Как найти угод между прямыми

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Угол между прямыми в пространстве



2.5.7. Как найти угол между прямыми?

Новая картинка за очередным поворотом:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается

МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом

между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед  или

отрицательно ориентированный «малиновый» угол . Если прямые

перпендикулярны, то за угол между ними можно принять любой из 4 углов.
…что-то не понятно? Срочно изучаем Приложение Тригонометрия!

Однако ещё раз: чем отличаются углы ? Ориентацией (направлением «прокрутки» угла).

Напоминаю, что отрицательно ориентированный угол «прокручивается» по часовой стрелке и записывается со знаком «минус».

Следует отметить, что ориентацию угла часто не принимают во внимание, и рассматривают «просто угол», который .

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют три основные формулы.

Способ первый. Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе

координат:

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то прямые не перпендикулярны и ориентированный угол  между ними можно вычислить с помощью

формулы:

Знаменатель этой формулы – в точности, скалярное произведение направляющих векторов: ,

которое равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. …надеюсь, не забыли.

Задача 83

Найти угол между прямыми , заданными в декартовой системе координат.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

И с помощью обратной функции (см. Приложение Тригонометрия) легко найти сам угол, при этом используем нечётность арктангенса:

Ответ:

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью

калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного, вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи «первым номером» идёт прямая  и «открутка» угла началась именно с неё. Если очень хочется получить положительное значение, то нужно

поменять прямые местами, то есть коэффициенты  взять из второго уравнения , а коэффициенты  – из первого уравнения . Короче

говоря, начать нужно
с прямой .

Скрывать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.

Способ второй, он удобен, когда прямые заданы уравнениями с

угловым коэффициентом:  (в декартовых координатах).

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то ориентированный угол  между ними можно найти с помощью формулы:
, и на самом деле это частный случай предыдущей формулы.

К слову, из равенства  следует полезная взаимосвязь угловых

коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых

задачах.

Решим Задачу 83 вторым способом, для этого перепишем прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты: , и алгоритм похож:

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Используем формулу:

Ответ:

И третий способ состоит нахождении угла между направляющими векторами прямых с помощью скалярного произведения: , но здесь не принимается во внимание ориентация угла (по любому получится ). Кроме того, он может оказаться тупым, и тогда придётся делать оговорку, что угол между

прямыми – это меньший угол, и из  радиан (не из !) вычитать получившийся арккосинус.

Какой способ выбрать? Ориентируйтесь на вашу задачу, методичку или ситуацию.

Задача 84

Найти угол между прямыми .

Самостоятельно, всеми тремя способами! Решение и ответ в конце книги.

И по просьбам учащихся ещё один пункт:

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Угол между прямыми на плоскости

Определение.
Углом между прямыми называется наименьший
из двух смежных углов, образованных
этими прямыми.

Для
решения вопроса о нахождении угла между
прямыми достаточно заменить прямые их
направляющими векторами и находить
острый угол между векторами.

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂

заданы общими уравнениями в прямоугольной
декартовой системе координат О
:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Направляющие
векторы этих прямых имеют координаты

₁(В₁,
– А₁)
и

₂(В₂,
– А₂).
Пусть угол между прямыми равен .
Тогда

cos
=

или

cos
=

.
(7)

При
решении задач часто сталкиваемся с
нахождением угла между прямыми, когда
прямые ℓ₁
и ℓ₂

задаются
уравнениями с угловым коэффициентом
(не забываем, что прямые ℓ₁
и ℓ₂

не параллельны оси Оу):

ℓ_1:


,

ℓ_2:


.

Если
переписать эти уравнения в общем виде,
то получим

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Соответственно,
их направляющие векторы

₁(1,
k₁)
и

₂(1,
k₂),
и формула (7) принимает вид:

cos
=

.

Более
интересна формула для угла между прямыми
ℓ₁
и ℓ₂
:

=

.

Действительно,

,

(см. рисунок). Тогда
один из углов между прямыми ℓ₁
и ℓ₂
:

= |
|.
Так как

=
|

|
= |
|,

то

=

.

Замечание.
Если ℓ₁
ℓ₂,
то

– не существует и

= –1.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂

заданы общими уравнениями в О


:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Вопрос
о взаимном расположении двух прямых
можно решить алгебраическим путем, а
именно, исследуя решение системы линейных
уравнений

Как
известно, система имеет единственное
решение только в единственно случае,
когда коэффициенты при неизвестных не
пропорциональны

.
Следовательно,

1.
ℓ₁

ℓ₂




ℓ₁

ℓ₂



.

2.
ℓ₁||ℓ₂

ℓ₁

ℓ₂



(


).

3.
ℓ₁
=
ℓ₂



=

( прямые совпадают).

Расстояние от точки до прямой

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
Выберем произвольно точку М₀(
)
и найдем расстояние от точки М₀
до прямой ℓ.

Из
точки М₀
опустим
перпендикуляр на прямую ℓ
и обозначим
основание
перпендикуляра
М₁(
).
Так как М₁

ℓ, то

= 0 и

С
= – (
).
(8)

Искомое
расстояние равно |М₁М₀|.
С другой стороны

||

и, следовательно, угол 
между ними равен или 0, или .

Поэтому:

(
,

)
= |
|
|
|cos
= 
|
|
|
|
= 
|
|
.

Запишем
полученное равенство в координатной
форме.

Имеем:

(
.

Поэтому,
учитывая (8) получим:

(
,

)
=

=

=

.

Учитывая,
что скалярное произведение векторов
может быть отрицательным, будем
рассматривать его по абсолютной величине
и находим

|
|

= |
|,

|М₁М₀|
=

.
(9)

Знак
трехчлена Ах
+ Ву + С

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
От произвольной точки

прямой
ℓ откладываем представитель

вектора

.

Как
известно прямая ℓ разбивает плоскость
на две открытые полуплоскости, которые
обозначим 
и ,
причем полуплоскость 
содержит отрезок

.

Тогда,
как нетрудно заметить, если точка М(
)
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

и

будет острый. Если точка М
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

и

будет тупой. Рассматривая скалярные
произведения этих векторов, получим:

1. Если
   точка М
   расположена в полуплоскости ,
   то (
   ,
   
   )
   > 0.

2. Если
   точка М
   расположена
   в полуплоскости ,
   то (
   ,

   )
   < 0.

Записывая
1 и 2 в координатной форме, получим:

М



>
0,

М



<
0.

Учитывая,
что точка


ℓ, (см (8)) получим:

М




> 0, (10)

М




< 0. (11)

Таким
образом, строгие неравенства (10), (11)
являются уравнениями открытых
полуплоскостей. Если неравенства
нестрогие, т.е.

≥ 0,
(12)

 0.
(13),

то
они являются уравнениями полуплоскостей
(вместе с граничной прямой ℓ).

Пример.
В прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости заданы точки:
А(2; −1), В(−1;
3), С(4; −5).

1)
Составить уравнения прямой АВ
в канонической,
параметрической и общей формах. Определить
координаты ее нормального вектора.

2)
Определить угловой коэффициент прямой
(АС)
и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.

3)
Найти косинус угла между прямыми (АВ)
и (АС).

4)
Найти длину высоты треугольника АВС,
проведенной из вершины С и составить
уравнение прямой, содержащей этот
отрезок.

Решение.
1. Прямую (АВ)
можно задать точкой А(2;
−1) и вектором

,
тогда каноническое и параметрическое
задания данной прямой будут выглядеть
следующим образом:

(1)

и

где

R.
(2)

Из
канонического уравнения (1) равносильными
переходами получим ее общее уравнение:

,

.
(3)

Из
уравнения (3) найдем координаты нормального
вектора этой прямой:

.

2.
Аналогично пункту (1) можно получить
общее уравнение прямой (АС):
2x
+ y
− 3 = 0.

Откуда

y
= −2x
+ 3.

Следовательно,
угловой коэффициент этой прямой k
= − 2.

Уравнение
прямой (АС)
запишем в виде: 2x
+ y
= 3 и, разделив
обе части уравнения на 3, получим

.

Мы
получили уравнение прямой в отрезках.
Отсюда находим точки пересечения прямой
с осями координат:

,
B(0;3)

3.
Для нахождения косинуса угла между
прямыми (АВ)
и (АС)
используем следующую формулу:

,

где

–угл между прямыми,
k₁,
k₂
– угловые коэффициенты данных прямых.
Во второй части задания мы нашли k₂
= −2.

Общее
уравнение прямой (АВ)
получено в первой части задания:

4x
+ 3y
− 5 = 0, откуда

и k₁=

.

Следовательно,

.

Итак,

.

4
.

Длину
высоты

можно рассматривать как расстояние от
точки С(4;−5).до прямой (АВ):

.

Т

H

аким образом,

.
Формула расстояния от точки до прямой
известна:

.

Следовательно,

.

Итак,
|CH|=0,8.

Прямую
(CH)
можно задать точкой С(4;
-5) и нормальным
вектором

.
Поэтому −3
∙(x
− 4) + 4 ∙(y
+5)=0,

3x
— 4y
– 32 = 0 –
уравнение прямой (CH).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.

Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.

1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
 

Рис. (3). Параллельные прямые.

Рис. (4). Пересекающиеся прямые.

Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
 Теорема доказана.