Как найти угол через диагональ трапеции

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

  • Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
    боковую сторону
  • Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
    диагональ
  • Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
    среднию линию и боковую сторону
  • Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
    основание и боковую сторону
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через высоту и два основания
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через два основания и боковую сторону

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Рис 1

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 3

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Рис 2

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 4

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Рис 6

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

Рис 5

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

Задача.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.

diagonal-ravnobedrennoj-trapecii-delit-eyoДано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=CD,

треугольники ABC и ADC — равнобедренные.

Найти: углы трапеции.

Решение:

diagonal-ravnobedrennoj-trapecii-delitI.

1) Если AB=BC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Если AC=AD, то треугольник ADC — равнобедренный с основанием CD.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA, ∠ADC=∠ACD.

diagonal-ravnobedrennoj-trapecii-delit-eyo-na-treugolniki2)∠DAC=∠BCA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).

3) Пусть ∠BAC=xº, тогда ∠BCA=xº, ∠DAC=xº.

∠BAD=∠BAC+∠DAC=2xº.

4) ∠ADC=∠BAD=2xº (как углы при основании равнобедренной трапеции).

Следовательно, ∠ACD=2xº, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=3xº.

5) ∠BAD+∠BCD=180º (по свойству равнобедренной трапеции). Имеем уравнение:

2x+3x=180

5x=180

x=36

Значит, ∠BAD=2∙36=72º, ∠BCD=3∙36=108º.

II.

Если AB=AC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Тогда у него углы при основании равны: ∠B=∠BCA. Но угол B — тупой, а два тупых угла в треугольнике быть не может. Следовательно, AB не может быть равным AC (отсюда и CD не может быть равным AC, так как AB=CD по условию).

Ответ: 72º, 108º.


1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

d — диагональ трапеции

Формула диагонали трапеции (d ):

2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

α, β углы трапеции

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):


3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):

Справедливо для данного случая :


4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

h — высота трапеции

α — угол при нижнем основании

d — диагональ трапеции

Формулы диагонали трапеции (d ):



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

Формулы диагонали трапеции по теореме косинусов

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Все формулы диагонали трапеции

Все формулы диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

Формулы диагонали трапеции через стороны

Формулы диагонали трапеции через стороны

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

Формула длины диагоналей трапеции через высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

h — высота трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту


3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Справедливо для данного случая :


4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

Формулы длины диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формула суммы квадратов диагоналей :

Сумма квадратов диагоналей трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеции

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеци



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула средней линии трапеции через основания (для всех видов трапеции)

Формула средней линии трапеции через основания

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, (m ):

Формула средней линии трапеции через основания

2. Формулы средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

Формулы средней линии прямоугольной трапеции через основание, высоту и углы

a, b — основания трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

d — боковая сторона

α — угол при основании

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

Формулы средней линии прямоугольной трапеции через высоту

Формулы средней линии прямоугольной трапеции через боковую сторону

Формулы средней линии прямоугольной трапеции через боковые стороны


3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формула средней линии прямоугольной трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями


4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту (для всех видов трапеции)

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m ):

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

боковая сторона (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d — боковая сторона

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формулы длины боковой стороны (с) :

Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции

Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции

Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции

Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции

2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали  и угол между ними

боковая сторона (с) прямоугольной трапеции через диагонали  и угол между ними

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формулы длины боковой стороны (с):

Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции


3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь

боковая сторона (с) прямоугольной трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

Формула длины боковой стороны (с) :


4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

боковая сторона (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

d — боковая сторона

Формулы длины боковой стороны (d) :


5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь

боковая сторона (d) прямоугольной трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия трапеции

α — угол при нижнем основании

d — боковая сторона

Формула длины боковой стороны (d) :

Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

длина оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формулы длины оснований :

2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

длина оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формулы длины оснований :


3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали  и угол между ними

длина оснований трапеции через диагонали  и угол между ними

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формулы длины оснований :


4. Формулы длины оснований трапеции через площадь

длина оснований трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона под прямым углом к основаниям

h — высота трапеции

Формулы длины оснований :



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания

средняя линия равнобедренной трапеции через основания

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, (m ):

Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

средняя линия через основание, высоту и углы при нижнем основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — боковая сторона

α — угол при нижнем осровании

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании


3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

средняя линия трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

d — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m ):


4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

средняя линия трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

α — угол при нижнем осровании

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m ):

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании

Высота равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

h — высота трапеции

Формулы длины высоты, (h ):

Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны

Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и угол

2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними

Высота равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними

d — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

a , b — основания

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы длины высоты, (h ):

Формулы длины высоты равнобедренной трапеции

Формулы длины высоты равнобедренной трапеции


3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь

Высота равнобедренной трапеции через площадь

S — площадь трапеции

a , b — основания

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы длины высоты, (h ):

Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию

Основания равнобедренной трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формулы длины основания:

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании

Длина сторон равнобедренной трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

α угол при основании трапеции

h — высота трапеции

Формулы всех четырех сторон трапеции:

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через высоту

Формула длины сторон равнобедренной трапеции через боковую сторону


3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина сторон равнобедренной трапеции через диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

d — диагонали

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

Формулы длины сторон трапеции:

Формула длины основания равнобедренной трапеции через диагонали

справедливо для данной ситуации:


4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь

Стороны равнобедренной трапеции через площадь

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c — равные боковые стороны

α , β — углы при основаниях

m — средняя линия

h — средняя линия

Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадьФормулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь

Формулы длины сторон  равнобедренной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Высота трапеции это отрезок, длина которого, равна кратчайшему расстоянию между основаниями и следовательно расположенному перпендикулярно к этим основаниям.


1. Формула высоты трапеции через стороны и углы при основании

Формула высоты произвольной трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

h — высота трапеции

Формулы длины высоты, (h ):

Формула высоты произвольной трапеции

Формула высоты произвольной трапеции

2. Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними

Формула высоты трапеции через диагонали

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

a , b — основания

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы длины высоты, (h ):


3. Формула высоты трапеции через площадь

Формула высоты трапеции через площадь

S — площадь трапеции

a , b — основания

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы длины высоты, (h ):

Формула высоты произвольной трапеции через площадь



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.


1. Формула средней линии трапеции через основания

Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m— средняя линия

Формула средней линии, (m ):

Формула средней линии трапеции через основания

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Формула средней линии трапеции через основание, высоту и углы

b — верхнее основание

a — нижнее основание

α, β углы трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m):

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании


3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

αβ — углы между диагоналями

d1 , d2 — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями


4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m):

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии


1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию

Длина основания трапеции через среднюю линию

a — нижнее основание

b — верхнее основание

m — средняя линия

Формулы длины оснований :

Формула длины стороны трапецииФормула длины стороны трапеции

2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании

Длина стороны трапеции

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

h — высота трапеции

Формулы всех четырех сторон трапеции:

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции

Формула длины стороны трапеции Формула длины стороны трапеции


3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина сторон трапеции через диагонали и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

d1 , d2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

Формулы длины сторон трапеции:

Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Виды трапеции

  1. Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
  2. Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
  3. Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

  1. Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
    $$
    FE = {AB + DC over 2}
    $$
  2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
    Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
  3. Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
  4. Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
  6. Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
    $$
    KL = {DC — AB over 2}
    $$
  7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
  8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
  2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
  3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
  4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
  5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

$$
S = FE * AG
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$

Площадь трапеции через четыре стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Площадь трапеции через стороны и угол

$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длины сторон

$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длины сторон

$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$

Длина боковой стороны через диагональ и основания

$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон прямоугольной трапеции

Длины оснований

$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей через высоту

$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$

$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей

$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$

Длина диагоналей через сторону и высоту

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и высоту

$$
FE = {S over AG}
$$

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания и боковые стороны

$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$

Сторона BC через Сторону AD

$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$

В трапеции 4 угла. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. То есть будет по 2 равных угла. Причем одна пара острых углов, другая пара тупых углов.

Для решения нарисуем рисунок и решим несколькими вариантами.

Для начала поймем, что одна пара углов будет равна 15˚ + 47˚ = 62˚ < 90˚ — это острые углы. Значит надо найти например угол B.

1 Вариант.

Так как BC || AD и секущая AC, то углы ∠CAD = ∠ACB = 47˚ — (накрест лежащие углы равны)

Рассмотрим ∆ABC (сумма углов = 180˚), то ∠B = 180˚ — (15˚+47˚) = 180˚ — 62˚ = 118˚

Ответ: 118˚


Вариант 2

Так как BC || AD и секущая AB, то углы ∠BAD + ∠ABC = 180˚ (сумма односторонних углов = 180˚)

Откуда ∠ABC = 180˚ — ∠BAD = 180˚ — 62˚ = 118˚

Ответ: 118˚


Вариант 3

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360˚

2•∠BAD + 2•∠ABC = 360˚

∠BAD + ∠ABC = 180˚

∠ABC = 180˚ — ∠BAD = 180˚ — 62˚ = 118˚

Ответ: 118˚

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Синий экран смерти ошибка 0х0000007е как исправить
  • Как составить схему карьерного роста
  • Как найти работу в тамани
  • Как по значению cos найти угол
  • Mql4 как найти ордер