее.

Теорема 5

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника, расположены на сторонах с началом, совпадающим с одной вершиной, и находятся на одинаковом удалении от данной вершины.

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника

Источник: www.treugolniki.ru

Рассмотрим рисунок. Заметим, что:

BM=BK;

CK=CF;

DF=DN.

Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.

Записанные равенства вытекают из того факта

Источник: www.treugolniki.ru

Запишем следующие соотношения:

(OM bot AB);

(OK bot BC);

(OF bot CD);

(ON bot AD).

Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:

(S = p cdot r)

Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.

Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.

Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:

p=AD+BC

p=AB+CD.

Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:

({S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r;)

({S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.)

В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

(r = frac{S}{p}.)

В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};)

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.)

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Теорема 6

Если четырехугольник вписан в некую окружность, то его противолежащие углы в сумме дают .

четырехугольник вписан в некую окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:

(angle A+angle C=180^o;)

(angle B+angle D=180^o.)

Представим доказательства. По условию:

(angle A) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;

(angle C) — угол, который опирается на дугу DAB.

Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:

(angle A = frac{1}{2} cup BCD,)

(angle C = frac{1}{2} cup DAB.)

В результате:

(angle A + angle C = frac{1}{2} cup BCD + frac{1}{2} cup DAB = frac{1}{2}( cup BCD + cup DAB) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Аналогичным образом запишем, что:

(angle B + angle D = frac{1}{2}( cup CDA + cup ABC) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Теорема доказана.

Теорема 7

Если имеется такой четырехугольник, в котором противолежащие углы в сумме составляют (180^o), то около него можно описать окружность.

Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.

Сумма его противолежащих углов равна: (angle B+angle D=180^o).

Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.

В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».

Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.

В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют (180^o):

(angle B+angle E = 180^o.)

Согласно данным из условия задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Таким образом:

(angle D=angle E.)

С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:

(angle ADC=angle DEC+angle DCE.)

В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.

угол D не равен углу E

Источник: www.treugolniki.ru

Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:

(angle B+angle E=180^o)

Согласно условию задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Тогда:

(angle D=angle E.)

Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.

Таким образом: (angle AEC=angle EDC+angle DCE.)

В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.

Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.

Теорема 7

Около четырехугольника допустимо описать окружность лишь в том случае, когда его противолежащие углы в сумме составляют 180 градусов.

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:

(R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.)

Примечание

Формулу радиуса окружности, которая описана около четырехугольника, ввел индийский математик Ватассери Парамешвара в XV веке.

Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:

(S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.)

В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:

(p={tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).)

С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:

(4SR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.)

Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.

Источник

«Описанная и вписанная окружности четырехугольника»

Конспект урока по теме: описанная и вписанная окружности четырехугольника, вписанный четырехугольник, описанный четырехугольник, описанная окружность четырехугольника и ее свойства, вписанная окружность четырехугольника и ее свойства.

Описанная окружность четырехугольника.
Вписанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника

Свойства описанной окружности четырехугольника:
1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
2. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Признак вписанного четырехугольника:
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Вписанная окружность четырехугольника.
Описанный четырехугольник

Описанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов.

Свойства и признаки описанного четырехугольника

Свойства вписанной окружности четырехугольника:
1. Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
2. Точка пересечения диагоналей описанного с четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон данного четырехугольника со вписанной окружностью.

Признак описанного четырехугольника:
Если в четырехугольнике сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в четырехугольник можно вписать окружность.

Это конспект по теме «Описанная и вписанная окружности четырехугольника». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту:
Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Источник