Как найти углы треугольника по заданным вершинам

Как найти угол, если даны вершины треугольника

Треугольник — это простейший многоугольник, для нахождения величин углов которого по известным параметрам (длинам сторон, радиусам вписанных и описанных окружностей и др.) существует несколько формул. Однако часто встречаются задачи, требующие расчета углов в вершинах треугольника, который помещен в некоторую пространственную систему координат.

Инструкция

Если треугольник задан координатами всех трех своих вершин (X₁,Y₁,Z₁, X₂,Y₂,Z₂ и X₃,Y₃,Z₃), то начните с вычисления длин сторон, образующих тот угол треугольника (α), величина которого вас интересует. Если любую из них достроить до прямоугольного треугольника, в котором сторона будет гипотенузой, а ее проекции на две оси координат — катетами, то ее длину можно найти по теореме Пифагора. Длины проекций будут равны разности координат начала и конца стороны (т.е. двух вершин треугольника) по соответствующей оси, а значит, длину можно выразить как квадратный корень из суммы квадратов разностей таких координатных пар. Для трехмерного пространства соответствующие формулы двух сторон треугольника можно записать так: √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) и √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Используйте две формулы скалярного произведения векторов — в данном случае векторами с общим началом являются стороны треугольника, образующие вычисляемый угол. Одна из формул выражает скалярное произведение через их длины, полученные вами на предыдущем шаге, и косинус угла между ними: √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) * √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²) * cos(α). Другая — через сумму произведений координат по соответствующим осям: X₁*X₃ + Y₁*Y₃ + Z₁*Z₃.

Приравняйте эти две формулы и выразите из равенства косинус искомого угла: cos(α) = (X₁*X₃ + Y₁*Y₃ + Z₁*Z₃) / (√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) * √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)). Тригонометрическая функция, определяющая величину угла в градусах по значению его косинуса, называется арккосинусом — используйте ее для записи окончательного варианта формулы нахождения угла по трехмерным координатам треугольника: α = arccos((X₁*X₃ + Y₁*Y₃ + Z₁*Z₃) / (√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) * √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²))).

Видео по теме

Источники:

• треугольник задан вершинами найти высоту

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

1) Угол A образован векторами

   

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

   

Найдём координаты векторов:

   

   

   

   

   

   

Находим скалярное произведение векторов:

   

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

   

   

Отсюда

   

   

2) Угол B образован векторами

   

Таким образом,

   

Так как

   

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3) Угол C образован векторами

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

   

ΔABC — тупоугольный.

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Найти косинусы углов треугольника

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

1) Угол A образован векторами

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

2) Угол B образован векторами

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?

Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.

Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол.

Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике

Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами.

Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = , СВ = . Для этого мы использовали формулу вида:

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Найти углы треугольника с вершинами A(6 ; 7) ; B(3 ; 3) ; C(1 ; — 5)?

Математика | 10 — 11 классы

Найти углы треугольника с вершинами A(6 ; 7) ; B(3 ; 3) ; C(1 ; — 5).

Найдем координаты соответствующих векторов

АВ = (3 — 6 ; 3 — 7) = ( — 3 ; — 4)

AC (1 — 6 ; — 5 — 7) = ( — 5 ; — 12)

AB * AC = ( — 3) * ( — 5) + ( — 4) * ( — 12) = 15 + 48 = 63

BA * BC = — 6 — 32 = — 38

CA = (5 ; 12) CB (2 ; |CB| = CA = 13

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным?

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным.

Назовите стороны, углы, вершины треугольника Найти периметр?

Назовите стороны, углы, вершины треугольника Найти периметр.

Дан треугольник АВС с вершинами А(6 ; 4) В(5 ; — 3) С( — 5 ; 3)?

Дан треугольник АВС с вершинами А(6 ; 4) В(5 ; — 3) С( — 5 ; 3).

Найти величину угла А.

Назовите стороны, углы, вершины треугольника А, В, С?

Назовите стороны, углы, вершины треугольника А, В, С.

Площадь равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов равна 36 корень квадратный 3 см кв?

Площадь равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов равна 36 корень квадратный 3 см кв.

Найти стороны треугольника.

Вычеслите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в два раза больше угла при вершине?

Вычеслите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в два раза больше угла при вершине.

Угол при вершине равнобедренного треугольника на 18° меньше угла при основании ?

Угол при вершине равнобедренного треугольника на 18° меньше угла при основании .

Вычисли углы треугольника.

Начерьтите треугольник и обозначате его ?

Начерьтите треугольник и обозначате его .

Назовите : а стороны треугольника б углы треугольника в вершины треугольника.

Как это начертить : Вершины треугольника АВС лежат на окружности, с центром в точке О?

Как это начертить : Вершины треугольника АВС лежат на окружности, с центром в точке О.

Угол А = 60 градусов, углы АОВ : АОС = 3 : 5.

Найти неизвестные углы треугольника.

В прямоугольном треугольнике биссектриса и высота исходящие из вершины прямого угла образуют угол, равный 24°?

В прямоугольном треугольнике биссектриса и высота исходящие из вершины прямого угла образуют угол, равный 24°.

Найти остальные углы.

Вы зашли на страницу вопроса Найти углы треугольника с вершинами A(6 ; 7) ; B(3 ; 3) ; C(1 ; — 5)?, который относится к категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

60 — — — 100% 15 — — — ? 15 х 100 : 60 = 25% составляет число 15.

0, 349 + 0, 852 = 1, 201 1, 201>1.

0, 1(13) = 56 / 495 Пусть х = 0, 11313. , тогда 10х = 1, 1313. 1000х = 113, 1313. Уравнение : 1000х — 10х = 113 — 1 990х = 112 х = 112 / 990 х = 56 / 495 — сократили на 2 0, 8(3) = 5 / 6 Пусть х = 0, 8333. , тогда 10х = 8, 333. 100х = 83, 333. ..

(0, 1875 — 0. 45) * 0. 8 — 0, 21 : 0. 2 = = — 0, 2625 * 0, 8 — 0, 21 : 0. 2 = = — 0, 21 — 1, 05 = — 1, 26 Ответ : — 1, 26.

Натуральные числа те которые больше 0 ну а если не натуральные но целые то это все числа до 0 например — 1 — 2 — 3 — 4 и т. Д.

1)52 * 35 = 160(м2) площадь 2) 160 / 4 = 40(м2) клубника 3) 160 — 40 = 120(м2) овощи ответ : 120(м2).

1. 034 0. 02 = 51, 7 нам нужно больше символов.

Решение 1 : x — в первом бидоне 2x — молока во втором бидоне 3(x — 10) = (2× — 10) 3× — 30 = 2× — 10 x = 20 20 * 2 = 40 Ответ : 20л ; 40лРешение 2 : если х — молоко в 1 — м бидоне, то 2х во втором получаем из условия 2х — 10 = 3 * (х — 10) 2х — 10 = ..

10 , 24 (литра)в 3 сосуде.

1) 32 : 100 * 38 = 12. 16(л) — в первом сосуде 2) 32 : 100 * 30 = 9. 6(л) — во втором сосуде 3) 32 — (12. 16 + 9. 6) = 32 — 21. 76 = 10. 24(л) — в третьем сосуде.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.