Содержание:
- § 1 Теорема о сумме углов треугольника
- § 2 Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники
- § 3 Краткие итоги урока
§ 1 Теорема о сумме углов треугольника
Треугольник — одна из самых распространенных фигур в геометрии. Вениамин Фёдорович Каган, русский математик ХХ века, однажды сказал: «Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике…» действительно одна из важнейших теорем геометрии гласит
Теорема: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
Докажем эту теорему. Для этого возьмем произвольный треугольник АВС. Через вершину В проведем прямую а параллельную стороне треугольника АС. Пронумеруем получившиеся углы: 1,2,3 номера углов при вершинах А, В и С соответственно, углы 4 и 5 образованы прямой а и сторонами АВ и ВС треугольника. Первый и четвертый углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых АС и а секущей АВ. Согласно теореме о накрест лежащих углах, они равны, то есть первый угол равен четвертому. Аналогично третий угол равен пятому, так как являются накрест лежащими при пересечении параллельных а и АС секущей ВС.
Сумма углов 4, 2 и 5 представляют собой развернутый угол с вершиной В, а он, как известно, равен 180 градусам. Тогда, исходя из равенства углов 1 и 4, 3 и 5, получаем, что сумма первого, второго и третьего углов равна 180 градусам. То есть угол А плюс угол В плюс угол С равно 180 градусов.
Что и требовалось доказать.
А теперь продлим сторону АС треугольника АВС и рассмотрим смежный угол угла С, такой угол называется – внешним углом треугольника.
Поскольку смежные углы составляют развернутый угол, их сумма равна 180 градусам, тогда внешний угол треугольника равен 180 градусов минус угол С. А нам теперь известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, и из этой теоремы следует, что 180 градусов минус угол С — это сумма углов А и В. Значит, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
§ 2 Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники
Представим, что в треугольнике один угол 90 градусов, тогда, согласно теореме о сумме углов в треугольнике, сумма оставшихся двух углов должна быть равна 180 — 90 = 90 градусам, из чего следует, что оставшиеся углы острые. Если же в треугольнике есть тупой угол, то есть больше 90 градусов, то оставшиеся два углы в сумме должны быть меньше 90 градусов и, значит, также будут острыми. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Поэтому в зависимости от вида угла рассматриваемый треугольник может быть:тупоугольным, если среди его углов есть тупой угол, остроугольным, если все три угла треугольника острые, или прямоугольным, если в треугольнике есть угол, равный 90 градусам.
В прямоугольном треугольнике стороны, расположенные друг к другу под прямым углом, называют катетами, а сторону, расположенную напротив угла в 90 градусов, гипотенузой.
§ 3 Краткие итоги урока
Итак, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Угол смежный с углом при вершине треугольника называется внешним углом треугольника и равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
Треугольники могут быть трёх видов: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.
Список использованной литературы:
- Атанасян, Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. –383 с.
- Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с.
Урок «Решение треугольников»
Краткое описание документа:
Видеоурок «Решение треугольников» демонстрирует, как в решении геометрических задач применяются полученные теоретические знания. В дальнейшем при изучении математики не раз будут возникать основные и промежуточные задачи, требующие умения применять знания из этого раздела. В видеоуроке рассматривается три вида задач по решению треугольников, а также продемонстрирован пример решения практической задачи с использованием знаний данной раздела математики. Задача видеоурока –формировать умение решать задачи по данной теме, закреплять имеющиеся знания. Ученикам может быть продемонстрирован данный материал перед тем, как начать решать задачи. Он может заменить объяснение учителя, а также может послужить наглядным пособием, сопровождающим объяснение учителя.
В видеоуроке используются анимационные эффекты, выделение цветом, голосовое сопровождение. Такое сочетание инструментов создает комплексное влияние на удержание внимания, на процессы запоминания.
Видеоурок начинается с названия темы. Далее разъясняется смысл понятия «решение треугольника». Отмечается, что данное понятие связано с нахождением всех его шести элементов – сторон и углов по заданным некоторым элементам. Предлагается рассмотреть решение типовых задач на решение треугольника. Для этого на экране строится треугольник АВС, стороны которого обозначены АВ=с, ВС=а, СА=b. На примере этого треугольника демонстрируется решение типовых задач.
Задача первого типа – на решение треугольника по двум его сторонам и углу, образованному ими. На рисунке отмечаются и выделяются цветом заданные элементы a, b, угол C. Необходимо найти недостающие углы А и В, а также оставшуюся неизвестной сторону с. Решение данной задачи требует применения теоремы косинусов, освоенной на предыдущих уроках. Значение длины стороны с определяется по формуле с=√(а 2 +b 2 -2аbcosC). Также используя теорему косинусов определяется косинус угла А по формуле cosA=(b 2 +c 2 -a 2 )/2bc. Величину оставшегося угла можно найти, используя теорему о сумме углов треугольника ∠В=180°-∠А-∠С.
Вторая задача состоит в поиске неизвестного угла и двух сторон по известным двум углам и стороне, к которой они прилежат. На экране демонстрируется треугольник АВС, в котором выделены известная сторона а, а также углы ∠С и ∠В. Неизвестный угол легко находится по теореме суммы углов в треугольнике ∠А=180⁰-∠В-∠С. Для нахождение длин сторон можно использовать известную школьникам теорему синусов. Применяя ее, получаем b=а·sinВ/ sinА и с= а·sinС/ sinА
В задаче третьего вида требуется найти углы треугольника, в котором известны три его стороны. На экране построен треугольник АВС. В нем отмечены стороны а, b, c. Для вычисления величины предлагается применить теорему косинусов. Из нее следует, что cosA=(b 2 +c 2 -a 2 )/2bc, cosВ=( a 2 +c 2 — b 2 )/2аc. Для нахождения угла С можно применить теорему о сумме углов треугольника ∠С=180⁰-∠А-∠В.
В качестве примера для закрепления материала рассматривается решение задачи, в которой футболист бьет мячом по воротам, от одного основания которых до места удара 23 м, а от второго основания – 24 м. Линия ворот вместе линиями, проведенными от игрока до снований ворот, составляет треугольник с игроком в вершине А и основаниями ворот в вершинах В и С. Известно, что ширина ворот 7 м. Необходимо найти величину угла α, который составляет угол попадания мяча в ворота. Уточняется, что сторонами данного треугольника будут с=АВ=23 м, b=АС=24 м, а=ВС=7 м. Очевидно, для решения данного треугольника следует применить теорему косинусов cosA=(b 2 +c 2 -a 2 )/2bc=(24 2 +23 2 -7 2 )/2·24·23. По таблице косинусов находится значение угла α≈16⁰57‘.
Видеоурок «Решение треугольников» поможет поднять эффективность традиционного урока в школе. Также данный материал может помочь ученику самостоятельно освоить материал, углубить его понимание. Наглядное пособие пригодится и в ходе дистанционного обучения.
Решение треугольников
Корзина
Треугольник ΔABC,
a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,
A =
CAB,
B =
ABC,
C =
BCA − углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.
Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».
Теоретический урок для решения задач по теме «Решение треугольников». Бесплатное обучение.
Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:
- – задачи 76 — 77 представлены с примерами решений и ответами;
- – онлайн задания, как найти решение треугольника через синус и косинус угла, рассматриваются в тестах 78 — 81;
- – решения, как найти угол, сторону треугольника, объясняются на данном уроке в контрольных работах 82 — 85.
Задача 76.
Дано:
стороны треугольника a=10, b=7
Угол
A = 60°
Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника
B,
C, сторону c
, получаем выражение
Sin B =
=
=
=
≈ 0,6062
Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы («Четырехзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса)
B = 37°19’
Тогда
C = 180° — (60° + 37°19’) = 82°41’
Используя теорему синусов
, получаем равенство
с=
≈ 11
Ответ:
B = 37°19’;
C = 82°41’; c ≈ 11
Задача 77.
Треугольник ΔABC, стороны треугольника
C = 54°
Найти: Угол по сторонам треугольника
A,
B, сторону c
Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC — равнобедренный.
Тогда
A =
B = (180° — 54°): 2 = 63°
Используя теорему синусов
, получаем равенство
с =
=
≈ 5,7
Ответ:
A =
B = 63°; с ≈ 5,7
Решение треугольников через синус и косинус угла
Задача 78.
A = 60°
B = 40°
Найти: угол треугольника
C, стороны a,b
C = 180° — (40° + 60°) = 80°
Используя теорему синусов
, получаем выражение
a =
≈ 12
b =
≈ 9
Ответ:
C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9
Задача 79.
Дано:
Найти: углы треугольника
A,
B,
C по сторонам
, находим косинус угла B
Cos B =
=
=
=
≈ 0,0998263
Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла B
B = 84°16’
Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C
Cos C =
=
=
=
≈ 0,7562785
Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла C
C = 40°52’
Тогда угол A равен
A =180° — (40°52’ + 84°16’) = 54°52’
Ответ:
A = 54°52’ ;
C = 40°52’ ;
B = 84°16’
Задача 80.
A = 30°
C = 75°
Найти: угол
B, стороны треугольника a,c
B = 180° — (30° + 75°) = 75°
Т.к. два угла в треугольнике равны
B =
C = 75°, тогда треугольник ΔABC — равнобедренный.
Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5
Используя теорему синусов
,
находим сторону BC=a
a =
≈ 2,3
Ответ:
B = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5
Задача 81.
Треугольник ΔABC, длины трех его сторон
Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным
1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC — равнобедренный, и, значит, остроугольный.
2) Используя формулу теоремы косинусов
, находим косинус угла A
Cos A =
=
=0
Тогда угол A равен
A = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC — прямоугольный.
3) Используя формулу теоремы косинусов
, находим косинус угла B
Cos B =
=
= —
Дано:
Треугольник ΔABC, два угла и сторона
A = 45°
C = 30°
Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?
Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий угол
B = 180° — (30° + 45°) = 105°
Найдем угол
DAB и рассмотрим ΔADC
DAB = 180° — (90° + 45 + 30°) = 15°
DAC = 15° + 45° = 60°
Используя теорему синусов
, находим сторону AC
AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)
Используя теорему синусов
, находим сторону AB
AB =
≈ 3 (м)
Используя теорему синусов
, находим сторону BC
BC =
≈ 4 (м)
Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.
Задача 83.
Три стороны a = 14, b = 18,
все углы треугольника ΔABC = ?
Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов
Cos C =
, находим косинус угла C
Cos C =
=
≈ 0,24
Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C
C ≈ 76°07’
Используя формулу теоремы косинусов
Cos B =
, находим косинус угла B
Cos B =
=
=
≈ 0,4857
Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B
B ≈ 60,941 ≈ 60°57’
Следовательно,
A = 180° — (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’
Ответ:
A ≈ 42°56’ ;
B ≈ 60°57’ ;
C ≈ 76°07’
Задача 84.
Треугольник ΔEKP, сторона и два угла
P = 40°
K = 25°
Найти: сторону треугольника PK = ?
Используя теорему синусов
, находим сторону PK
E = 180° — (40° + 25°) =115°
Sin 115° = Sin (180° — 65°) = Sin 65°
Тогда
PK =
≈ 1,61
Задача 85.
Треугольник ΔABC, две стороны и угол
A = 50°
Найти: решить треугольник — определить значение стороны и двух углов
(a,
B,
C ) = ?
Используя формулу теоремы косинусов
, получаем
a =
=
≈ 13,8
Используя формулу теоремы косинусов
Cos C =
, находим косинус угла C
Cos C =
=
≈ 0,7457
Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C
C ≈ 41°47’
Следовательно,
B = 180° — (50° + 41°47’) ≈ 88°13’
Ответ: a ≈ 13,8 ;
B ≈ 88°13’ ;
C ≈ 41°47’
http://www.petrovskov.ru/uchebniki/geometriya-9/reshenie-treugolnikov.html
Главная > Геометрия 7 класс > Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника — видеоурок
На этом видео уроке по геометрии для 7 класса объясняется чему равна сумма углов в треугольнике, решаются задачи из учебника Атанасяна
Цифровая библиотека
Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Например: формулы сокращенного умножения
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?
Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!
Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку
персональных данных
Видеоурок: Сумма углов треугольника
Треугольники
-
Видеоурок 15. Геометрия 7 класс
Предыдущий урок
Третий признак равенства треугольников
Треугольники
Следующий урок
Задачи на построение
Геометрические построения
Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока
Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.