Как найти углы под которыми пересекаются кривые - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле

$displaystyle tg: varphi =frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},; ; (2)$

где $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения $displaystyle P(x_{0},y_{0})$ ,
т. е. частные значения в точке $displaystyle x_{0}$ производных от по из уравнений этих кривых:

$displaystyle k_{1}=tg: alpha _{1}=left ( frac{dy_{1}}{dx} right )_{x=x_{0}};; k_{2}=tg: alpha _{2}=left ( frac{dy_{2}}{dx} right )_{x=x_{0}}.$

Рис.1

Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая displaystyle x+y-4=0 и парабола $displaystyle 2y=8-x^{2}$ ;
2) эллипс $displaystyle x^{2}+4y^{2}=4$ и парабола $displaystyle 4y=4-5x^{2}$ ;
3) синусоида displaystyle y=sin x и косинусоида displaystyle y=cos x .
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: A(0;4) и B(2;2) , рис.2.

Рис.2

Далее находим производную от по из уравнения параболы: displaystyle 2y'=-2x,: y'=-x и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и , как частные значения этой производной:

$displaystyle y'_{A}=k_{A}=0;; y'_{B}=k_{B}=-2.$

Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим

$displaystyle textrm{tg}: A=1,: A=45^{circ};; textrm{tg}: B=frac{-1+2}{1+2}=frac{1}{3},; Bapprox 18,5^{circ}.$

2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: A(1,2;-0,8), B(0;1) и C(-1,2;-0,8) рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от по из их уравнений

$displaystyle k_{1}=-frac{x}{4y};; k_{2}=-frac{5}{2}x.$

Рис.3

Подставляя координаты точки , получим $displaystyle k_{1}=frac{3}{8}$ и $displaystyle k_{2}=-3$ . Следовательно, в точке :

$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{frac{3}{8}+3}{1-frac{9}{8}}=-27;; varphi approx 92^{circ}.$

Под таким же углом кривые пересекаются и в точке вследствие их симметричности относительно оси .
В точке имеем: $displaystyle k_{1}=k_{2}=0$ , следовательно, в точке кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением displaystyle sin x=cos x , решая которое, получим

$displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n; (n=0,pm 1,pm 2,...).$

Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде: $displaystyle k_{1}=cos x;: k_{2}=-sin x.$

Рис.4

Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{cos x+sin x}{1-cos xsin x}=pm frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}}{1-frac{1}{2}}=pm 2sqrt{2}.$
Положительному знаку соответствует острый угол $displaystyle varphi approx 70,5^{circ}$ , отрицательному — тупой, смежный с ним угол $displaystyle varphi_{1} approx 109,5^{circ}$ .

Источник

Углом
между двумя кривыми
у
= f₁(x)
и у
= f₂(x)
в точке их пересечения М₀(х₀,
у₀)
называется угол между касательными к
этим кривым в точке М₀.
Этот угол определяется по формуле

=

.

Пример.
Найти угол между параболами

у
= 8 – х²
и у
= х².

□ Для
нахождения координат точек пересечения
заданных кривых решим систему уравнений

В
результате получим А(2;
4) и В(−2;
4). Продифференцируем уравнения парабол:

= −2х,

= 2х.
Найдем значения

для точки А(2;
4):

= −4,

= 4. Следовательно,

=

.

Аналогично
определяется угол между кривыми в точке
В(−2;
4):

.
■

§ 21. Формула тейлора

Теорема.
Пусть функция f(x)
имеет в точке а
и некоторой ее окрестности производные
порядка п
+ 1. Пусть х
– любое значение аргумента из указанной
окрестности, х
≠ а.
Тогда между точками а
и х
найдется точка

такая, что справедлива формула:

f(x)
= f(а)
+

(х
– а)
+
(х
– а)²+
…+

(х
– а)^п+

+
(х
– а)^п⁺¹.

Эту
формулу называют формулой
Тейлора.

Выражение

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹

называют
остаточным
членом

формулы Тейлора.

Запишем остаточный
член в другом виде:

так
как

(а,
х),
то найдется число

,
0 <

< 1, что

= а
+

(х
– а)
и тогда

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹,
0 <

< 1.

Эта
форма остаточного члена наиболее
употребительна в приложениях.

Если
в формуле Тейлора а
= 0, то получим формулу
Маклорена:

f(x)
= f(0)
+

х
+

х²+
… +

х^п+
R_n₊₁(x)

с
остаточным членом

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Разложение
некоторых элементарных функций по
формуле Маклорена

1.
f(x)
= е^х.

Так как

f(x)
=

= … = f
^п⁺¹(x)
= е^х,

f(0)
=

= … = f
^п⁺¹(0)
= 1,

то
формула Маклорена имеет вид

е^х
= 1 +

+…+

+ R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Аналогично
можно разложить по формуле Маклорена
следующие функции:

2.
f(x)
=

= х
−

−

+
…+ (−1)^т⁺¹

+ R₂_т(x),

где
R₂_т(x)
= (−1)^т
·
,
0 <

< 1.

3.
f(x)
=

= 1
−

−

+
…+ (−1)^т

+ R₂_т₊₁(x),

где
R₂_т₊₁(x)
= (−1)^т⁺¹
·
,
0 <

< 1.

4.
f(x)
= (1 + х)^т.

(1
+ х)^т
=1+
х+
х²+

х³+…+

+

х^п
+R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)=

х^п⁺¹(1
+

)^т^—^п-¹,
0 <

< 1.

Пример.
Вычислить число е.

□ Запишем
разложение е^х
по формуле Маклорена:

е^х
= 1+

+…+

+
х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
заменить функцию е^х
ее многочленом Тейлора степени п
(отбросим остаточный член), то получим
приближенное равенство

е^х

1 +

+…+

,
(1)

абсолютная
погрешность которого

| R_n₊₁(x)
| =

| х
|^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
рассматривать функцию е^х
для −1 ≤ х
≤ 1, то

|
R_n₊₁(x)
| ≤

<

.

Полагая
в (1) х
= 1, получаем приближенное значение числа

е
≈ 1+

+ …+

.

При
этом | R_n₊₁(x)
| <

Если
требуется вычислить значение е
с точностью

= 0,001, то число п
определяется из неравенства

< 0,001, или (п
+ 1)! > 3000,

которое
выполняется при п
= 6. Следовательно,

е
≈ 1+

+ …+

.

Вычисляя
с четырьмя знаками после запятой, получим

е
≈ 2,7180.

Три
знака после запятой гарантированы.
■

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Март 4, 2014 by Вячеслав Моргун

Для того, чтобы ответить на вопрос: «под каким углом пересекаются кривые»,
найдем
1. координаты точек пересечения.
2. уравнения касательных к кривым в точках пересечения
3. угол между касательными
Решение:
1. найдем координаты точек пересечения, для этого решим систему уравнений $$ begin{cases}x^2 + y ^2 = 5\ y^2 =4xend{cases} => begin{cases}x^2 + 4x -5= 0\ y^2 =4xend{cases} => begin{cases} x_1 = -5, x_2 =1\ y^2 =4xend{cases} => $$ Рассмотрим ОДЗ кривой (y^2 = 4x), т.к. (y^2 > 0 ), то (x > 0 ), т.е. корень (x_1 = -5) не подходит из -за ОДЗ кривой (y^2 = 4x), получаем $$begin{cases} x =1\ y_1 = -2; quad y_2 = 2 end{cases} => $$
получили две точки пересечения с координатами (1;-2) и (1;2).

2. найдем уравнения касательных в точках пересечения. Уравнение касательной (y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)).
Для уравнений касательных найдем производную функций по переменной (x)
((x^2 + y ^2 — 5)’ = 0 => 2x+2yy’ =0 => y’ = -frac{x}{y}) — производная уравнения окружности
((y ^2 — 4x)’ = 0 => 2yy’ =4 => y’ = frac{2}{y}) — производная параболы
Запишем уравнения касательных для точек пересечения
((1;2)) — касательная к параболе в точке( y = 2 + frac{2}{2}(x-1) => y = 1+x) => (k_2 = 1)
((1;2)) — касательная к окружности в точке ( y = 2 -frac{1}{2}(x-1) => y = frac{5}{2} — frac{1}{2}x) => (k_1 = -frac{1}{2})
((1;-2)) — касательная к параболе в точке( y = -2 + frac{2}{-2}(x-1) => y = -1-x) => (k_2 = -1)
((1;-2)) — касательная к окружности в точке ( y = -2 -frac{1}{-2}(x-1) => y = -frac{5}{2} + frac{1}{2}x) => (k_1 = frac{1}{2})

3. Угол между касательными находится по формуле ( tg(x) = frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1})
для точки ((1;2)) — ( tg(x) = |frac{1+frac{1}{2}}{1-1*frac{1}{2}}| = 3 => x approx 77^0 )
для точки ((1;-2)) — ( tg(x) = |frac{-1-frac{1}{2}}{1-1*frac{1}{2}}| = 3 => x approx 77^0 )

Ответ: угол пересечения ( x approx 77^0 )

4. Графики кривых и касательных

Источник

Как найти угол под которым пересекаются кривые

Читайте также:

II. Операционная стратегия на примере отдельного предприятия.
PEST-анализ и пример его использования
SWOT-анализ и пример его использования
VI. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ
А Примерный перечень вопросов, рассматриваемых на практических занятиях
А. Работа переписчиков на Руси. Причины и примеры порчи текста в древнеславянских рукописях библейских книг.
А.2. Пример описания объекта
Анализ примера
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 1 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 2 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 3 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 4 страница

Решение.Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений

Отсюда имеем , . Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и .Соответственно имеем , . Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы ,

Пример 3.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

, .

Решение. Находим производную . Далее находим значение из уравнения . Имеем, .Значения функции при есть и . Отсюда имеем, и точки заданной линии в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой . Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим

-уравнение касательной в точке ,

-уравнение касательной в точке .

Контрольные вопросы.

1.Геометрический смысл производной.

2.Касательная и нормаль к кривой.

3.Угол между двумя кривыми.

4.Другие приложения производной.

Задания.

1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола

, .

2. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

1) , ; 2) , ; 3) , .

3.Найти угол между кривой и прямой

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 3162 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали — по формуле По условию, .

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

Подставим полученные решения в равенство

Найдем производную функции, заданной параметрически .

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Таким образом, кривые пересекаются в точках .

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

производный дифференцирование уравнение планиметрический

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

Требуется найти максимум функции .

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Определим критические точки: .

Так, — точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа — отрицательна.

Очевидно, что — точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа — положительна.

Так, — точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что

В результате площадь записывается как функция:

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

Источник

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Значение производной $f'(x_0)$ функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k=tgvarphi$ касательной $TT’$ к графику этой функции, проведенной через точку $M_0(x_0, y_0),$ где $y_0=f(x_0)$ (геометрический смысл производной).

Прямая $NN’,$ проходящая через точку касания $M_0$ перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Уравнение нормали $$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$$Уравнение касательной $TT’$ к графику функции $y=f(x)$ в его точке $M_0(x_0, y_0)$ имеет вид $$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$

Углом $omega$ между кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ в их общей точке $M_0(x_0, y_0)$ называется угол между касательными к этим кривым в точке $M_0.$ Его можно вычислить по формуле $$tg,omega=frac{f_2′(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)f’_2(x_0)}.$$

Примеры.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.235. $y=x^2-5x+4,$ $x_0=-1.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали — по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

По условию, $x_0=-1.$

$y_0=y(x_0)=(-1)^2-5cdot(-1)+4=1+5+4=10.$

$y'(x)=2x-5Rightarrow y'(x_0)=y'(-1)=2cdot (-1)-5=-2-5=-7.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-10=-7(x+1)Rightarrow 7x+y-3=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x+1)-7(y-10)=0Rightarrow x-7y+71=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x+y-3=0;$ уравнение нормали: $ x-7y+71=0.$

5.237. $y=sqrt x,$ $x_0=4.$

Решение.

Уравнение касательной будем искать по формуле $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0);$ уравнение нормали — по формуле $(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0.$

По условию, $x_0=4.$

$y_0=y(x_0)=sqrt 4=2.$

$y'(x)=frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt x}Rightarrow y'(x_0)=y'(4)=frac{1}{2sqrt 4}=frac{1}{4}.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-2=frac{1}{4}(x-4)Rightarrow 4(y-2)=x-4Rightarrow 4y-8=x-4Rightarrow x-4y+4=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-4)+frac{1}{4}(y-2)=0Rightarrow 4(x-4)+(y-2)=0Rightarrow 4x+y-18=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-4y+4=0;$ уравнение нормали: $4x+y-18=0.$

5.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке $M_0(2, 2)$ к кривой $x=frac{1+t}{t^3},$ $y=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t},,, tneq 0.$

Решение.

Найдем значение $t_0,$ подставляя координаты точки $M_0$ в уравнение кривой: $2=frac{1+t}{t^3},$ $2=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}.$

$left{begin{array}{rcl} 2=frac{1+t}{t^3},\ 2=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t},end{array}right.Rightarrow$ $2=frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}$

Решим уравнение

$frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}$

$2(1+t)=3t+t^2Rightarrow$

$t^2+t-2=0Rightarrow t_1=1, t_2=-2.$

Подставим полученные решения в равенство $frac{1+t}{t^3}=frac{3}{2t^2}+frac{1}{2t}:$

$t_1=1: frac{1+1}{1}=frac{3}{2}+frac{1}{2}=2$

$t_2=-2: frac{1-2}{-8}=frac{3}{8}-frac{1}{4}=frac{1}{8}neq 2$ — не удовлетворяет нашей системе.

Найдем производную функции, заданной параметрически $y’_x.$

$y’_t=left(frac{3}{2}t^{-2}+frac{1}{2}t^{-1}right)’=frac{3}{2}cdot (-2)t^{-3}+frac{1}{2}cdot (-1)t^{-2}=-3t^{-3}-frac{1}{2}t^{-2}$

$y’_t|_{t=1}=-3-1/2=-3,5;$

$x’_t=left(frac{1+t}{t^3}right)’=frac{(1+t)’t^3-(1+t)(t^3)’}{t^6}=frac{t^3-(1+t)3t^2}{t^6}=frac{t^3-3t^2-3t^3}{t^6}=frac{-3t^2-2t^3}{t^6}.$

$x’_t|_{t=1}=-3-2=-5;$

$y’_x=frac{y’_t}{x_t}.$

$y’_x|_{t=1}=frac{-3,5}{-5}=frac{7}{10}.$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)Rightarrow$ $y-2=frac{7}{10}(x-2)Rightarrow 10(y-2)=7(x-2)Rightarrow 10y-20=7x-14Rightarrow$ $7x-10y+6=0.$

Теперь находим уравнение нормали:

$(x-x_0)+f'(x_0)(y-y_0)=0Rightarrow$ $(x-2)+frac{7}{10}(y-2)=0Rightarrow 10(x-2)+7(y-2)=0Rightarrow 10x+7y-34=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $7x-10y+6=0;$ уравнение нормали: $10x+7y-34=0.$

Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

5.254. $y=x^2$ и $y=x^3.$

Решение.

Угол между кривыми находим по формуле $$tg,omega=frac{f_2′(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)f’_2(x_0)}.$$

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

$left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ y=x^3,end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ x^2=x^3,end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{rcl} y=x^2,\ x_1=0\x_2=1,end{array}right.$ Таким образом, кривые пересекаются в точках $M_1(0, 0)$ и $M_2(1, 1).$

Далее найдем значения производных заданых функций в точках пересечения.

$f_1(x)=x^2Rightarrow f_1′(x)=2x$

$f_2(x)=x^3Rightarrow f_2′(x)=3x^2$

$f_1′(0)=0;$

$f_2′(0)=0;$

$f_1′(1)=2;$

$f_2′(1)=3.$

Подставляем найденные значения, в формулу нахождения угла:

$$tg,omega_1=frac{f_2′(0)-f’_1(0)}{1+f’_1(0)f’_2(0)}=frac{0-0}{1+0}=0.$$

Следовательно, $omega_1=0.$

$$tg,omega_2=frac{f_2′(1)-f’_1(1)}{1+f’_1(1)f’_2(1)}=frac{3-2}{1+2cdot 3}=frac{1}{7}.$$

Следовательно, $omega_2=arctgfrac{1}{7}.$

Ответ: В точке $M_1(0, 0)$ угол равен 0. (т.е. касательные совпадают), в точке $M_2(1, 1)$ угол равен $arctgfrac{1}{7}.$

Домашнее задание.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $y=f(x)$ в данной точке, если:

5.236. $y=x^3+2x^2-4x-3,$ $x_0=-2.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-5=0;$ уравнение нормали: $x+2=0.$

5.238. $y=tg 2x,,,, x_0=0.$

Ответ: Уравнение касательной: $y-2x=0;$ уравнение нормали: $2y+x=0.$

5.239. $y=ln x,,,, x_0=1.$

Ответ: Уравнение касательной: $x-y-1=0;$ уравнение нормали: $x+y-1=0.$

5.242. Написать уравнения касательных к кривой $$x=tcos t, ,,, y=tsin t,,,, tin(-infty,,, +infty),$$ в начале координат и в точке $t=pi/4.$

Ответ: $y=0,$ $(pi+4)x+(pi-4)y-pi^2frac{sqrt 2}{4}=0$

5.244. Написать уравнения касательной к кривой $$x^5+y^5-2xy=0 в точке $M_0(1, 1).$

Ответ: $ x+y-2=0.$

Найти углы,под которыми пересекаются заданные кривые:

5.255. $y=(x-2)^2$ и $y=4x-x^2+4.$

Ответ: $arctgfrac{8}{15}.$

5.256. $y=sin x$ и $y=cos x,,, xin[0, 2pi].$

Ответ: $arctg2sqrt 2.$

5.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии $y=e^{2x}+x^2,$ проведенной в точке с абсциссой $x=0.$

Ответ: $frac{2}{sqrt 5}.$

Источник