Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая
из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует
определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми.
Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как
прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная
определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как
линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.
- Угол треугольника через три стороны
- Угол прямоугольного треугольника через две стороны
- Угол треугольника через высоту и катет
- Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и боковую сторону - Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и основание - Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника
через биссектрису и боковую сторону - Острый угол прямоугольного треугольника через катет и
площадь - Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного
треугольника через площадь и боковую сторону
Угол треугольника через три стороны
Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно
теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его
сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за
предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β).
Из полученного равенства можно вычислить
cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) /
2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb
где a, b, c — стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21.
Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если
Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.
Угол прямоугольного треугольника через две стороны
Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти
один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.
sin(α) = cos (β) = a / c
sin(β) = cos (α) = b / c
tg(α) = ctg(β) = a
/ b
tg(β) = ctg(α) = b / a
где a, b — катеты, c — гипотенуза.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c =
15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление
тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9. По таблице Брадиса, угол
α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В
этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.
Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь
Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади
прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим
образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для
нахождения угла будет следующая:
tg(α) = a² / 2S
где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132.
Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.
Угол треугольника через высоту и катет
В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из
катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h.
Второй катет a остается со своим обычным названием.
sin α = h / a
где h — высота, a — катет.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание
Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC
на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих
половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α
= γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый
равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и
равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для
треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:
tg α = L / (a/2)
где L — биссектриса, a — основание.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу
получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB =
BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку
пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание
поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK).
Согласно свойствам внешнего угла:
sin α = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в
формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и
углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и
пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того,
биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA
и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения
угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например,
на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы,
прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла
через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC,
которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также
поделила пополам).
2cos(β) = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64
см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º
Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую
сторону
Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh, где b – это
основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два
прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону
будет следующая:
sin(α) = 2S / b²
где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно
вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º
Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°.
Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления
углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы
треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и
использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся
неизвестные.
Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять
данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.
Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).
Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.
Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co
Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.
Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.
Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.
Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.
Итак,
Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.
Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.
Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?
Дан треугольник АВС, угол С — прямой.
Стороны АВ, АС и ВС известны.
Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.
Другие углы можно найти, например, так:
если известен катет и гипотенуза
sinA = BC / AB,
sinB = AC / AB,
если известны два катета
tg A = BC / AC
tg B = AC / BC
Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.
Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.
Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.
sin 15° = 0,259
arcsin0,259 = 15°
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?
Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.
Еединичная окружность (единичный круг)
Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).
Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).
Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).
Координатные четверти отсчитываются так:
y
|
|
(II четверть) | (I четверть)
|
________________________ x
|0
|
(III четверть) | (IV четверть)
|
|
Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).
Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).
Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).
Например:
- углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
- углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
- углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
- углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.
Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.
Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.
Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.
Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.
Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.
Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.
Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.
Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.
Как найти синус угла, если известен косинус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
sin2a = 1 − cos2a
|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)
sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти косинус угла, если известен синус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 − sin2a
|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)
cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти синус угла, если известен котангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + ctg2 a = 1/sin2 a
sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)
|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)
Как найти косинус угла, если известен тангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + tg2 a = 1/cos2 a
cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)
|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)
Тригонометрическое тождество
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.
Основные тригонометрические тождества:
sin2a + cos2a = 1
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sin a
Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)
- arcsin — читается: арксинус;
- arcos — читается: арккосинус;
- arctg — читается: арктангенс;
- arcctg — читается: арккотангенс.
arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.
Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:
y = arcsin x sin y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:
y = arccos x cos y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Например,
sin 30° = 0,5
arcsin0,5 = 30°
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называется синусоидой.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
Источники информации:
- Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
- В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
- docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
- ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
- ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?
Как найти углы прямоугольного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти углы прямоугольного треугольника
Чтобы найти углы прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для угла α:
- угол β
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- для угла β:
- угол α
- длины катетов a и b
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти угол α зная угол β и наоборот
Если ∠β = , то ∠α =
0
Если ∠α = , то ∠β =
0
Формула
α = 90° — β
β = 90° — α
Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты
Катет a =
Катет b =
∠α =
0
∠β =
0
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?
Формулы
или так:
α = arctg(a/b)
β = arctg(b/a)
Пример
Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:
∠α = arctg(5/2) = arctg(2.5) ≈ 68.2°
∠β = arctg(2/5) = arctg(0.4) ≈ 21.8°
Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Гипотенуза c =
Катет =
∠α =
0
∠β =
0
Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?
Формулы
sin(α) = a/c
sin(β) = b/c
cos(α) = b/c
cos(β) = a/c
или так:
α = arcsin(a/c) = arccos(b/c)
β = arcsin(b/c) = arccos(a/c)
Пример
Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если гипотенуза c = 6 см, а катет b = 3 см:
∠α = arccos(3/6) = arccos(0.5) = 60°
∠β = arcsin(3/6) = arcsin(0.5) = 30°
См. также
Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника
Треугольник, один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольника не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.
Инструкция
Используйте для вычисления величин углов (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник. Такое определение, например, для синуса острого угла формулируется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если известны длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию — арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину другого острого угла в треугольнике, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольника всегда составляет 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.
Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.
Можно воспользоваться аналогичным определением тангенса — он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию — арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти угол альфа формула
Содержание
- Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
- Угол поворота
- Числа
- Тригонометрические функции углового и числового аргумента
- Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Мысленно поместим результирующий вектор возбуждения желудочков внутрь треугольника Эйнтховена. Угол, образованный направлением результирующего вектора и осью I стандартного отведения, и есть искомый угол альфа.
Величину угла альфа находят по специальным таблицам или схемам, предварительно определив на электрокардиограмме алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса (Q + R + S) в I и III стандартных отведениях. Найти алгебраическую сумму зубцов желудочкового комплекса достаточно просто: измеряют в миллиметрах величину каждого зубца одного желудочкового комплекса QRS, учитывая при этом, что зубцы Q и S имеют знак минус (—), поскольку находятся ниже изоэлектрической линии, а зубец К — знак плюс (+). Если какой-либо зубец на электрокардиограмме отсутствует, то его значение приравнивается к нулю (0).
Далее, сопоставляя найденную алгебраическую сумму зубцов для I и III стандартных отведений, по таблице определяют значение угла альфа. В нашем случае он равен минус 70°. Таблица определения положения электрической оси сердца (по Дьеду)
Таблица определения угла альфа
Если угол альфа находится в пределах 50—70°, говорят о нормальном положении электрической оси сердца (электрическая ось сердца не отклонена), или нормограмме. При отклонении электрической оси сердца вправо угол альфа будет определяться в пределах 70—90°. В обиходе такое положение электрической оси сердца называют правограммой.
Если угол альфа будет больше 90° (например, 97°), считают, что на данной ЭКГ имеет место блокада задней ветви левой ножки пучка Гиса. Определяя угол альфа в пределах 50—0° говорят об отклонении электрической оси сердца влево, или о левограмме. Изменение угла альфа в пределах 0 — минус 30° свидетельствует о резком отклонении электрической оси сердца влево или, иными словами, о резкой левограмме. И наконец, если значение у г л а альфа будет меньше минус 30° (например, минус 45°) — говорят о блокаде передней ветви левой ножки пучка Гиса.
Пределы отклонения электрической оси сердца
Определение отклонения электрической оси сердца по углу альфа с использованием таблиц и схем производят в основном врачи кабинетов функциональной диагностики, где соответствующие таблицы и схемы всегда под рукой. Однако определить отклонение электрической оси сердца можно и без необходимых таблиц. В этом случае отклонение электрической оси находят по анализу зубцов R и S в I и III стандартных отведениях. При этом понятие алгебраической суммы зубцов желудочкового комплекса комплекса QRS, заменяют визуально понятием «определяющий зубец» сопоставляя по абсолютной величине зубцы R и S . Говорят о «желудочковом комплексе R-типа», подразумевая, что в данном желудочковом комплексе более высоким является зубец К. Напротив, в «желудочковом комплексе S-типа» определяющим зубцом комплекса QRS является зубец S.
Сопоставление зубцов К и 3 комплекса QRS
Если на электрокардиограмме в I стандартном отведении желудочковый комплекс представлен R-типом, а комплекс QRS в III стандартном отведении имеет форму S-типа, то в данном случае электрическая ось сердца отклонена влево (левограмма).
Схематично это условие записывается как RI-SIII.
Визуальное определение электрической оси сердца
. Левограмма Напротив, если в I стандартном отведении мы имеем S-тип желудочкового комплекса, а в III отведении R-тип комплекса QRS, то электрическая ось сердца отклонена вправо (правограмма). Упрощенно это условие записывается как SI-RIII.
Визуальное определение электрической оси сердца
. Правограмма Результирующий вектор возбуждения желудочков расположен в норме во фронтальной плоскости так, что его направление совпадает с направлением оси II стандартного отведения.
Нормальное положение электрической оси сердца
(нормограмма) На рисунке видно, что амплитуда зубца R во II стандартном отведении наибольшая. В свою очередь зубец К в I стандартном отведении превосходит зубец RIII. При таком условии соотношения зубцов R в различных стандартных отведениях мы имеем нормальное положение электрической оси сердца (электрическая ось сердца не отклонена). Краткая запись этого условия — RII>RI>RIII.
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
(lacktriangleright) Основные тождества: [egin <|l|l|>hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 &(sinalpha
e 0, cosalpha
e 0)[0.5ex] hline & mathrm, alpha=dfrac<sin alpha> <cos alpha>&mathrm, alpha =dfrac<cos alpha> <sin alpha>& 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 <cos^2 alpha>& 1+mathrm^2, alpha=dfrac1<sin^2 alpha>& (cosalpha
e 0)& (sinalpha
e 0) hline end]
(lacktriangleright) Формулы сложения углов: [egin <|l|r|>hline & sin<(alphapm eta)>=sinalphacdot cosetapm sinetacdot cosalpha & cos<(alphapm eta)>=cosalphacdot coseta mp sinalphacdot sineta & hline & mathrm, (alphapm eta)=dfrac<mathrm, alphapm mathrm, eta><1 mp mathrm, alphacdot mathrm, eta> & mathrm, (alphapmeta)=-dfrac<1mp mathrm, alphacdot mathrm, eta><mathrm, alphapm mathrm, eta>& cosalphacoseta
e 0&sinalphasineta
e 0 hline end]
(lacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [egin <|lc|cr|>hline sin <2alpha>=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos<2alpha>=cos^2alpha -sin^2alpha sin alphacos alpha =dfrac12sin <2alpha>&& & cos<2alpha>=2cos^2alpha -1 & & & cos<2alpha>=1-2sin^2 alpha hline &&& mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>&&& cosalpha
e 0, cos2alpha
e 0 &&& sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0 hline &&& sin <3alpha>=3sin alpha -4sin^3alpha && & cos<3alpha>=4cos^3alpha -3cos alpha&&& hline end]
(lacktriangleright) Формулы понижения степени: [egin <|lc|cr|>hline &&& sin^2alpha=dfrac<1-cos<2alpha>>2 &&& cos^2alpha=dfrac<1+cos<2alpha>>2&&& hline end]
(lacktriangleright) Формулы произведения функций: [egin <|c|>hline sinalphasineta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>-cos<(alpha+eta)>igg)\ cosalphacoseta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>+cos<(alpha+eta)>igg)\ sinalphacoseta=dfrac12igg(sin<(alpha-eta)>+sin<(alpha+eta)>igg)\ hline end]
(lacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [egin <|l|r|>hline & sin<2alpha>=dfrac<2mathrm, alpha><1+mathrm^2, alpha> & cos<2alpha>=dfrac<1-mathrm^2, alpha><1+mathrm^2, alpha>& cosalpha
e 0 & sinalpha
e 0 hline end]
(lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай> hline sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
ight)>\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
ight)>\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
ight)>\ hline ext<Общий случай> hline asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\ hline end]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
(lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) . Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(coseta;sineta)) .
Рассмотрим ( riangle AOB: angle AOB=alpha-eta) . По теореме косинусов:
(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot cos(alpha-eta)=1+1-2cos(alpha-eta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)) :
Отсюда и получается наша формула.
(lacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)) :
разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacoseta
e 0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=mp mathrm,eta) , при (coseta=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=pm mathrm,alpha) ):
Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacoseta
e 0) .
5) Аналогично, только делением на (sinalphasineta
e 0) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
(lacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) (sin 2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)
Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,2alpha=0) ):
Таким образом, эта формула верна только при (cosalpha
e 0) , а также при (cos2alpha
e 0) (чтобы существовал сам (mathrm,2alpha) ).
По тем же причинам при (sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0) .
5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot 2sinalphacosalpha=)
6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)
(lacktriangleright) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow cos^2alpha=dfrac<1+cos2alpha>2)
2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow sin^2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .
(lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
(lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
(lacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0) ):)
2) Так же, только делением на (sin^2alpha) , выводится формула для косинуса.
(lacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение (asin x+bcos x) . Домножим и разделим это выражение на (sqrt,) :
(asin x+bcos x=sqrtleft(dfrac a<sqrt>sin x+ dfrac b<sqrt>cos x
ight)=sqrtig(a_1sin x+b_1cos xig))
Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1) , т.к. (left(dfrac a<sqrt>
ight)^2+left(dfrac b<sqrt>
ight)^2=dfrac=1)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:
(sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)
Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]
(lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
ight))
(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
ight))
(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac<sqrt3>2cos x
ight)=2,sinleft(xpmdfrac<pi>3
ight))