Как найти угол бросания тела

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

1. Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
2. Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).

 

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

 

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.

Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y: 

   — между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Решим задачу для случая х₀=0 и y₀=0. 

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.

 

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.

Время полета:

Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение 

Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и 

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45⁰;

— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Время подъема:

Тогда: 

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

 

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

 

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.

На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

1. Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
2. Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
3. Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
4. Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
5. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
6. Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
7. Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
8. Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).

К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})

Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.

Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.

Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:

(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})

Зная следующие условия:

• (x_{0}=0);
• проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
• проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).

Записанная формула приобретает следующий вид:

(x=V_{0}cos alpha t)

Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:

• равномерное горизонтальное движение;
• равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.

Скорость тела будет рассчитываться таким образом:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты записывают в следующем виде:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

В любое время значения скорости тела будут равны:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту составляет:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная дальность полета составит:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Примеры решения задач

В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с².

Задача 1

Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.

Решение

Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:

(V_{0}sin alpha =gt)

Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:

(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)

Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.

Задача 2

Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.

Решение

Систему координат и движение тела можно представить схематично:

Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:

(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.

(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).

В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:

(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)

Из этого равенства следует:

(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})

Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:

(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)

Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:

(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)

Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:

(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)

Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.

Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.

Важные факты!График движения тела, брошенного под углом к горизонту:

α — угол, под которым было брошено тело

1. Вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, направлен по касательной к траектории его движения.
2. Так как начальная скорость направлена не вдоль горизонтальной линии, обе ее проекции отличны от нуля. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v_0x = v₀cosα. Ее проекция на ось ОУ равна v_0y = v₀sinα.
3. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна: v_x = v₀ cosα. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = v₀ sinα – gt.
4. Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Кинематические характеристики

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:

v_min = v₀ cosα = v_h

Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:

v_max = v_o = v

Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: v_y = 0. Время подъема определяется следующей формулой:

Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид:

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

l = s_x = v_0x t_полн = v₀ cosα t_полн

Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v₀ cosα, данная формула принимает вид:

x = v₀ cosα t

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v₀ sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:

Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:

Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:

v₀ sinα = gt_под

Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.

Важные факты!

График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:

Время падения тела больше времени его подъема: t_пад > t_под.

Полное время полета равно:

t_полн = t_пад + t_под

Уравнение координаты x:

x = v₀ cosα t

Уравнение координаты y:

Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.

Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:

x = v₀ cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.

Алиса Никитина | Просмотров: 43.3k

Вспомним азы движения тебя брошенного под углом к горизонту
Проекции начальной скорости
[ begin{align}
  & {{upsilon }_{0x}}={{upsilon }_{0}}cos alpha ,(1) \
 & {{upsilon }_{0y}}={{upsilon }_{0}}sin alpha .(2) \
end{align}  ]
Скорости в любой момент времени
[ begin{align}
  & {{upsilon }_{x}}={{upsilon }_{0x}}={{upsilon }_{0}}cos alpha ,(3) \
 & {{upsilon }_{y}}={{upsilon }_{0y}}-gt={{upsilon }_{0}}sin alpha -gt.(4) \
end{align} ]
Координаты тела в любой момент времени
[ begin{align}
  & x={{upsilon }_{0}}cos alpha cdot t,(5) \
 & y={{upsilon }_{0}}sin alpha cdot t-frac{g{{t}^{2}}}{2}.(6) \
end{align}  ]
В точке максимального подъема тела (в точке 1) υ_y =0, зная это из (4) найдем время подъема и подставим в (6) для нахождения максимальной высоты подъема
[ begin{align}
  & 0={{upsilon }_{0}}sin alpha -g{{t}_{uparrow }}, \
 & {{t}_{uparrow }}=frac{{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g},(7) \
 & {{h}_{max }}={{upsilon }_{0}}sin alpha cdot frac{{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g}-frac{g}{2}{{left( frac{{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g} right)}^{2}}=frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}.(8) \
end{align} ]
В точке падения (в точке 2) координата y=0, зная это из (6) найдем время всего полета и подставим в (5) для нахождения дальности полета
[ begin{align}
  & 0={{upsilon }_{0}}sin alpha cdot {{t}_{п}}-frac{gt_{п}^{2}}{2} \
 & {{t}_{п}}=frac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g}.(9) \
 & s={{upsilon }_{0}}cos alpha cdot frac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g}=frac{upsilon _{0}^{2}sin 2alpha }{g}.left( 10 right) \
end{align}  ]
 По условию S = 4h_max, подставляем в это равенство ( 8 ) и (10)
[ begin{align}
  & frac{upsilon _{0}^{2}sin 2alpha }{g}=4frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}, \
 & 2sin alpha cos alpha =2{{sin }^{2}}alpha , \
 & cos alpha =sin alpha , \
 & frac{cos alpha }{sin alpha }=1=ctgalpha , \
 & alpha ={{45}^{circ }} \
end{align}  ]
Ответ: 45 ⁰

Движение под углом к горизонту, теория и онлайн калькуляторы

Движение под углом к горизонту

Пусть некоторое тело бросили под углом $alpha $к горизонту, с начальной скоростью ${overline{v}}_0$. Введем некоторые допущения: Тело будем рассматривать как материальную точку. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

Постанова задачи. Начальные условия движения под углом к горизонту

Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.

Начальные условия при рассматриваемом движении точки таковы:

[при t=0 cleft{ begin{array}{c}
x_0=0, \
y_0=h, \
v_{0x}=v_0{cos alpha , } \
v_{0y}=v_0{sin alpha . } end{array}
right.(1)]

Вектор ускорения при движении в поле тяжести Земли считают постоянной величиной:

[overline{a}=overline{g}left(2right),]

где $overline{g}$ направлен вертикально вниз и равен по величине приблизительно 9,8 $frac{м}{с^2}.$ Проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$

Уравнение для скорости движения под углом к горизонту

Скорость движения такого тела определяют как:

[overline{v}left(tright)={overline{v}}_0+overline{g}t left(3right),]

где ${overline{v}}_0$ — скорость тела в момент броска. Формулу (2) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное под углом к горизонту. Это равномерное перемещение с постоянной скоростью ${overline{v}}_0$ в горизонтальном направлении и равноускоренного движения с ускорением $overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.

Проектируя выражение (3) на оси координат получаем:

[left{ begin{array}{c}
v_x=v_0{cos alpha , } \
v_y=v_0{sin alpha -gt } end{array}
left(4right).right.]

Траектория движения тела

Не смотря на то, что каждое отдельное движение тела происходит по прямой, результирующей траекторией является парабола, лежащая в плоскости в которой находятся векторы ${overline{v}}_0$ и $overline{g}$.

Уравнение перемещения при равнопеременном движении при$overline{a}=overline{g}$:

[overline{s}left(tright)={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}(5),]

где ${overline{s}}_0$ — смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=h$. Уравнения для координат точки, брошенной под углом к горизонту из уравнения для перемещения:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0{cos left(alpha right)cdot t, } \
y={h+v}_0{sin left(alpha right)cdot t-frac{gt^2}{2} } end{array}
left(6right).right.]

Из систем уравнений (5) и (6) траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

[y=h+x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(7right).]

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела

Время подъема тела при рассматриваемом движении легко определить из системы уравнений (4). В точке максимального подъема вектор скорости точки параллелен оси X, значит $v_y=0$, время подъема ($t_p$) равно:

[t_p=frac{v_0{sin alpha }}{g}left(8right).]

Время, которое тело пребывало в воздухе (время полета($t_{pol}$)) определяют из второго уравнения системы (6), приравнивая координату $y$ к нулю, получают:

[t_{pol}=frac{v_0{sin alpha +sqrt{v^2_0{sin}^2alpha +2gh} }}{g}left(9right).]

Дальность полета и высота подъема

Для того чтобы найти горизонтальную дальность полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) подставим время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

[s=frac{v^2_0{sin left(2alpha right) }}{g}left(10right).]

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

[h_{max}=h+frac{{v_0}^2{{sin}^2 б }}{2g}left(11right).]

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач на движение под углом к горизонту

Читать дальше: движение тела, брошенного под углом к горизонту.