Как найти углы ромба описанного около окружности

Углы ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти углы ромба по известным элементам. Для нахождения углов ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Углы ромба через сторону и высоту

Пусть известны сторона и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что углы ромба через сторону и высоту вычисляются по формулам

( small alpha= mathrmfrac<large h> <large a>)

(1)

( small beta= 180°-alpha )

(2)

(small frac<large h><large sin alpha>=frac<large a><large sin 90°>.)

(3)

(small sin alpha=frac<large h><large a>)

(4)

(small alpha=mathrmfrac<large h><large a>)

(5)

Поскольку сумма соседних углов ромба равна 180° (свойство 4 статьи Ромб), то угол β вычисляется из формулы (2).

2. Углы ромба ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что углы ромба через площадь и высоту вычисляются по формулам:

( small alpha= mathrmfrac<large h^2><large S>, )

(6)

( small beta= 180°-alpha . )

(7)

Площадь ромба через сторону и высоту вычисляется из формулы:

( small S=a cdot h. )

(8)

Найдем a из формулы (8) и подставим в (1):

( small alpha= mathrmfrac<large h><large a>=mathrmfrac<large h><large frac> ) ( small =mathrmfrac<large h^2> <large S>)

(9)

Как отметили в параграфе 1, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

3. Углы ромба через площадь и сторону

Пусть известны площадь и сторона ромба (Рис.3).

Чтобы найти формулу углов ромба через площадь и сторону, из формулы (8) найдем h и подставим в (1):

Следовательно угол α ромба через площадь и сторону вычисляется из формулы:

( small alpha =mathrmfrac<large S><large a^2>. )

(10)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

4. Углы ромба через диагонали

Пусть известны диагонали d₁ и d₂ ромба (Рис.4). Выведем формулу вычисления углов α и β ромба.

(small h=frac<large d_1d_2><large sqrt>.)

(11)

(small a=frac<large sqrt><large 2>.)

(12)

Подставляя (11) и (12) в (4), получим:

(small sin alpha=frac<large h><large a>) ( small =frac<frac<large d_1d_2><large sqrt>><frac<large sqrt><large 2>> ) ( small =frac<large 2d_1d_2> <large d_1^2+d_2^2>.)

(13)

(small alpha=mathrm frac<large 2d_1d_2> <large d_1^2+d_2^2>.)

(14)

Как отметили выше, соседний угол β вычисляется по формуле (7).

5. Углы ромба через сторону и диагональ

Пусть известны сторона a=AB ромба и диагональ d=AC (Рис.5).

Найдем углы ромба. Учитывая свойства 5, 6 и 7 ромба, получаем, что треугольник AOB прямоугольный и ( small angle ABO =frac<alpha> <2>.) Тогда для треугольника AOB имеют места следующие равненства:

(small frac<large AO><large a>=sin frac<alpha><2>,)

(small frac<large AO><large a>=cos frac<beta><2>)

(small sin frac<alpha><2>=frac<large d><large 2a>)

(15)

(small cos frac<beta><2>=frac<large d><large 2a >.)

(16)

Формулы половинного угла для синуса и косинуса имеют следующий вид:

(small sin frac<alpha><2>=±sqrt<frac<large 1-cos alpha><large 2 >>,)

(17)

(small cosfrac<beta><2>=±sqrt<frac<large 1+cos beta><large 2 >>.)

(18)

Найдем из формул (17),(18) ( small cos alpha ) и ( small cos beta: )

(small cos alpha=1-2cdot sin^2 frac<alpha><2>,)

(19)

(small cos beta=2cdot sin^2 frac<beta><2>-1,)

(20)

Подставляя (15),(16) в (19),(20), получим формулы углов ромба через сторону и диагональ:

(small cos alpha=1- frac<large d^2><large 2a^2>,)

(21)

(small cos beta=frac<large d^2><large 2a^2>-1.)

(22)

(small alpha=mathrm left(1- frac<large d^2> <large 2a^2>right),)

(23)

(small beta=mathrm left( frac<large d^2><large 2a^2>-1 right).)

(24)

Отметим, что полученный угол α находится напротив диагонали d, а угол β делится диагональю d на две равные части.

6. Углы ромба через сторону и радиус вписанной окружности

Пусть известны сторона ромба и радиус вписанной окружности (Рис.6). Найдем углы ромба.

В статье Высота ромба мы вывели формулу высоты ромба через радиус вписанной октужности:

(small h=2 cdot r.)

(25)

Подставляя (25) в (4) и (5) параграфа 1 данной статьи, получим:

(small sin alpha=frac<large 2 cdot r><large a>)

(26)

(small alpha=mathrmfrac<large 2 cdot r><large a>)

(27)

Как отметили выше, соседний угол β ромба вычисляется по формуле:

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₁ = a √ 2 — 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 — 2 · cosα

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =	1	d 1 2 · tg ( α /2)
2

S =	1	d 2 2 · tg ( β /2)
2

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =	d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Найти углы ромба

1. Ромб — частный случай параллелограмма

2. Противоположные стороны — параллельны

3. Все четыре стороны — равны

4. Диагонали пересекаются под прямым углом (90°)

5. Диагонали являются биссектрисами

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

Формулы косинуса углов через диагональ и сторону:

Формулы синуса углов через диагонали :

Формулы синуса углов через площадь S и сторону :

Формулы тангенса половинных углов через диагонали

Формулы соотношения острого и тупого углов:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin или arctg

Ромб – геометрическая фигура, представляющая собой отдельную разновидность параллелограмма. Все
имеющееся стороны равны между собой. Геометрическая фигура представляет собой отдельную
разновидность параллелограмма. Все имеющееся стороны равны между собой. Чтобы исключить риски
недопонимания, а также освоить принципы расчетов, рекомендуется ознакомиться с некоторыми
особенностями подробней.

Острый угол ромба через длинную диагональ и сторону

Для проведения расчетов используется формула:

cos α = D² / 2a² — 1

где D — длинная диагональ, a — сторона.

Пример. Предположим, что длинная диагональ 25 мм, сторона – 15 мм. Отталкиваясь от
полученных сведений, результат получается следующим: cos α = 25² / 2 х 15² — 1 = 67.11º

Тупой угол ромба через длинную диагональ и сторону

Имея достоверные данные о значение длинной диагонали (D) и стороне (a), порядок вычисления не
предполагает под собой каких-либо сложностей с определением. Для этого в геометрии предлагается
воспользоваться следующей формулой:

cos β =  D² / 2a² — 1

Пример. Предположим, D = 60 мм, a = 90 мм. Исходя из полученных сведений, расчет по
имеющейся формуле имеет вид: cos β =  60² / 2 х 90² — 1. В таком
случае cos β = 141.05. При условии, что D>a, решение не представляется возможным.

Острый угол ромба через короткую диагональ и сторону

Для проведения интересующегося расчета требуется знать данные о короткой диагонали (d) и стороне (a).
При условии наличия используемая формула имеет следующий вид:

cos α = 1 – d² / 2a²

где d — короткая диагональ, a — сторона.

Пример. Из представленной формулы следует, что инициировать получение интересующих
данных не вызывает сложностей. Чтобы удостовериться в этом, достаточно рассмотреть пример. Допустим,
что d = 40 мм, a = 25 мм. В таком случае определение результата осуществляется следующим образом:
cos α = 1 – 40² / 2 х 25².

Используя калькулятор, становится известно,
что cos α = 106.26. Подтвердить подлинность результата можно в режиме онлайн через
специализированный сервис вычислений.

Острый угол ромба через диагонали

Представленный параметр расчета по праву считается одним из наиболее сложных. Чтобы исключить риски
допущения ошибок и недопонимания, рекомендуется ответственно подходить к организации вычислений.
Чтобы узнать информацию, чему равняется sin α, достаточно воспользоваться следующей формулой:

sin α = (2 · Dd)/ (D² + d²)

где D является длинной диагональю,  d — короткой.

Во время определения sin α оптимальным решением станет использование стандартных математических
правил. Они предполагают первичное умножение, после чего деление. Суммирование осуществляется на
завершающем этапе определения значения.

Пример. Предположим, D = 85 мм, d = 15 мм. Имеющиеся значения требуется подставить в
формулу. В итоге получается: sin α = (2 · 85)/85² + 15². Используя
автоматизированный калькулятор для геометрии, получается, что sin α = 20.01

Тупой угол ромба через короткую диагональ и сторону

Порядок вычисления предполагает использование соответствующей формулы. Чтобы инициировать расчет
требуется знать точные данные относительно короткой диагонали (d) и стороне (a). В таком случае
расчет проходит следующим образом:

cos β = 1 — d² / 2a²

где d — короткая диагональ, a — сторона ромба.

Пример. Предположим, что d = 27 мм, a = 65 мм. Используя имеющуюся формулу,
вычисление проходит по следующей процедуре: cos β = 1 — 27²/2х65².

Используя стандартные принципы
вычисления либо специализированный онлайн калькулятор, cos β = 23.98. Чтобы гарантировать
достоверность вычислений настоятельно рекомендуется выполнять проверку полученных данных несколькими
способами.

Острый угол ромба через радиус вписанной окружности в ромб и площадь ромба

Принципы определения интересующей величины предполагают необходимость использования следующей
формулы:

sin(α) = 4R²/S

где R – радиус, S – заявленная площадь геометрической фигуры.

Пример. Предположим, что радиус составляет 2 см, заявленная площадь 20 мм² .
Подставив имеющиеся значения в формулу, имеем следующий вид: sin(α) = 4 х 2²/20 = 53º.

Угол ромба через площадь и сторону

Представленный метод часто используется, чтобы узнать интересующий параметр. Главное условие –
наличие известных величин из формулы, которая имеет следующий вид:

sin(α) = S/a²

где S является площадью ромба, a — стороной.

Рассмотрим порядок определения неизвестной величины на конкретном примере. Допустим, что S = 65 мм² ,
a – 12 мм. В таком случае, получается: sin(α) = 65/12³ = 26,83º.

Острый угол ромба через высоту и сторону

Для определения синуса предполагается использование следующей несложной формулы:

sin(α) = h / a

где h – заявленные показатели высоты, a — сторона.

Пример. Допустим, что высота составляет 9, сторона – 15. Следовательно, вычисления
осуществляются следующим образом: sin(α) = 9/15 = 36.86 градусов.

Половинный угол ромба через высоту и диагональ

Чтобы отыскать интересующий синус, требуется воспользоваться следующим правилом определения
величины:

sin( α/2 ) = h/D

где h – имеющаяся высота, D – заявленная длина диагонали.

Пример. Высота 43, диагональ 76. Следовательно, sin( α/2 ) = 43/76 = 34.4.

Половинный тупой угол ромба через диагонали

Использование рассматриваемого метода не предполагает под собой существенных сложностей. Достаточно
воспользоваться специально разработанной формулой, которая имеет следующий вид:

tg( β/2 ) = D / d

где D выступает длинной диагональю, d — короткой.

Пример. Достаточно подставить для вычисления имеющиеся данные, чтобы в конечном
итоге получить искомый результат. К примеру, D = 80 мм, d = 35 мм. Используя стандартные принципы
вычисления получается: tg( β/2 ) = 80/35 = 66.37

Половинный острый угол ромба через диагонали

Проведение расчетов с помощью представленной методики требует наличия всех переменных, среди которых
короткая и длинная диагонали. Если все необходимые параметры известны, вычисление осуществляется по
представленной формуле:

tg( α/2 ) = d / D

где D,d – заявленная длина диагоналей.

Пример. Предположим, что D = 15 мм, d = 50 мм. Подставим имеющие значения в формулу,
имеем вид: tg( α/2 ) = 50 /15 С помощью несложных подсчетов получается, что tg( α/2 ) = 73.3
градуса.

Ромб представляет собой параллелограмм, который имеем равные стороны. При наличии исключительно
прямых углов – квадрат.

Дополнительно выделяют следующие признаки:

• имеющиеся диагонали ромба перпендикулярны;
• диагонали ромба выступают биссектрисами его углов;
• сумма квадратов всех диагоналей приравнивается к квадраты стороны, которая умножается на 4.

Чтобы параллелограмм считался ромбом, крайне важно соблюдение одного из нескольких условий, к которым
принято относить:

• все имеющиеся стороны геометрической фигуры равны между собой;
• диагонали пересекаются исключительно под прямым углом;
• диагонали геометрической фигуры выступают биссектрисами углов.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. При этом трапеция обладает всеми свойствами четырехугольника и параллелограмма. Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для ромба.

Свойства ромба:

1. Противоположные углы равны. На рисунке: ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA, ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. На рисунке: точка E.
3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. На рисунке: AC⊥BD
4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

1. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
2. Если диагонали четырёхугольника лежат на биссектрисах его углов, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: ∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
3. Если четырёхугольник — это параллелограмм и в него можно вписать окружность, то этот четырёхугольник – ромб. На рисунке: AB||CD,BC||AD,ABCD – описанный.

Ромб и окружность

В ромб можно вписать окружность. Центром этой окружности является точка пересечения диагоналей ромба.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно найти по формуле: или где: a — длина стороны, d₁, d₂ –диагонали.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Таким образом, ромб, вписанный в окружность – это квадрат. Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Основные формулы для ромба:

 Периметр: Площадь по стороне и высоте: Площадь по диагоналям: Радиус окружности, вписанной в ромб: или Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности:

Площадь по стороне и углу:

где a — длина стороны, d₁, d₂ –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами ромба.

Найти углы ромба, зная только его сторону, нельзя: существуют ромбы, имеющие разные углы, но одинаковые стороны. На пальцах: сделайте ромб из проволоки, «сплющите» его — он останется ромбом, стороны будут те же, углы изменятся.

Значит, чтобы найти углы ромба нужно знать что-то ещё (или что-то другое). Например, зная сторону и диагональ, найти угол можно по теореме косинусов: если x — сторона, d — диагональ, a — угол напротив диагонали, то условие теоремы косинуов — d^2 = x^2 + x^2 — 2 * x^2 * cos(a), из него следует a = arccos((2x^2 — d^2)/2x^2). (Я говорю «найти угол», а не «найти углы», потому что если мы знаем один угол, остальные находятся тривиально: если один угол равен а градусов, то угол напротив него тоже а, остальные два — по 180-а).

Есть и другие варианты: через сторону и площадь (пользуясь тем, что площадь — это квадрат стороны умножить на синус угла), через две диагонали (мы знаем, что диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам — отсюда следует, что тангенс половины угла ромба равен отношению диагоналей, просто по определнию тангенса; зная сторону и диагональ, кстати, тоже можно искать угол примерно таким способом, вместо теоремы косинусов) и так далее.