Как найти углы треугольника между параллельными прямыми - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

(1.1)

(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

(1.5)

(1.6)

Упростим и решим:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

(1.10)

(1.11)

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(1.14)

(1.15)

(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

(1.17)

(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

(1.19)

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

(23)

Упростим и решим:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

(2.1)

(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

(2.5)

(2.6)

Упростим и решим:

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m₁=αm₂, p₁=αp₂, l₁=αl₂

(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

(2.8)

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

(2.9)

(2.10)

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(2.17)

(2.18)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k ₁· k ₂ = 0), то прямые перпендикулярны.

Соответственно легко найти угол между прямыми

tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k ₁ — k ₂ 1 + k ₁· k ₂

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k ₁ — k ₂ 1 + k ₁· k ₂ = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор <1; 2>, для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k ₁ = — 2 3 )

x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k ₂ = 4 3 )

tg γ = k ₁ — k ₂ 1 + k ₁· k ₂ = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то <2; 1; -1>- направляющий вектор первой прямой, <1; -2; 0>направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор <3; 4; 5>.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3

3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3

<-2; — 1 3 ; 2 3 >- направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205

источники:

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/lines_angle/

Источник

Пересечение двух параллельных прямых секущей

Параллельными называются пара прямых, которые при продолжении не пересекаются.

Когда две паралелльные прямые $a$ и $b$ пересекаются секущей $c$ , то образуется много разнообразных углов.

Некоторые пары углов имеют свои имена — названия:

пара     накрест лежащие углы   :   ∠3   и   ∠5,         ∠4   и    ∠6;
пара     односторонние углы   :       ∠4    и   ∠5,         ∠3   и   ∠6;
пара     соответственные углы :      ∠1   и   ∠5,         ∠4   и   ∠8,      ∠2   и   ∠6,      ∠3   и   ∠7.

Свойства:

накрест лежащие углы равны: 3 = 5, 4 = 6.
соответственные углы равны: 1 = 5, 4 = 8, 2 = 6, 3 = 7.
сумма односторонних углов равна 180 градусов: 3 + 6 = 180 градусов, 4 + 5 = 180 градусов.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ;
ТеоремаТеорема    *      соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема    *      вертикальные равны ∠3 = ∠1, ∠8 = ∠6 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются: 3 + 6 < 180 ; 4 + 5 > 180 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема Если одна прямая параллельна второй, а вторая параллельна третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.

_____________________________________________________________________________________

Задача 1: На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.

Решение: АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$ ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $Rightarrow$ ∠КАВ = 40°.
∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК $Rightarrow$ углы у основания ∠КАВ = ∠АКВ значит, $Rightarrow$ ∠АКВ = 40°.
Значит, углы ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность, ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$ ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.

Задача 2: На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°, ∠АВК = 150°, ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.

Решение: Углы ∠ВАМ и ∠АВК — односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
Сумма односторонных 180°? … по теореме «о параллельных», прямые АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
Теперь: АМ ║ ВК, СР — секущая. Односторонные углы равные, ∠ВКС = ∠АМК. Значит, ∠АМК = 110°.
Наконец, углы ∠АМК и ∠АМР — смежные. Значит, ∠АМК + ∠АМР = 180°. $Rightarrow$ ∠АМР = 180° — ∠АМК = 70°.
Ответ: ∠АМР = 70°. Замечание: «надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним».

Задача 3: На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.

Решение: Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим: ∠САВ = 3∠РМК
Как связаны искомые углы по рисунку? ∠САВ и ∠МАВ — смежные, значит ∠МАВ = 180° — ∠САВ.
Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
Из двух равенств получаем ∠РМК = 180° — ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим: ∠РМК = 180° — 3∠РМК
∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°. Ответ: 45°, 135°

Задача 4: На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти четырехугольника АВСD.

Трапеция АВСD: Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
Решение: Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° — ∠МВС = 115°.
Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° — ∠ВСК = 100°.
АМ секущая к АD ║ ВС $Rightarrow$ ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС $Rightarrow$ ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
Ответ: Углы трапеции ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115° ∠ВСD = 100° ∠АDС= 80°

Задача 4, продолжение, «углы в трапеции»: Пусть углы любые: ∠МВС = х, ∠ВСК = у.

Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим: ∠А = х ∠В = 180° — х ∠С = 180° — у ∠D = у
Видно: ∠А + ∠В = 180° ∠С + ∠D = 180°. Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° . Односторонные!
Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°. Сумма всех углов трапеции равна 360°. . Как у четырехугольника?

Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:

В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы. Что секущая?
В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. — внутренные односторонные. Что секущая?
В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. — внутренные односторонные. Что секущая?
Еще о углах: Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
Сумма углов треугольника 180 градусов . Достроить параллельную, увидеть секущую!

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 1: Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.

Задача 2: На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.

Задача 3: По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.

Задача 4: Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?

Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2

Задача 6: Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?

Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.

Задача 8: В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?

Задача 9: Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.

Задача 10: На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.

Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.

Задача 12: ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?

Задача 13: На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.

Задача 14: На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?

Задача 15: Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?

Задача 16: Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?

Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?

Задача 18: Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.

Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.

Задача 20: «углы в параллелограмме и трапеции»:

один из углов параллелограмма 40. найти остальные
найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80. (100, 160)
найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)
Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма
Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы
Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{circ}$ .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{circ}$ , то есть

$angle 1+angle 6=180^{circ}$ ,

$angle 4+angle 7=180^{circ}$ .

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют $180{}^circ ,$ если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна $180{}^circ .$

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

$angle MNF+angle FNK=180{}^circ$ как смежные. Значит, $angle MNF+angle ACB=180{}^circ.$

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок ${BH}_1$ равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна $180{}^circ ,$ например $angle 1+angle 4=180{}^circ.$

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

$P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;$

$P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.$

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180{}^circ .$

Мы получили, что

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

$angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

Из треугольника AFB получим, что $AFB=90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, ${AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.$

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда $displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC}$ ;

$BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.$

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 ${}^circ.$ Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда $angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.$

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна $180{}^circ .$

Это значит, что $angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.$

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

$angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

$angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .$

Из треугольника AKB получим, что $angle ABK= 90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е. KH=4.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда $S_{ABCD}=ADcdot MN$ ; $S_{ABCD}=8cdot 7=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $angle 1=120{}^circ ,$ $angle 2=60{}^circ ,$ $angle 3=55{}^circ .$ Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

$angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.$

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: $angle 3=angle 4=55{}^circ.$

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если $angle 1=22{}^circ ,$ $angle 2=72{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ$ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна $180{}^circ .$

Для треугольника на рисунке:

$angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .$

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 ${}^circ$ и 45 ${}^circ.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
$angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,$

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .$

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 ${}^circ.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, $angle A=30{}^circ.$

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна $180{}^circ ,$ значит, $angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.$

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=169{}^circ .$ Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, $angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .$

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, $alpha -beta =50{}^circ ,$ то есть $alpha =beta +50{}^circ .$

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$alpha +beta =180{}^circ ,$ по свойству односторонних углов.

Итак, $2beta +50{}^circ =180{}^circ.$

$beta =65{}^circ ,$ тогда $alpha =115{}^circ .$

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна $180{}^circ .$

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 ${}^circ.$ Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна $180{}^circ .$

Значит, $angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .$

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда $angle ACD=58div 2=29{}^circ .$

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54{}^circ .$ Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен $180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .$

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 ${}^circ.$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть $angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.$

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle A=30{}^circ .$ Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30 ${}^circ .$

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в $30{}^circ$ и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда $S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h;$ $S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.$

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию, $angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;$

angle C и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

$angle C+angle B=180{}^circ.$

Получили:

$left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .$

Сложив два уравнения, получим: $2angle C=230{}^circ ,$ тогда $angle C=115{}^circ.$

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150{}^circ .$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол трапеции равен 30 ${}^circ .$ Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135{}^circ .$ Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $45{}^circ .$

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, $angle BDA=40{}^circ$ и $angle BDC=30{}^circ .$ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ .$ Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $110{}^circ .$

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда $angle ADB=angle DBC=40{}^circ .$

$angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.$

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

$P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20,$ значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если $angle 1=117{}^circ ,$ $angle 2=24{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle 2=angle 4=24{}^circ$ (как накрест лежащие углы).

$angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ$ (развернутый угол).

Тогда $angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .$

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=104{}^circ .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

$AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.$

и параллельны, АС – секущая, $Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .$

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

$angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .$

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ ). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые имеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой , но не принадлежит прямой . Говорят, что прямые пересекаются в точке М.

Это можно записать так: — знак принадлежности точки прямой, «» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые параллельны (рис. 11, с. 11), то пишут

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые перпендикулярны (рис. 12), то пишут

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аb.
Если 1 = 2 = 90°, то а АВ и b АВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аb.
Если 1 = 2 90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF a.
На прямой b отложим отрезок ВF₁ = АF и проведем отрезок ОF₁.
Заметим, что ОFА = ОF₁В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF₁ и 1 = 2). Из равенства этих треугольников следует, что З = 4 и 5 = 6.
Так как 3 = 4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F₁, F и О также лежат на одной прямой.
Из равенства 5 = 6 следует, что 6 = 90°. Получаем, что а FF₁ и b FF₁, а аb.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что 1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например 1 = 2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

2) Заметим, что 2 = 3 как вертикальные углы.

3) Из равенств 1 = 2 и 2 = 3 следует, что 1 = 3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аb.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и AOF = ABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство.

Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например 1 + 2 = 180° (рис. 87, в).
Заметим, что 3 + 2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
Из равенств l + 2 = 180° и 3 + 2 = 180° следует, что 1 = 3.
Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Теорема доказана.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O a проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Теорема доказана.

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону FС треугольника FDС так, что 1 = F и 2 = F (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Доказательство.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Теорема доказана.

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей AВ (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и 2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и 2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ b. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, 1 = 2.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда 3 = B как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство.

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. 1 = 3. Кроме того, 2 = 3, так как они вертикальные.
Из равенств 1 = 3 и 2 = 3 следует, что 1 = 2.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда 4 = BAF. Действительно, 4 и FAC равны как соответственные углы, a FAC = BAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

Доказательство.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что 1 + 2 = 180° (рис. 97, а).

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство 1 = 3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, 2 + 3= 180°.

4) Из равенств = 3 и 2 + 3 = 180° следует, что 1 + 2 = 180°.

Теорема доказана.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда BAF + TFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

Доказательство.

1) Пусть прямые а и b параллельны и са (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Так как 1 = 90°, то и 2 = 1 = 90°, а, значит, сb.

Что и требовалось доказать.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые и параллельны, то есть (рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая , лучи АВ и КМ.

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если , , то (рис. 161).

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая (рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую , перпендикулярную прямой . Затем сдвигают треугольник вдоль прямой и строят другую перпендикулярную прямую , затем — третью прямую и т. д. Поскольку прямые , , перпендикулярны одной прямой , то из указанной теоремы следует, что || , || , || .

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой , параллельной прямой и проходящей через точку К.

Из построения следует: так как и , то || . Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых и третьей прямой , которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: и — данные прямые, АВ — секущая, 1 =2 (рис. 166).

Доказать: || .

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую и продлим его до пересечения с прямой в точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, 1 = 2 по условию, BMK =AMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что ANM =BKM = 90°. Тогда прямые и перпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то || .

Теорема доказана.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: 1 =2 (рис. 167).

Доказать: || .

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей . А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, || . Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: l +2 = 180° (рис. 168).

Доказать: || .

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей . А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, || . Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (AOB = DOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что BAO=CDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, BAK = 26°, ADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

BAC = 2 •BAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку ADK +BAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то 1=2. Так как BAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то 1 =3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда 2 =3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых и и секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, ||.

Реальная геометрия

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая проходит через точку М и параллельна прямой (рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой в некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: ||, || (рис. 187).

Доказать: ||.

Доказательство:

Предположим, что прямые и не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые и , параллельные третьей прямой . А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и ||. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 1 =2,3 =4. Доказать, что || .

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то || по признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых || . Так как || и || , то || по теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть и — данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую , которая параллельна прямой по признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые и не пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые и , которые параллельны прямой . Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые и пересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: || , АВ — секущая,1 и2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Доказать: 1 =2.

Доказательство:

Предположим, что1 2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то || по признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые и , параллельные прямой . А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и1 =2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: || , — секущая,1 и2 — соответственные (рис. 196).

Доказать:1 =2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых и . Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,1 =2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: || , — секущая,1 и2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Доказать:l +2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов 2 +3 = 180°. По свойству параллельных прямыхl =3 как накрест лежащие. Следовательно,l +2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 || и , т. е.1 = 90°. Согласно следствию , т. е.2 = 90°.

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда АОВ =DOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,ABD =CDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,ADB =CBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости и параллельны, то пишут: || (рис. 211).

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теореме2 =3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, то1 =3. Значит,1 =2.

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если || и АВ, то расстояние между прямыми и равно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой . Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: || , А , С , АВ, CD.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (CAD =BDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой равны (см. рис. 285). Прямая , проходящая через точку А параллельно прямой , будет пересекать луч DC в некоторой точке С₁. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C₁D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С₁ и лежит на прямой , которая параллельна прямой . Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой будет перпендикуляром и к прямой (см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, ADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

BAD +ADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Тогда BAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =АВ = 16 см.

Ответ: 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть и — данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую , параллельную прямой .

Тогда || . По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой равноудалены от прямых и на расстояние АВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых и , то есть расстояние от точки М до прямой равно АВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой . Но через точку К проходит единственная прямая , параллельная . Значит, точка М принадлежит прямой .

Таким образом, все точки прямой равноудалены от прямых и . И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой . Прямая , проходящая через середину общего перпендикуляра прямых и , — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК₁ — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА₁ = КК₁ (рис. 291).

Запомнить:

Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
• углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
• углы, образующие пару соответственных углов, равны;
• сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые и — перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые и — параллельны.

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых и если она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5 — внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 — соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Соотношения между сторонами и углами треугольника
Неравенство треугольника — определение и вычисление
Свойства прямоугольного треугольника
Расстояние между параллельными прямыми
Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
Равнобедренный треугольник и его свойства
Серединный перпендикуляр к отрезку
Второй и третий признаки равенства треугольников

Источник

На этой странице вы узнаете:

Какими бывают углы?
По каким признакам можно сказать, что треугольники равны?
Что такое коэффициент подобия?
Какие бывают многоугольники?
Какими формулами пользоваться, чтобы найти площадь фигуры?
Что такое окружность и из чего она состоит?
Когда можно вписать окружность в многоугольник, а когда около него можно её описать?

Прямая, отрезок, луч, углы

Квадрат, круг, треугольник. Несомненно, вы знаете о таких геометрических фигурах, эти фигуры относятся к разделу геометрии, который называется планиметрия. Планиметрия – это наука о изучении геометрических фигур на плоскости. Точки, прямые, отрезки, лучи и углы являются основой этого раздела геометрии. Давайте их и рассмотрим.

Прямая – это линия, не имеющая ни начала, ни конца, такая линия может быть бесконечной.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная с обеих сторон.

Луч – это отрезок, ограниченный только с одной стороны.

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, измеряется в градусах.

Рассмотрим части угла:

Углы бывают четырёх видов:

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это углы, имеющие одну общую сторону, а две другие стороны этих углов лежат на одной прямой.

Смежные углы в сумме дают 180°.

Вертикальные углы – это углы, вершиной которых является одна и та же точка, стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого угла.

Рассмотрим углы при параллельных прямых

Накрест лежащие углы – это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по разные стороны от секущей между параллельным прямыми. Такие углы всегда равны.

Внутренние односторонние углы – это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по одну сторону от секущей между параллельным прямыми. Сумма этих углов 1800.

Соответственные углы — это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей и лежащие по одну сторону от секущей так, что один угол находится между двумя прямыми относительно одной прямой, а другой угол прилегает к другой прямой с внешней стороны. Эти углы равны.

Пусть a || b, а с – секущая

Тогда 3 и 6, 4 и 5 накрест лежащие; 3 и 5, 4 и 6 внутренние односторонние; 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 соответственные

Треугольники, их виды и признаки их равенства

Сумма углов любого треугольника равна 180°

Для треугольников также верно следующее утверждение: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

Элементы треугольника:

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Также медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (в треугольнике медиана показана как BM)

Биссектриса – это отрезок, делящий угол на два равных угла. Также центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника (в треугольнике биссектриса показана как BD)

Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на одну из сторон треугольника. Также высоты или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (в треугольнике высота показана как ВН)

Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон. Средняя линия треугольника параллельна основанию, и по длине она равна половине основания. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований и параллельна основаниям.

Виды треугольников:

У равностороннего треугольника все стороны равны и углы по 600.

У равнобедренного треугольника равны только две стороны и углы при основании. Медиана, проведенная в нём к основанию, также является биссектрисой и высотой.

У прямоугольного треугольника один угол равен 900 и сумма двух других углов тоже равна 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла в таком треугольнике, называется гипотенузой, а две другие — катетами. Катет, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы. Медиана, проведённая в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Признаки равенства треугольников:

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

Угол ВАС = угол В₁А₁С₁

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам

АВ = А₁В₁

Угол ВАС = угол В₁А₁С₁

Угол АВС = угол А₁В₁С₁

Треугольники равны по трём сторонам

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

ВС = В₁С₁

Давайте теперь разберёмся, что значит подобие:

Если треугольники похожие, но отличаются только размером, тогда поможет подобие треугольников

Коэффициент подобия – это число, в которое отличаются стороны треугольников

Если АВС подобен А1В1С1, тогда верно равенство, где к – коэффициент подобия

Если треугольники подобны, тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия

Признаки подобия треугольников:

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

По двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

По трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Площадь треугольника

Площадь треугольника, если известна высота и основание, к которому она проведена

Площадь треугольника с двумя известными сторонами и углом между ними

Площадь прямоугольного треугольника с известными катетами

Площадь правильного треугольника, если известна только сторона

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны

Площадь треугольника, когда известен полупериметр и радиус вписанной окружности

Площадь треугольника, когда известны стороны и радиус описанной окружности

Многоугольник

Многоугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией

Многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые

Многоугольник является выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону

Для нахождения площади любого выпуклого четырёхугольника существует формула:

Виды многоугольников:

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны
Противоположные углы равны
Диагонали делятся точкой пересечения пополам

Формулы площади

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника:

Диагонали равны
Противоположные стороны параллельны и равны
Угол между сторонами прямой
Сумма углов 360 градусов

Формула площади

Квадрат – это частный случай прямоугольника

Свойства квадрата:

Диагонали взаимно перпендикулярны и равны
Диагонали делят углы квадрата пополам
Все стороны равны
Угол между сторонами прямой
Сумма углов 360 градусов

Формулы площади

Трапеция – это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями), а две другие стороны у него не параллельны

Трапеция может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной.

Общие свойства трапеции:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов
Средняя линия равна полусумме оснований
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности её оснований

Свойства равнобедренной трапеции:

Углы при основании равны
Диагонали равны

Формулы площади

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства ромба:

Противоположные углы равны
Все стороны равны
Диагонали делятся точкой пересечения пополам
Диагонали перпендикулярны друг другу
Диагонали являются биссектрисами углов

Формулы площади

Окружность

Окружность – это замкнутая прямая на плоскости, все точки которой равноудалены от центра (например, обруч)

Дуга – это часть окружности, заключённая между двумя точками, лежащими на этой окружности

В окружности можно провести радиус, диаметр и хорду

Радиус – расстояние от центра до окружности

Диаметр – прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр окружности

Хорда – прямая, соединяющая две любых точки окружности

Также в окружности есть два вида углов

Вписанный угол – угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны угла пересекают её. Такой угол равен половине дуги, на которую опирается

Центральный угол – угол, у которого вершина находится в центре окружности, а стороны угла пересекают её. Данный угол равен дуге, на которую опирается

Окружность, вписанная в четырёхугольник

Чтобы вписать окружность в четырёхугольник, суммы длин противоположных сторон четырёхугольника должны быть равны

a + c = b + d

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

У вписанной в прямоугольный треугольник окружности радиус вычисляется по формуле r

Окружность, описанная около четырёхугольника

Чтобы описать окружность около четырёхугольника, необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

Сумма противоположных углов треугольника равна 180 градусов
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Диаметр окружности равен гипотенузе вписанного треугольника
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

R=c/2, где c-диаметр

Теорема синусов:

Отношения длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой, а также равны двум радиусам описанной окружности

Фактчек

Равенство треугольников можно определить по одному из трёх признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, по трем сторонам).

Признаки подобия немного отличаются от признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по двум углам, по трём сторонам), по ним определяется отношение соответственных сторон одного треугольника к сторонам другого.

Для нахождения площади выпуклого четырёхугольника есть универсальная формула
S = ½* d1* d2 *sin α , где d 1, d 2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.

Окружность можно вписать в четырёхугольник, если суммы его противоположных сторон равны, а описать окружность около четырёхугольника можно, если пара противоположных углов в сумме даёт 180 градусов.

Так же стоит помнить, что в теореме синусов равны не только отношения противолежащих сторон к синусам углов, но и каждое такое отношение равно двум радиусам описанной окружности.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равен отрезок соединяющий середины диагоналей в трапеции с основаниями а и b?

1. (a + b) / 2
2. (a — b) / 2
3. a-b
4. a+b

Задание 2.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, чему равен угол напротив этого катета?

1. 90°
2. 60°
3. 30°
4. 20°

Задание 3.
Чему равен вписанный угол, опирающийся на хорду равную 84 градусам?

1. 42°
2. 21°
3. 84°
4. 90°

Задание 4.
Чему равен радиус описанного прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4?

1. 5
2. 1,5
3. 2,5
4. 2

Задание 5.
Из каких длин сторон треугольника нельзя получить треугольник?

1. 4 16 12
2. 5 6 9
3. 3. 41 18 24
4. 17 14 28

Ответы: 1. — 2; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 3; 5. — 1.

Источник