Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Геометрия. 7 класс
Равнобедренный треугольник
Геометрические термины
Медиана
Равнобедренные треугольники
Элементы равнобедренного треугольника
Построение равностороннего треугольника
Необходимо запомнить
AB и BC – боковые стороны треугольника ∆ABC.
AC – основание треугольника ∆ABC.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
AF – высота, медиана, биссектриса ∆ABC.
Задача на доказательство
Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана равнобедренного треугольника».
На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.
АМ – медиана ∆ABC,
По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).
Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)=> ∠МСА = ∠MАС (по свойству равнобедренного треугольника).
Получаем, что ∠А = ∠MАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.
Равнобедренный треугольник и его свойства
Содержание
Пожалуй, наиболее знаменательным (и, к слову, крупнейшим!) древнеегипетским архитектурным сооружением является Пирамида Хеопса, найти которую любознательный путешественник может в пригороде Каира — современной столицы Египта.
Даже несмотря на внушительный возраст — без малого, четыре с половиной тысяч лет — этот памятник цивилизации пережил все возможные невозможные злоключения и единственным из Семи чудес света сохранился до наших дней. Что сказать: древние египтяне умели строить «по ГОСТу».
Определение равнобедренного треугольника
Однако мы не о строительстве. Если присмотреться к древнеегипетским пирамидам как прежде всего к геометрическим фигурам, мы заметим, что грани пирамиды представляют собой треугольники довольно интересной формы.
Обратите внимание на схематичное изображение Пирамиды Хеопса в поперечном разрезе. В треугольнике подобном гранями пирамид Древнего Египта боковые стороны являются равными по величине. Это — частный случай геометрии треугольников, который мы с вами сегодня и будем разбирать.
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по величине.
Итого, треугольник называется равнобедренным, если у него равные «бедра» — боковые стороны при основании. На изображении справа такой треугольник изображен и размечен отдельно. Посмотрите: в $bigtriangleup$ имеется основание $AB$ и боковые стороны $BC$ и $CA$, при этом $BC=CA$.
Рисуйте правильно!
В случае с треугольником с произвольно заданными сторонами и углами особой роли не играет, как вы разместите его на чертеже — под углом или основанием параллельно к краю листа.
С равнобедренными треугольником наоборот: крайне важно располагать его по принципу грани древнеегипетской пирамиды — основанием к «земле», то есть к низу, не под углом.
Задача. В равнобедренном треугольнике $bigtriangleup$ основание $AB$ больше боковой стороны на $2
см$, но меньше суммы боковых сторон на $3
см$. Найдите стороны треугольника.
Решение . Обозначим боковую сторону треугольника как $y$, а основание как $x$. Согласно условию, можно записать два следующих уравнения:
Подставим во второе уравнение вместо $x$ правую часть первого уравнения и вычислим значение боковой стороны: $2+y=2y-3.$ Откуда получаем значение $y$ равное $5$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому значение второй стороны также будет равняться $5$.
Далее подставляем полученное значение в первое уравнение и находим основание: $$x=y+2=7$$
Ответ: $5, 5, 7.$
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема о равнобедренном треугольнике. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Дан равнобедренный треугольник $bigtriangleup$ с основанием $AB$. По определению $BC=CA$. Проведем в треугольнике биссектрису $CD$ к основанию и рассмотрим треугольники $bigtriangleup$ и $bigtriangleup$.
Они равны по первому признаку равенства треугольников, то есть по двум сторонам и углу между ними: $BC=CA,$ $angle=angle,$ биссектриса $CD$ — общая сторона. Если треугольники равны, то против равных сторон в них будут лежать равные углы. Откуда делаем вывод, что $angle=angle$. Теорема доказана.
Простое наблюдение!
Мы помним, что периметр — сумма всех сторон треугольника. В равнобедренном треугольнике стороны при основании равны, так что для случая с таким треугольником формулу периметра можно немного «подлатать»: $P=2a+b$, где $a$ — длина боковой стороны, $b$ — длина основания.
Единство медианы, биссектрисы и высоты
На чертеже равнобедренного треугольника выше внимание привлекает вот что: биссектриса как будто бы является одновременно и высотой в треугольнике, и медианой.
На самом деле нам не кажется. Одно из главных свойств равнобедренных треугольников заключается в том, что проводя, к примеру, медиану, вы получаете в то же самое время высоту и биссектрису. И это все один отрезок. Сформируем на основе наших предположений теорему и докажем ее.
Теорема о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.
Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике $bigtriangleup$ к основанию $AB$ проведена медиана $CD$. Треугольники $bigtriangleup$ и $bigtriangleup$ будут равны по первому признаку треугольников: $angle$ и $angle$ равны по теореме об углах равнобедренного треугольника, стороны $BC$ и $CA$ равны по определению равнобедренного треугольника, $AD=DB$ по определению медианы.
Из равенства треугольников следует равенство углов $angle$ и $angle$. Тогда $CD$ — биссектриса. Углы $angle$ и $angle$ равны из доказанного равенства треугольников $bigtriangleup$ и $bigtriangleup$. Эти углы являются смежными.
Раз сумма смежных углов равна $180^<circ>$ и углы при этом равны, то они оба равняются $90^<circ>$. Из этого следует, что $CD$ — высота. Теорема доказана .
Eсли проводите в равнобедренном треугольнике, скажем, медиану, сразу отмечайте на чертеже свойство высоты и биссектрисы.
Или в любом другом порядке, в зависимости от того, что за отрезок требуется в условии. Это поможет постоянно иметь перед глазами свойства равнобедренного треугольника, что значительно облегчит доказательство утверждения или решение задачи.
Задача #1
На рисунке изображен $bigtriangleup$, где $BC=CA$. Известно, что $angle<1>=130^<circ>$. Чему равняется значение угла $angle<2>$?
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7295/main/
http://obrazavr.ru/geometriya/7-klass-geometriya/treugolniki/priznaki-ravenstva-treugolnikov/ravnobedrennyj-treugolnik-i-ego-svojstva/
Содержание:
- § 1 Теорема о сумме углов треугольника
- § 2 Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники
- § 3 Краткие итоги урока
§ 1 Теорема о сумме углов треугольника
Треугольник — одна из самых распространенных фигур в геометрии. Вениамин Фёдорович Каган, русский математик ХХ века, однажды сказал: «Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике…» действительно одна из важнейших теорем геометрии гласит
Теорема: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
Докажем эту теорему. Для этого возьмем произвольный треугольник АВС. Через вершину В проведем прямую а параллельную стороне треугольника АС. Пронумеруем получившиеся углы: 1,2,3 номера углов при вершинах А, В и С соответственно, углы 4 и 5 образованы прямой а и сторонами АВ и ВС треугольника. Первый и четвертый углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых АС и а секущей АВ. Согласно теореме о накрест лежащих углах, они равны, то есть первый угол равен четвертому. Аналогично третий угол равен пятому, так как являются накрест лежащими при пересечении параллельных а и АС секущей ВС.
Сумма углов 4, 2 и 5 представляют собой развернутый угол с вершиной В, а он, как известно, равен 180 градусам. Тогда, исходя из равенства углов 1 и 4, 3 и 5, получаем, что сумма первого, второго и третьего углов равна 180 градусам. То есть угол А плюс угол В плюс угол С равно 180 градусов.
Что и требовалось доказать.
А теперь продлим сторону АС треугольника АВС и рассмотрим смежный угол угла С, такой угол называется – внешним углом треугольника.
Поскольку смежные углы составляют развернутый угол, их сумма равна 180 градусам, тогда внешний угол треугольника равен 180 градусов минус угол С. А нам теперь известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, и из этой теоремы следует, что 180 градусов минус угол С — это сумма углов А и В. Значит, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
§ 2 Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники
Представим, что в треугольнике один угол 90 градусов, тогда, согласно теореме о сумме углов в треугольнике, сумма оставшихся двух углов должна быть равна 180 — 90 = 90 градусам, из чего следует, что оставшиеся углы острые. Если же в треугольнике есть тупой угол, то есть больше 90 градусов, то оставшиеся два углы в сумме должны быть меньше 90 градусов и, значит, также будут острыми. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Поэтому в зависимости от вида угла рассматриваемый треугольник может быть:тупоугольным, если среди его углов есть тупой угол, остроугольным, если все три угла треугольника острые, или прямоугольным, если в треугольнике есть угол, равный 90 градусам.
В прямоугольном треугольнике стороны, расположенные друг к другу под прямым углом, называют катетами, а сторону, расположенную напротив угла в 90 градусов, гипотенузой.
§ 3 Краткие итоги урока
Итак, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Угол смежный с углом при вершине треугольника называется внешним углом треугольника и равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
Треугольники могут быть трёх видов: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.
Список использованной литературы:
- Атанасян, Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. –383 с.
- Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с.
Среди
множества треугольников выделяют те, которые имеют особые свойства. К таким
треугольникам можно отнести, например, равнобедренные треугольники.
Определение:
Треугольник
называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Возьмём
треугольник АВС, у которого стороны АВ и АС равны.
Эти
стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона ВС называется основанием
равнобедренного треугольника. Точка А называется вершиной
равнобедренного треугольника, а точки В и С — вершинами при его основании. Угол А называется углом при вершине, а углы В и С — углами при
основании.
Определение:
Треугольник,
у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Любой
равносторонний треугольник является равнобедренным.
Теорема:
В
равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство:
Пусть
АВС равнобедренный треугольник, боковые стороны которого АВ и АС. Докажем, что ∠В=∠С.
Пусть
АF
—
биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как
сторона AF
у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, ∠ВAF и ∠СAF — равны, так как АF —
биссектриса треугольника АВС.
Из
равенства треугольников АВF
и АСF
следует, что ∠В=∠С.
Теорема:
В
равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является
медианой и высотой.
Доказательство:
Пусть
треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=АС. Пусть АF
—
биссектриса этого треугольника.
Треугольники
АВF
и АСF
равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны
по условию, углы ВAF и СAF равны, так как АF —
биссектриса треугольника АВС.
Из
равенства треугольников следует, что BF равняется CF, то есть F — середина стороны ВС, а следовательно, АF — медиана треугольника
АВС.
Также
из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠AFB=∠AFC. А так как эти углы смежные и
равные, то они прямые. А это означает, что AF является и высотой треугольника
АВС. Теорема доказана.
Утверждения:
1.
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой
и биссектрисой.
2.
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой
и биссектрисой.
Пример.
АВСD
—
квадрат. Точка Е — середина стороны СD. Доказать, что треугольник ВЕА
является равнобедренным.
Рассмотрим
треугольники ВСЕ и АDE.
У
них ВС=AD,
так как все стороны квадрата равны, и СЕ=DE, так как точка Е
— середина стороны CD.
А ∠ВСЕ=∠ADE, так как все углы квадрата —
прямые. Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE по первому признаку равенства
треугольников. То есть у них соответственные стороны равны. Следовательно,
ЕВ=ЕА.
Получаем,
что треугольник ВЕА имеет две равные стороны ЕВ и ЕА, а значит, он
равнобедренный.
Пример.
В
равнобедренном треугольнике АВС, где АВ=ВС, Р=20 см.,
а основание больше боковой стороны на 2 см. Найти стороны треугольника.
Пусть
АВ=ВС=х см., тогда сторона АС=(х+2) см. Получаем:
Тогда
АВ=ВС=6 см, а сторона АС=6+2=8 см.
Содержание
- — Как найти угол в равнобедренном треугольнике?
- — Какой угол при основании?
- — Как найти смежный угол в равнобедренном треугольнике?
- — Как найти внешний угол равностороннего треугольника?
- — Что такое угол при вершине?
- — Как найти высоту в равнобедренном треугольнике?
Как найти угол в равнобедренном треугольнике?
Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.
…
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые.
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Какой угол при основании?
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Две равные стороны в равнобедренном треугольнике называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Как найти смежный угол в равнобедренном треугольнике?
д. Смежные углы — два угла, имеющие общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Смежные углы: ∠ A O B и ∠ B O C . Теорема: Сумма смежных углов равна : ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ∘ .
Как найти внешний угол равностороннего треугольника?
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. равен половине гипотенузы.
Что такое угол при вершине?
угол при вершине (сверла) — (1.41) Удвоенный угол, образованный осью сверла и проекцией главной режущей кромки на плоскость, проходящую через ось сверла и параллельную этой режущей кромке.
Как найти высоту в равнобедренном треугольнике?
Высота треугольника — это перпендикуляр, который проведен из вершины треугольника к прямой, на которой лежит противолежащая сторона. Высота равнобедренного треугольника вычисляется посредством теоремы Пифагора.
Интересные материалы:
Сколько метров на 1.5 постельное белье?
Сколько метров надо на лестницу?
Сколько метров надо на пододеяльник?
Сколько метров рабицы в рулоне?
Сколько метров тюли нужно на 2 метровый карниз?
Сколько метров ткани на детское постельное белье?
Сколько метров ткани надо на Полутороспальный комплект?
Сколько метров ткани нужно для Двуспального постельного белья?
Сколько метров ткани нужно на детскую кроватку?
Сколько метров ткани нужно на двуспальный комплект?
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Теорема (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.