Как найти угол бета в параллелепипеде

Угол бета параллелепипеда Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Общая площадь поверхности параллелепипеда: 1960 Квадратный метр —> 1960 Квадратный метр Конверсия не требуется
Сторона А параллелепипеда: 30 метр —> 30 метр Конверсия не требуется
Сторона B параллелепипеда: 20 метр —> 20 метр Конверсия не требуется
Гамма угла параллелепипеда: 75 степень —> 1.3089969389955 Радиан (Проверьте преобразование здесь)
Сторона C параллелепипеда: 10 метр —> 10 метр Конверсия не требуется
Угол альфа параллелепипеда: 45 степень —> 0.785398163397301 Радиан (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

1.04199118138206 Радиан —>59.7016969830541 степень (Проверьте преобразование здесь)

3 Угол параллелепипеда Калькуляторы

Угол бета параллелепипеда формула

Угол бета параллелепипеда = asin((Общая площадь поверхности параллелепипеда-(2*Сторона А параллелепипеда*Сторона B параллелепипеда*sin(Гамма угла параллелепипеда))-(2*Сторона B параллелепипеда*Сторона C параллелепипеда*sin(Угол альфа параллелепипеда)))/(2*Сторона А параллелепипеда*Сторона C параллелепипеда))

∠β = asin((TSA-(2*S_a*S_b*sin(∠γ))-(2*S_b*S_c*sin(∠α)))/(2*S_a*S_c))

Что такое параллелепипед?

Параллелепипед — это трехмерная фигура, образованная шестью параллелограммами (в этом значении также иногда используется термин ромбовидный). По аналогии он относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату. В евклидовой геометрии определены четыре понятия — параллелепипед и куб в трех измерениях, параллелограмм и квадрат в двух измерениях, но в контексте более общей аффинной геометрии, в которой углы не дифференцируются, существуют только параллелограммы и параллелепипеды.

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a · b
| a |·| b |

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
| a | · | b |	5 · 5	25

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
| a | · | b |	5√ 2 · 5√ 2	50	5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
| a | · | b |	5 · 6	15

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

ВИДЕОУРОК

Посмотрите на спичечный коробок. Он даёт
представление о геометрической фигуре, которая называется прямоугольным
параллелепипедом.

Прямой параллелепипед,
основаниями которого будут прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный
параллелепипед является четырёхугольной прямой призмой.

Спичечная коробка, кусок
мыла, кирпич дают представление про прямоугольный параллелепипед. Поверхность
прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников. Каждый из этих
прямоугольников называется гранью прямоугольного
параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде противоположные
грани равны. Грань, на которой <<стоит>> прямоугольный параллелепипед,
и противоположная ей грань называются основаниями
параллелепипеда. Остальные грани называются боковыми
гранями. 

Стороны прямоугольников
называются ребрами прямоугольного параллелепипеда. Каждое ребро, образованное
при пересечении двух боковых граней, называется боковым
ребром. Все боковые ребра прямоугольного параллелепипеда равны между
собою. Каждое из них является высотой прямоугольного
параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед
имеет три измерения – длину, ширину и высоту. Длина каждого из трёх рёбер прямоугольного
параллелепипеда, которые выходят из одной вершины, называется измерением параллелепипеда.

Всего у прямоугольного
параллелепипеда  8  вершин и  12  рёбер. Его поверхность образуют  6  прямоугольников, которые называются гранями. В прямоугольном параллелепипеде  4  ребра одинаковой длины и таких четвёрок –
три. Короче говоря, прямоугольный параллелепипед имеет рёбра  а, b  и  с.
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда с рёбрами  а, b,  і  с  равна    

4(а + b + с).

 Некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

– все грани – прямоугольники;

– диагональные сечения
– прямоугольники;

– все двугранные и
плоские углы – прямые;

– рёбра, которые
выходят из одной вершины, взаимно перпендикулярные;

– в прямоугольном
параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;

– диагонали прямоугольного
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;

– сумма квадратов
всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер;

– квадрат диагонали
прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений;

– в прямоугольном
параллелепипеде все четыре диагонали равны между собой.

Теорема Пифагора для пространства.

Квадрат длины отрезка
равен сумме квадратов длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые.

Если прямая образует
с взаимно перпендикулярными прямыми углы 
φ₁ , φ₂  и  φ₃, то

cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ = 1.

Из следствия пространственной
теоремы Пифагора имеем ещё одно свойство прямоугольного параллелепипеда:

Сумма 
квадратов косинусов углов, которые диагональ прямоугольного параллелепипеда
образует с его рёбрами, равна единицы.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда.

Боковою поверхностью прямоугольного параллелепипеда называется
сумма площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью прямоугольного параллелепипеда называется
сумма её боковой поверхности и площади оснований.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна произведению
периметра основания на высоту прямоугольного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Дано изображение прямоугольного
параллелепипеда  


ABCDA₁B₁C₁D₁. 


Определите
взаимное размещение плоскости  АВС  и прямых:

а) A₁B₁;  б) BB₁;  
в) DB₁;    г) CD.

Обозначим плоскость  АВС  через  α.

a) поскольку  A₁B₁ ∥ AB,
AB ∈ α,
то A₁B₁ ∥ α;

б) поскольку  BB₁
⊥ AB, A₁B₁ ⊥ BC  и  AB ∈
α, BC ∈ α,
то BB₁ ⊥ α;

в) поскольку  прямая 
DB, и плоскость  α  имеют общую точку  D,
то прямая  DB₁  пересекает плоскость  α;

г) прямая  CD  принадлежит плоскости  α.

ЗАДАЧА:

Дано изображение прямоугольного
параллелепипеда  


ABCDA₁B₁C₁D₁. 


Пользуясь рисунком, определите:

а) плоскость, которая
пересекает плоскость ABС;  

б) плоскость, которая
параллельна плоскости АBС.

 а) плоскость ABB₁  пересекает плоскость АВС  по прямой АВ;

    плоскость BB₁C₁  пересекает плоскость АВС  по прямой ВС;

    плоскость DD₁С₁  пересекает плоскость АВС  по прямой DС;

    плоскость AA₁D₁  пересекает плоскость АВС  по прямой АD;

б) плоскость A₁B₁C₁  параллельная плоскости
АBС.

ЗАДАЧА:

Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда относятся как  1 : 7, длины
диагоналей боковых граней равны  13
см  и 
37 см. Определите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Так как противоположные грани
прямоугольного параллелепипеда – равные прямоугольники, то в задаче данными будут
длины диагоналей смежных боковых граней.

Пусть в прямоугольном параллелепипеде  


ABCDA₁B₁C₁D₁  


отрезки 
D₁A  и  D₁C – диагонали смежных боковых граней. 


D₁A = 13 см, D₁C =
37 см. 


Стороны основания 
DA  и  DC  будут ортогональными проекциями на плоскость
основания диагоналей  D₁A  и  D₁C  соответственно. Поскольку
большей наклонной соответствует большая проекция, то  AD < CD  и согласно условию  


AD : CD = 1 : 7. 


Пусть  


AD = k
см, 
CD = 7k см (k > 0). 
DD₁ = Н см. 


Тогда из  


∆D₁DA (∠ D =
90°)  и  
∆D₁DC (∠ D =
90°)  


по теореме Пифагора получим:

откуда  


37²
– 13² = 48k², k =
5.

Поэтому, 


AD = 5 см, CD = 35 см,

Тогда:

S_осн =
AD×CD = 
5×35 = 175 (см²),

P = 2(AD + CD) = 
2(5 + 35) = 80 (см),

S_б
= P×H = 
80×12
= 960 (см²),

S_п =
S_б +
2S_осн = 
960
+ 2×175 = 1310 (см²).

ОТВЕТ:  1310 см².

Решение стереометрических задач
с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  d  и образует с плоскостью одной боковой грани
угол  α, а с плоскостью другой боковой грани – угол  β. Найдите площадь
боковой поверхности параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCDA₁B₁C₁D₁ – заданный прямоугольный параллелепипед

В₁D –
диагональ, В₁D =
d, А₁D –
проекция диагонали  В₁D  на грань  АА₁D₁D, поэтому  ∠ В₁DА₁ –
угол, образующий диагональ с плоскостью этой грани. По условию, ∠ В₁DА₁ = α.

Аналогично 
∠ В₁DC₁ – это угол, образующий диагональ с плоскостью
боковой грани  DD₁C₁C. По условию, 
∠ В₁DC₁ = β.

Из  ∆B₁BD (∠ B = 90º):

B₁B
= d
sin
α.

Из  ∆B₁C₁D (∠ C₁
= 90º):

B₁C₁
= d
sin
β,
DC₁
= d
cos
/β

Из  ∆DCC₁ (∠ C = 90º):

S_б = P∙ H = 2(BC + DC) ∙ B₁B =

ОТВЕТ:

Задания к уроку 6

Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Решение задач на свойства прямоугольного параллелепипеда — ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) повторить свойства прямоугольного параллелепипеда;

2) решить часть задач на свойства прямоугольного параллелепипеда.

Ход урока

I. Актуализация знаний

1) Один ученик у доски доказывает свойства прямоугольного параллелепипеда, другой теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2) Устный счет:

3) Формирование навыков и умений у учащихся.

№ 195. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АС1 = 12 см; D1; AA1D1 = 30°; ∠BD1D = 45° (рис. 2).

Найти: АВ, AD, АА1.

Решение:

1) BD1 = AC1 = 12 см;

2) АВ ⊥ ADD1, значит, AD1 — проекция BD1 на плоскость AA1D1, значит, ∠AD1B = 30°;

3) Из ΔABD1:

4) ΔDD1B — прямоугольный равнобедренный; ∠D1DB = 90°, так как ∠DD1B = 45° ⇒ DD1 = DB = х, по теореме Пифагора то есть Из прямоугольного треугольника АОВ найдем AD по теореме Пифагора (∠DAB = 90°), (Ответ: 6 см, 6 см, 6√2 см.)

№ 1966. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 3).

Построить: сечение плоскостью, проходящей через АВ и ⊥ CDА.

Построение: проведем АО ⊥ A1D, так как AA1D1D — квадрат Соединим ОО1; АВО1О — искомое сечение.

Вопросы: Какой фигурой является АВО1О? Ответ объясните. Найдите его площадь, если ребро куба а.

Решение:

Самостоятельная работа

I уровень

1) Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АВ = 6 см, AD = 4 см, АА1 = 12 см (рис. 4).

Найти: АС1.

Решение: (Ответ: 14 м.)

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АВ = 4 м, AD = 3,

Найти: Sбок..

Решение: по теореме Пифагора (Ответ: 56 см2.)

II уровень

Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, ∠BDC = α, ∠B1DC = β; диагональ BD = k (рис. 5).

Найти: Sбок..

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔBDC: так как

Из прямоугольного ΔB1CD:

III уровень

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол β. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол. Зная, что периметр равен Р, найдите измерения параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; ∠A1DC1 = β; AB1C1D — сечение параллелепипеда; (рис. 6).

Найти: AD, АВ, АА1.

Решение: LB1C1D = 90° по теореме о 3-х перпендикуляpax; подставить в (1), получим вынесем

(Ответ: )

V. Подведение итогов

Домашнее задание

А — № 192, 194, 196 a.

В — 1) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда равны 8 дм, 9 дм. Чему равна площадь диагонального сечения?

2) Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в одной вершине, равны 8 м, 10 м и 12 м. Найдите линейные размеры этого параллелепипеда.