Как найти угол бета в параллелограмме - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Свойства углов параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

Формулы соотношения острого и тупого углов:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 05 ноября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Как найти острый угол параллелограмма

Параллелограмм — это плоская геометрическая фигура, образуемая пересечением двух пар параллельных между собой прямых линий. Все свойства этого четырехугольника обуславливаются именно этим его отличительным свойством — параллельностью противоположных сторон. Из нее вытекают, в частности, попарное равенство длин сторон и одинаковость противолежащих углов. Эти свойства значительно упрощают вычисление величин углов в вершинах фигуры.

Инструкция

Если требуется вычислить величину острого (α) угла в параллелограмме, величина хотя бы одного из углов (β) которого известна, то исходите из того, что сумма всех четырех углов обязана быть равна 360°. Поскольку одно из основных свойств этой фигуры заключается в одинаковости противоположных вершин, то для вычисления величин углов в паре неизвестных сторон разделите пополам разность между 360° и удвоенной величиной известного угла: α=(360°-2*β)/2.

Если нужно определить величину острого угла (α) в параллелограмме, в котором известны длины смежных сторон (А и В) и меньшей из диагоналей (d), то рассмотрите треугольник, образованный этими тремя отрезками. Косинус нужного вам угла будет равен соотношению между суммой возведенных в квадрат длин сторон, из которых вычтена возведенная в квадрат длина диагонали, и удвоенным произведением этих же двух сторон — это вытекает из теоремы косинусов. Тригонометрическая функция, которая по значению косинуса угла восстанавливает его величину в градусах, называется арккосинусом. Ее и примените к соотношению, полученному с помощью теоремы косинусов: α=arccos((А²+В²-d²)/(2*А*В)).

Если, как и в предыдущем варианте, известны длины смежных сторон (А и В), а вместо короткой диагонали дана величина длинной (D), то алгоритм немного усложнится. Напротив длинной диагонали лежит тупой угол параллелограмма, поэтому сначала вычислите его величину по формуле из предыдущего шага, а затем примените формулу из первого шага. В общем виде формулу можно записать так: α=(360°-2*arccos((А²+В²-D²)/(2*А*В)))/2.

Если кроме длин смежных сторон параллелограмма (А и В) известна его площадь (S), то этого достаточно для вычисления величины острого угла (α). Синус этого угла рассчитайте из соотношения между площадью и произведением длин сторон, а затем примените к результату функцию арксинус — она работает аналогично арккосинусу: α=arcsin(S/(А*В)).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны
Противоположные углы параллелограмма равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
Сумма всех углов равна 360°
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

Противоположные стороны попарно равны
Противоположные стороны попарно параллельны и равны
Противоположные углы попарно равны
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
Сумма соседних углов равна 180 градусов
Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

То есть:

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Как найти стороны параллелограмма

Стороны параллелограмма можно найти через:

Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2)
Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и

Как найти диагонали параллелограмма

Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Как найти периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма может быть найден:

через его стороны (Формула 1)
через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)

Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:

Трапеция, описанная вокруг окружности |

Описание курса

| Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!

Источник

Главная Учёба Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ

Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ

Введите стороны параллелограмма (a,b) и диагональ (d).

Формула расчёта углов параллелограмма зная длину сторон и диагональ:
cos(α)=(a2+b2-d2)/(2*a*b), β=(360-α*2)/2.

Косинус α равен, сторона (a) в квадрате, плюс сторона (b), в квадрате, и минус диагональ (d), в квадрате. Разделённое на сторону (a), умноженное на сторону (b) и умноженное на два. Угол β — вычитаем из 360 градусов угол α умноженный на два, всё это делим на два.

Сторона параллелограмма (a)
Сторона параллелограмма (b)
Диагональ параллелограмма (d)

Площадь параллелограмма
Периметр параллелограмма
Найти длину стороны параллелограмма зная диагональ и сторону
Вычислить высоту параллелограмма зная длину стороны и угол
Найти диагональ параллелограмма зная стороны и угол

Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!

Нет комментариев.

Оставить комментарий

Заполните все поля.

Ваше имя:

Оценка

Источник

У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.

Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ

Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту

Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = h / b

где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.

Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны

Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α= S / ab

где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.

Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр

Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = (2h + a) / P

где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.

Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.

Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ

Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:

cos α = (a² + b² — d²) / 2ab

где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.

Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.

Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ

Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:

cos β = (a² + b² — D²) / 2ab

где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.

Свойства параллелограмма

У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.

Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.

Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.

Источник