Как найти углы в трапеции примеры

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

  • Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
    боковую сторону
  • Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
    диагональ
  • Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
    среднию линию и боковую сторону
  • Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
    основание и боковую сторону
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через высоту и два основания
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через два основания и боковую сторону

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Рис 1

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 3

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Рис 2

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 4

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Рис 6

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

Рис 5

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

Источник

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

На рисунке 66 изображена трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Поскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияАналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияСледовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник. 

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — высота трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияОчевидно, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПроведем высоты трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения из вершин ее тупых углов Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 70). Получили прямоугольник Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по катету и гипотенузе). Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Также Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияНо Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияпоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияи Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияСледовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как углы при основании равнобокой трапеции), Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — общая сторона треугольников Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения с основаниями Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 71). Докажите, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Доказательство:

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (доказано выше). Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПо признаку равнобедренного треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — равнобедренный. Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решениято Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения). 

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения углы при большем основании Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения равны (рис. 70), то есть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПроведем высоты Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияони равны.

2) Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по катету и противолежащему углу). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияТаким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать. 

А еще раньше…

Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — данная трапеция, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Проведем луч Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения до его пересечения с лучом Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка их пересечения. Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и секущей Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как вертикальные), Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по стороне и двум прилежащим углам), откуда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Тогда, по свойству средней линии треугольника, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения а значит, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Но так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Кроме того, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 110). Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Докажем, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то, по теореме Фалеса, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения -середина Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — середина Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения— средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия трапеции, поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.

Решение:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — данная трапеция, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — ее средняя линия, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 111).

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Обозначим Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияТогда

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию). Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и секущей Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — равнобедренный, у которого Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по признаку равнобедренного треугольника). Но Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию), значит, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Учитывая, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения получим уравнение: Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияоткуда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

4)    Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Ответ. 15 см.

А еще раньше…

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
Источник

Как найти угол в трапеции

Трапеция — это плоский четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами трапеции.

Как найти угол в трапеции

Инструкция

Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции. Пусть известны углы ∠BAD и ∠CDA, найдем углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.

Как найти угол в <b>трапеции</b>

В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC — y. Сумма углов любого треугольника равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° — 2x. В то же время из свойств трапеции: y + x + α = 180° и следовательно 180° — 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы нашли два угла трапеции: ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° — 2α.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° — 2α.

Как найти угол в <b>трапеции</b>

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Какими могут быть углы трапеции?

uglyi trapetsii

рисунок 1

Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).

То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.

Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.

Для трапеции ABCD (рисунок 1)

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.

Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:

∠A+∠B=∠C+∠D

Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как

1) 7:3:5:2?

Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.

2) 5:4:6:3?

5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.

На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.

Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?

uglyi v trapetsii

рисунок 2

Да, такая трапеция существует.

Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.

Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?

Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая c пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы при параллельных прямых и секущей

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

angle 1=angle 3;

angle 2=angle 4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{circ}.

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{circ}, то есть

angle 1+angle 6=180^{circ},

angle 4+angle 7=180^{circ}.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

angle 2=angle 6,

angle 3=angle 7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: angle ACB и angle FNM. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что angle ACB=angle FNM.

Пусть NFcap CB=D.

Тогда angle ACB=angle FDB как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

angle FDB=angle FNM, как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что angle ACB=angle FNM, что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 180{}^circ , если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: angle ACB – острый, а angle FNM – тупой. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что сумма углов angle ACB и angle FNM равна 180{}^circ .

Пусть NFcap CB=D. Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, angle ACB и angle FNK с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. angle ACB=angle FNK.

angle MNF+angle FNK=180{}^circ как смежные. Значит, angle MNF+angle ACB=180{}^circ.

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: angle 1=angle 2.

Докажем, что aparallel b. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой a.

На прямой b от точки В отложим отрезок {BH}_1 равный отрезку AH

triangle OHA=triangle OH_1B по двум сторонам и углу между ними, поэтому angle 3=angle 4 и angle 5=angle 6. Из равенства angle 3=angle 4 следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства angle 5=angle 6 следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны, например angle 1=angle 2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то angle 2=angle 3. Из этих двух равенств следует, что angle 1=angle 3 . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180{}^circ , например angle 1+angle 4=180{}^circ.

Так как углы 3 и 4 – смежные, то angle 3+angle 4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы angle KAD и angle AKB равны как накрест лежащие.

BC=BK+KC=5+14=19,

triangle ABK – равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;

P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна 180^circ .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна180{}^circ .

Мы получили, что

angle BAD+angle ABC=180^circ .

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle FAB+angle ABF=90^circ .

Из треугольника AFB получим, что AFB=90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, {AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, MNparallel AC.

Значит, angle BMN=angle BAC, как односторонние углы при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ.

triangle ABCsim triangle MBN по двум углам.

Отсюда displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC};

BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108{}^circ. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, ADparallel BC – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна 180{}^circ .

Это значит, что angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .

Из треугольника AKB получим, что angle ABK= 90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки K на прямую АВ, т.е. KH=4.

triangle AKN=triangle AKH по гипотенузе и острому углу Rightarrow KN=KH.

Аналогично, triangle BKH=triangle BKM по гипотенузе и острому углу Rightarrow KH=KM.

Получили: KN=KH=KM=4Rightarrow MN=8.

Тогда S_{ABCD}=ADcdot MN; S_{ABCD}=8cdot 7=56.

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что angle 1=120{}^circ , angle 2=60{}^circ , angle 3=55{}^circ . Найдите angle 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. aparallel b.

Рассмотрим углы при параллельных прямых aparallel b и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: angle 3=angle 4=55{}^circ.

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите angle 3, если angle 1=22{}^circ , angle 2=72{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна 180{}^circ .

Для треугольника на рисунке:

angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30{}^circ и 45{}^circ. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ, их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15{}^circ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, angle A=30{}^circ.

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ. Их сумма равна 180{}^circ , значит, angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=169{}^circ . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: AC=2ABRightarrow AO=OC=AB=CD, тогда triangle COD – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, alpha -beta =50{}^circ , то есть alpha =beta +50{}^circ .

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

alpha +beta =180{}^circ , по свойству односторонних углов.

Итак, 2beta +50{}^circ =180{}^circ.

beta =65{}^circ , тогда alpha =115{}^circ .

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

AB и DC и секущей BC; их сумма равна 180{}^circ .

BE – биссектриса угла В, значит angle ABE=angle CBE=angle BEA как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей BE. Тогда triangle ABE – равнобедренный, AB=AE=5=DC.

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит angle DCE=angle BCE=angle CED как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей CE. Тогда triangle DCE – равнобедренный и DC=DE=5.

Значит AD=AE+ED=10.

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122{}^circ. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ABparallel DC и секущей BC, их сумма равна 180{}^circ .

Значит, angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда angle ACD=58div 2=29{}^circ .

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54{}^circ . Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен 54cdot 2=108 градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен 180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.

Углы, прилежащие к боковой стороне AD трапеции, являются внутренними односторонними при ABparallel DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle A=30{}^circ . Построим высоту из вершины D. Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30{}^circ .

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в 30{}^circ и равный половине гипотенузы, т. е. h=0.5cdot AD=0.5cdot 7=3.5.

Отсюда S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h; S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. angle A=angle B; ; angle D=angle C.

По условию, angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;

angle C и angle B, прилежащие к боковой стороне CB трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
AB и DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

angle C+angle B=180{}^circ.

Получили:

left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .

Сложив два уравнения, получим: 2angle C=230{}^circ , тогда angle C=115{}^circ.

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол трапеции равен 30{}^circ . Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135{}^circ . Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 45{}^circ .

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, angle BDA=40{}^circ и angle BDC=30{}^circ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ . Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 110{}^circ .

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями AD и BC .

AD и BC параллельны, BD секущая, тогда angle ADB=angle DBC=40{}^circ .

angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит, angle BAK=angle KAD;

angle KAD=angle AKC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK.

Получили, что triangle ABK – равнобедренный и AB=BK=4.

P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20, значит AB+AD=10Rightarrow AD=6,

KC=BC-BK=6-4=2.

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите angle 3, если angle 1=117{}^circ , angle 2=24{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel n, angle 2=angle 4=24{}^circ (как накрест лежащие углы).

angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ (развернутый угол).

Тогда angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=104{}^circ . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. ACcap BD=O.

AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.

AB и CD параллельны, АС – секущая, Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .

AB=AORightarrow triangle BAO – равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти файл bashrc
  • Как найти pip в python
  • Как найти устройство по блютуз на ноутбуке
  • Как исправить юридический адрес юридического лица
  • Как найти ученика по вокалу