Как найти угол бета косинус

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Косинус угла. Таблица косинусов.

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Косинус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция — arccos(y)=x

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

(1)  Основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1

(2)  Основное тождество через тангенс и косинус (3)  Основное тождество через котангенс и синус

(4)  Соотношение между тангенсом и котангенсом tg(α)ctg(α) = 1 (5)  Синус двойного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (6)  Косинус двойного угла cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α) (7)  Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α) 1 – tg2(α)

(8)  Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg2(α) – 1   2ctg(α)

(9)  Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α) (10)  Косинус тройного угла cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α) (11)  Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12)  Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13)  Тангенс суммы/разности (14)  Котангенс суммы/разности (15)  Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β)) (16)  Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β)) (17)  Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β)) (18)  Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19)  Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β)) (20)  Разность косинусов cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21)  Сумма/разность тангенсов

(22)  Формула понижения степени синуса sin²(α) = ½(1 – cos(2α)) (23)  Формула понижения степени косинуса cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

 Сумма/разность синуса и косинуса (25)  Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26)  Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27)  Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(blacktriangleright) Основные тождества: [begin{array}{|l|l|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm{tg}, alpha cdot
mathrm{ctg}, alpha =1 \
&(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex]
hline &\
mathrm{tg}, alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}
&mathrm{ctg}, alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha} \&\
1+mathrm{tg}^2, alpha =dfrac1{cos^2 alpha} & 1+mathrm{ctg}^2, alpha=dfrac1{sin^2 alpha}\&\
(cosalphane 0)& (sinalphane 0) \
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{(alphapm beta)}=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot
cosalpha & cos{(alphapm beta)}=cosalphacdot cosbeta mp
sinalphacdot sinbeta\ &\
hline &\
mathrm{tg}, (alphapm beta)=dfrac{mathrm{tg}, alphapm
mathrm{tg}, beta}{1 mp mathrm{tg}, alphacdot
mathrm{tg}, beta} & mathrm{ctg}, (alphapmbeta)=-dfrac{1mp mathrm{ctg}, alphacdot mathrm{ctg}, beta}{mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta}\&\
cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin{array}{|lc|cr|}
hline sin {2alpha}=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos{2alpha}=cos^2alpha -sin^2alpha\
sin alphacos alpha =dfrac12sin {2alpha} && & cos{2alpha}=2cos^2alpha -1\
& & & cos{2alpha}=1-2sin^2 alpha\
hline &&&\
mathrm{tg}, 2alpha = dfrac{2mathrm{tg},
alpha}{1-mathrm{tg}^2, alpha} && & mathrm{ctg}, 2alpha
= dfrac{mathrm{ctg}^2, alpha-1}{2mathrm{ctg}, alpha}\&&&\
cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0,
sin2alphane 0\
hline &&&\
sin {3alpha}=3sin alpha -4sin^3alpha && &
cos{3alpha}=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sin^2alpha=dfrac{1-cos{2alpha}}2 &&&
cos^2alpha=dfrac{1+cos{2alpha}}2\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin{array}{|c|}
hline \
sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}-cos{(alpha+beta)}bigg)\\
cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}+cos{(alpha+beta)}bigg)\\
sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin{(alpha-beta)}+sin{(alpha+beta)}bigg)\\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы суммы/разности функций: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sinalpha+sinbeta=2sin{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&&
sinalpha-sinbeta=2sin{dfrac{alpha-beta}2}cos{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
cosalpha+cosbeta=2cos{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&& cosalpha
-cosbeta=-2sin{dfrac{alpha-beta}2}sin{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
mathrm{tg}, alpha pm mathrm{tg},
beta=dfrac{sin{(alphapmbeta)}}{cosalphacosbeta} &&&
mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta= — dfrac{sin{(alphapm beta)}}{sinalphasinbeta}\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{2alpha}=dfrac{2mathrm{tg}, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha} & cos{2alpha}=dfrac{1-mathrm{tg}^2, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha}\&\
cosalphane 0 & sinalphane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin{array}{|c|}
hline text{Частный случай}\
hline \
sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot
sin{left(alphapm dfrac{pi}4right)}\\
sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin{left(alphapm dfrac{pi}6right)}\\
sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin{left(xpm dfrac{pi}3right)}\\
hline text{Общий случай}\
hline\
asinalphapm bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}cdot sin{(alphapm
phi)}, cosphi=dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}, sinphi=dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}\\
hline
end{array}]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos{(alpha
-beta)}=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

Рассмотрим (triangle AOB: angle AOB=alpha-beta). По теореме косинусов:

(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot
cos(alpha-beta)=1+1-2cos(alpha-beta) (1))  (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Отсюда и получается наша формула.

(blacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)):

1) (cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

3) (sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)+sin(-beta)cosalpha=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

4) (mathrm{tg},(alphapmbeta)=dfrac{sin (alphapmbeta)}{cos
(alphapmbeta)}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbetampsinalphasinbeta}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacosbetane
0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=mp mathrm{ctg},beta), при (cosbeta=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=pm mathrm{ctg},alpha)):

(=dfrac{mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta}{1mpmathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta})

Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacosbetane 0).

5) Аналогично, только делением на (sinalphasinbetane 0), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

(blacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) (sin
2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)

2) (cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalphacosalpha-sinalphasinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha)

Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

2.1) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=cos^2alpha-(1-cos^2alpha)=2cos^2alpha-1)

2.2) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=(1-sin^2alpha)-sin^2alpha=1-2sin^2alpha)

3) (mathrm{tg},2alpha=dfrac{sin2alpha}{cos2alpha}=dfrac{2sinalphacosalpha}{cos^2alpha-sin^2alpha}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm{tg},2alpha=0)):

(=mathrm{tg},2alpha=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1-mathrm{tg}^2,alpha})

Таким образом, эта формула верна только при (cosalphane 0), а также при (cos2alphane 0) (чтобы существовал сам (mathrm{tg},2alpha)).

4) (mathrm{ctg},2alpha=dfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{2sinalphacosalpha}=dfrac{mathrm{ctg}^2,alpha-1}{2mathrm{ctg},alpha})

По тем же причинам при (sinalphane 0, sin2alphane 0).

6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)

(blacktriangleright) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow
cos^2alpha=dfrac{1+cos2alpha}2)

2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow
sin^2alpha=dfrac{1-cos2alpha}2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1).

(blacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

(cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

(cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

Получим: (cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cosalphacosbeta
Rightarrow
cosalphacosbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

(sinalphasinbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)Big))

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)

(sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

Получим: (sinalphacosbeta=dfrac12Big(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)Big))

(blacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+beta=x, alpha-beta=y). Тогда: (alpha=dfrac{x+y}2, beta=dfrac{x-y}2). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

1) (2cos{dfrac{x+y}2}cos{dfrac{x-y}2}=cos x+cos y)

Получили формулу суммы косинусов.

2) (2sin {dfrac{x+y}2}sin {dfrac{x-y}2}=cos y-cos x)

Получили формулу разности косинусов.

3) (2sin {dfrac{x+y}2}cos {dfrac{x-y}2}=sin y+sin x)

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

(sin x-sin y=sin x+sin(-y)=2sin {dfrac{x-y}2}cos
{dfrac{x+y}2})

5) (mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta=dfrac{sinalpha}{cosalpha}pmdfrac{sinbeta}{cosbeta}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbeta}=dfrac{sin(alphapmbeta)}{cosalphacosbeta})

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

(blacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

1) (sin2alpha=dfrac{sin2alpha}1=dfrac{2sinalphacosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=)

(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0)):)

(=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg}^2,alpha})

2) Так же, только делением на (sin^2alpha), выводится формула для косинуса.

(blacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение (asin x+bcos x). Домножим и разделим это выражение на (sqrt{a^2+b^2},):

(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}sin x+
dfrac b{sqrt{a^2+b^2}}cos x right)=sqrt{a^2+b^2}big(a_1sin x+b_1cos xbig))

Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1),
 
т.к. (left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}right)^2+left(dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}right)^2=dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi), для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1). Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt{a^2+b^2},big(cos phi sin x+sin phicos
xbig)=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: [{large{asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi),}} quad text{где } cos phi=dfrac
a{sqrt{a^2+b^2}}] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},cos (x-phi)]

(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1{sqrt2}sin
xpmdfrac1{sqrt2}cos xright)=sqrt2, sin
left(xpmdfrac{pi}4right))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac{sqrt3}2sin xpm
dfrac12cos xright)=2, sin left(xpmdfrac{pi}6right))

(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin
xpmdfrac{sqrt3}2cos
xright)=2,sinleft(xpmdfrac{pi}3right))

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Причем мы будем считать, что если векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^circ$.

Обозначение: $∠(overline{α},overline{β})$

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$overline{δ}overline{β}=|overline{δ}||overline{β}|cos∠(overline{δ},overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

«Как найти угол между векторами» 👇

Обозначение: $overline{δ}cdot overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $overline{δ}$ и $overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{overline{δ}cdot overline{β}}{|overline{δ}||overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $overline{δ}cdot overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|overline{δ}||overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline{δ}|$ и $|overline{β}|$, окончательно получим

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{sqrt{δ_1^2+β_1^2+γ_1^2 } sqrt{δ_2^2+β_2^2+γ_2^2}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Обозначение: $overline{δ}хoverline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overline{δ}хoverline{β}|=|overline{δ}||overline{β}|sin⁡∠(overline{δ},overline{β})$
2. $overline{δ}хoverline{β}⊥overline{δ}$, $overline{δ}хoverline{β}⊥overline{β}$
3. $(overline{δ}хoverline{β},overline{δ},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$overline{δ}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\δ_1&δ_2&δ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $overline{δ}$ и $overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

${sin angle left(overrightarrow{delta },overrightarrow{beta }right) }=frac{left|overrightarrow{delta }хoverrightarrow{beta }right|}{left|overrightarrow{delta }right||overrightarrow{beta }|}$

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$overline{δ}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\δ_1&δ_2&δ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline{δ}|$, $|overline{β}|$ и $|overline{δ}хoverline{β}|$, окончательно получим

$sin∠(overline{δ},overline{β})=frac{sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)^2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)^2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)^2}}{sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}sqrt{β_1^2+β_2^2+β_3^2}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
   $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
   $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
3. Cвязь тангенса и котангенса:
   $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
   $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
   $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
   $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
5. Синус суммы и разности:
   $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
   $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
6. Косинус суммы и разности:
   $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
   $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности:
   $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
   $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
8. Котангенс суммы и разности:
   $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
   $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
9. Двойной угол:
   $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
   $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
   $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
   $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
10. Тройной угол:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
11. Формулы половинного угла:
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
12. Понижение степени:
    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
15. Формулы подстановки тангенса:
    $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: (4.)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
   $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
   $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
   $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
   $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)

(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)

(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

Формулы понижения степени

$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$