Как найти углы прямоугольника 8 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.

1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.

d — диагональ прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла

Формула диагонали через стороны, (d):

Формулы диагонали через сторону и угол, (d):

Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):

2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.

d — диагонали прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы между диагоналями

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):

Подробности

Опубликовано: 27 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Прямоугольник.

Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.

Определение. Прямоугольником
называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

— прямоугольник

Поскольку прямоугольник – это
параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме
того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I).
У прямоугольника диагонали равны.

Дано: – прямоугольник,

и – диагонали.

Доказать:

Доказательство.

1.
Рассмотрим и .

по признаку равенства
прямоугольных треугольников (или по I
признаку равенства треугольников) все соответствующие стороны
и углы у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II).
У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных
прямоугольных треугольника.

Дано: – прямоугольник,

– диагональ.

Доказать:

Доказательство.

Рассмотрим
и .

по III
признаку равенства треугольников. по определению
прямоугольника. Значит, треугольники и – равные и прямоугольные,
ч.т.д.

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. У
прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.

2. У
прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

3. У
прямоугольника диагонали равны.

4. У
прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных
треугольника.

5. Стороны
прямоугольника являются его высотами.

Выясним теперь, по
каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является
прямоугольником.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I).
Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой
четырёхугольник является прямоугольником.

Дано: – четырёхугольник,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
четырёхугольник будет прямоугольником, если мы докажем, что четвёртый угол
также равен .

1.
Так как , то . Так как , то .

2. по признаку параллельности прямых.

3.
по признаку параллельности прямых.

4.
Значит, – параллелограмм
(по определению). По свойству углов параллелограмма, .

5.
Итак, – параллелограмм,
у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является
прямоугольником, ч.т.д.

ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК II). Если
у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм является
прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

– диагонали.

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы равны
.

1. Рассмотрим и .

по III
признаку равенства прямоугольных треугольников, следовательно, .

2. Так как – параллелограмм, то у него
стороны попарно параллельны, т.е. . и – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, . Учитывая доказанное
равенство этих углов, получаем, что .

3. По свойству углов параллелограмма, и .

4. Итак, у параллелограмма все углы прямые, значит, он
является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА
(ПРИЗНАК III). Если
у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм является
прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный
параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы
равны .

1. Т.к.
– параллелограмм, то по
определению, т.е. и .

По свойству углов параллелограмма, .

2. и – внутренние односторонние
при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

3. Т.к. , то .

4. Итак, , значит, по определению,
параллелограмм является прямоугольником,
ч.т.д.

1. Периметр прямоугольника
равен см, а одна из его сторон
меньше другой на см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

2. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Меньшая сторона
прямоугольника равна см. Найдите диагональ
прямоугольника.

3. В прямоугольнике
перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам,
равны соответственно см и см. Найдите периметр
прямоугольника.

В прямоугольнике диагональ составляет со стороной угол, равный . Найдите больший угол между
диагоналями прямоугольника.

5. В прямоугольнике один
из углов, образованных диагоналями, равен . Диагонали прямоугольника
равны см. Найдите меньшую сторону
прямоугольника.

6. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Точка – середина стороны . Найдите .

7. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Отрезок является высотой треугольника
. Найдите .

8. В параллелограмме с острым углом диагонали пересекаются в
точке . На отрезках и взяты точки и соответственно, . Докажите, что
четырёхугольник является прямоугольником.

9. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей, и – высоты треугольников и соответственно, см. Найдите .

10. В четырёхугольнике диагонали пересекаются в
точке . Найдите .

11. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей, и – перпендикуляры, проведённые
из вершин и к прямой . Известно, что . Найдите .

12. В четырёхугольнике диагонали пересекаются в
точке , . Найдите .

13. В прямоугольнике точки и – середины сторон и соответственно. На прямой взята точка , на прямой – точка . Известно, что . Найдите отношение сторон .

14. На основании равнобедренного треугольника взята точка , а на сторонах и – соответственно точки и , . Найдите .

15. В прямоугольнике – точка пересечения
диагоналей. Точки и – середины сторон и соответственно. Точка делит отрезок в отношении , считая от точки Найдите отношение .

16. Некая прямая,
параллельная основанию равнобедренного треугольника , пересекает стороны и в отношении , считая от точки . Найдите .

17. На диагонали прямоугольника взята точка . Известно, что . Докажите, что .

18. Дан параллелограмм с острым углом . На отрезке , как на диаметре построена
окружность, которая пересекает луч в точке , лежащей вне параллелограмма.
. Найдите расстояние между
прямыми и , если см.

19. На отрезках и в прямоугольнике взяты точки и соответственно, . Докажите, что .

20. Дан параллелограмм с тупым углом . На диагонали , как на диаметре, построена
окружность, пересекающая отрезок в точке – перпендикуляр к прямой . Найдите , если см.

21. Биссектриса одного из
углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины.
Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны
прямоугольника равна см.

22. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите сумму расстояний
от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.

23. Постройте
прямоугольник:

а)
по двум сторонам, имеющим общую вершину;

б)
по стороне и диагонали;

в)
по диагонали и углу между диагоналями;

г)
по диагонали и сумме прилежащих сторон.

24. Диагональ прямоугольника равна см. Найдите медиану
треугольника , проведённую к его большей
стороне.

25. Найдите острый угол
между диагоналями прямоугольника, если одна из них делит угол при вершине
прямоугольника в отношении .

26. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите стороны
прямоугольника, если одна из них в раз больше другой.

27. Периметр прямоугольника
равен см. Найдите его стороны, если
одна из них на см меньше другой.

28. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите угол между
диагоналями, если .

29. В прямоугольнике проведена диагональ . Известно, что в 2 раза больше, чем . Чему равны эти углы?

30. Одна из сторон
прямоугольника на см больше другой. Найдите
стороны прямоугольника, если его периметр равен см.

31. Меньшая сторона
прямоугольника см, угол между диагоналями
равен . Найдите диагонали
прямоугольника.

32. Дан прямоугольник – точка пересечения его
диагоналей. Докажите, что и – равные равнобедренные
треугольники.

33. Найдите диагонали
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен см.

34. Докажите, что отрезок,
соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны,
перпендикулярен этой стороне.

35. В прямоугольнике диагональ в раз больше стороны . Периметр треугольника равен см ( – точка пересечения
диагоналей). Найдите длину диагонали .

36. Из точки , взятой на стороне прямоугольника , опущен перпендикуляр на сторону . Докажите, что
четырёхугольник – прямоугольник.

37. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , его диагональ равна см. Найдите длины отрезков и
.

38. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Докажите, что .

39. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметры треугольников
и равны см и см соответственно.

40. Дан прямоугольник – точка пересечения его
диагоналей. Найдите периметр треугольника , если

41. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

42. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

43. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр
треугольника , если .

44. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , сторона равна см, диагональ равна см. Определите вид
треугольника (ответ обоснуйте) и найдите
его периметр.

45. В прямоугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке . Докажите, что треугольник – равнобедренный.

46. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении . Найдите углы треугольника ( – точка пересечения
диагоналей).

47. Найдите диагональ
прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из
треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен см.

48.

В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите периметр
прямоугольника, если см, см.

49. Расстояния от точки
пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны см и см. Найдите большую сторону
данного прямоугольника.

50. Диагонали
прямоугольника пересекаются под углом . Найдите угол между
диагональю прямоугольника и его меньшей стороной.

51. В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите периметр
треугольника , если расстояние от точки пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны равно см.

52. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , образуя тупой угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны .

53.

В прямоугольном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Периметр
треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр
треугольника .

54. На стороне равностороннего треугольника взята точка так, что сумма расстояний от
неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

55. Периметр прямоугольника
равен см, а его диагональ равна см. Найдите периметр
треугольника .

56.

Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы и углов и делят сторону на три отрезка, длина каждого
из которых равна см.

57. Точка пересечения
диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях см и см. Найдите меньшую сторону
данного прямоугольника.

58. В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите острый угол между
диагоналями прямоугольника.

59. Меньшая сторона
прямоугольника равна см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину диагонали
прямоугольника.

60. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона больше стороны .

61.

В прямоугольнике через точку проведены прямая , параллельная сторонам и , и прямая , параллельная сторонами и . Периметр прямоугольника равен см, а периметр прямоугольника
равен см. Найдите периметр
прямоугольника .

62. На продолжении стороны равностороннего треугольника взята точка так, что разность расстояний
от неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

63. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр
треугольника , если диагональ
прямоугольника равна см.

64.

65. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна см. Найдите диагональ данного
прямоугольника.

66. Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон.
Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

67. Диагональ
прямоугольника равна см. Угол между его
диагоналями равен . Вычислите длину меньшей
стороны прямоугольника.

68. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке , образуя острый угол . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны .

69.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точки и , лежащие на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катету , и прямые и , параллельные катету . Сравните периметры
четырёхугольников и .

70. На основании равнобедренного треугольника взята точка так, что сумма расстояний от
неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

71. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а сторона равна см. Найдите периметр
треугольника .

72.

Биссектрисы углов и прямоугольника пересекаются на стороне в точке . Найдите периметр прямоугольника,
если длина равна см.

73. Сумма расстояний от
точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна см. Найдите периметр данного
прямоугольника.

74. Угол между диагоналями
прямоугольника равен . Найдите угол .

75. В прямоугольнике сторона в два раза меньше диагонали . Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
прямоугольника до стороны , если периметр треугольника равен см.

76. Диагонали
прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние
больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона меньше стороны .

77.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе,
проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Найдите
периметр прямоугольника , если катет треугольника равен см.

78. На
продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка так, что разность расстояний
от неё до сторон и равна см. Найдите высоту
треугольника, проведённую из вершины .

79. В
прямоугольнике проведена диагональ . Перпендикуляр к диагонали составляет со стороной угол, равный и отсекает от диагонали
отрезок , равный см. Найдите периметр
прямоугольника, если сторона см.

80. Дан прямоугольник со стороной . К диагонали проведён перпендикуляр . Найдите периметр
прямоугольника, если диагональ составляет со стороной угол, равный .

81.

В прямоугольнике – точка пересечения его
диагоналей. Из точки к серединам сторон и проведены отрезки и соответственно. Найдите
периметр прямоугольника.

82.

Биссектриса угла прямоугольника отсекает от стороны отрезки и . Найдите периметр
прямоугольника.

83. В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите .

84. В прямоугольнике диагональ составляет с его меньшей
стороной угол . Найдите углы и .

85. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Найдите и меньший угол между
диагоналями, если известно, что .

86.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Меньший угол между
диагоналями равен . Найдите углы треугольника , если известно, что .

87. В прямоугольнике диагонали пересекаются в
точке . Известно, что . Найдите эти углы.

88. В прямоугольнике . Найдите стороны
прямоугольника, если его периметр равен .

89. В прямоугольнике из угла проведён луч, который
пересекает сторону в точке так, что и . Найдите стороны прямоугольника,
если известно, что периметр его равен .

90. Диагональ прямоугольника составляет со стороной угол, равный . Перпендикуляр, опущенный из
вершины на эту диагональ отсекает от
неё отрезок . Периметр данного
прямоугольника равен . Найдите стороны

прямоугольника.

91.

Из вершины прямоугольника , с периметром , проведён луч, который
пересекает сторону под углом . Разность отсекаемых отрезков
равна . Найдите стороны
прямоугольника.

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Прямоугольник и его свойства с определением и примерами решения

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 36).

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. В прямоугольнике противолежащие стороны равны.

2. Периметр прямоугольника

3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Кроме этих, прямоугольник имеет еще свойства.

4. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник (рис. 37). (по двум катетам). Поэтому

5. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех его вершин.

Так как а (рис. 37), то, очевидно, что

Пример:

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:3. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника.

Решение:

1) Пусть (рис. 37). Обозначим Получим уравнение: откуда Следовательно,

2) Найдем — угол между диагоналями данного прямоугольника. — равнобедренный (так как поэтому В

Ответ. 72°.

Рассмотрим признаки прямоугольника.

Теорема (признаки прямоугольника). Если у параллелограмма: 1) все углы равны, или 2) один угол прямой, или 3) диагонали равны, — то параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство:

1) Так как все углы параллелограмма равны, а их сумма — 360°, то каждый из них равен 360° : 4 = 90°. А значит параллелограмм является прямоугольником.

2) Пусть угол параллелограмма — прямой (рис. 36). Тогда Следовательно, все углы параллелограмма прямые, а значит он является прямоугольником.

3) Пусть у параллелограмма диагонали и равны (рис. 37). — общая сторона треугольников и Следовательно (по трем сторонам), откуда Но Получаем, что у параллелограмма все углы равны, а значит он является прямоугольником (по п. 1 этой теоремы).

Пример:

В окружности с центром проведены диаметры и Определите вид четырехугольника

Решение:

1) Рассмотрим рис. 38. Так как (как радиусы), то, по признаку параллелограмма, — параллелограмм.

2) Так как (как диаметры), то, по признаку прямоугольника, получаем, что параллелограмм -прямоугольник.

Ответ. Прямоугольник.

Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Площадь трапеции
Четырехугольник и его элементы
Четырехугольники и окружность
Параллелограмм, его свойства и признаки
Площадь параллелограмма

Источник

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

1. Противоположные стороны прямоугольника равны: (AB = CD), (BC = AD).

2. Каждый угол прямоугольника равен (90)

Это значит, что противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна (180)

3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: (BO = OD), (AO = OC).

А также (BO = OD = AO = OC) (см. шестое свойство, присущее только прямоугольнику).

4. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

5. Накрест лежащие углы при диагоналях равны.

Свойство, присущее только прямоугольнику

6. Диагонали прямоугольника равны: (BD = AC).

Источники:

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.

Определение прямоугольника
Свойства прямоугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
Признаки прямоугольника
Формулы

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

длины – более длинная пара сторон. Обычно обозначаются латинской буквой, например, a;
ширины – более короткая пара сторон. Чаще всего обозначаются как b.

Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.

Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.

Свойства прямоугольника

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

AD = BC = a, AD || BC
AB = CD = b, AB || CD

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.

a – это высота h₁, проведенная к стороне b
b – это высота h₂, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.

d² = a² + b²

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.