Трапеция — геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.
Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.
- Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
боковую сторону - Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
диагональ - Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
среднию линию и боковую сторону - Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
основание и боковую сторону - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через высоту и два основания - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через два основания и боковую сторону
Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону
Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы
sin α = h/с
где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.
Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:
cos α = (2a-2m) / 2c
где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.
Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали
Если известны эти величины, воспользуемся формулой:
cos α= (a²+c²-d²) / 2ac
где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.
Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:
cos α = (2m-2b) / 2c
где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º
Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции
Находится по формуле
cos α = (a — b) / c
где a,b — основания, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º
Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции
При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:
tg(α) = h / (a-b)
где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.
Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.
Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.
Задача.
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=CD,
треугольники ABC и ADC — равнобедренные.
Найти: углы трапеции.
Решение:
I.
1) Если AB=BC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
Если AC=AD, то треугольник ADC — равнобедренный с основанием CD.
Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA, ∠ADC=∠ACD.
2)∠DAC=∠BCA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).
3) Пусть ∠BAC=xº, тогда ∠BCA=xº, ∠DAC=xº.
∠BAD=∠BAC+∠DAC=2xº.
4) ∠ADC=∠BAD=2xº (как углы при основании равнобедренной трапеции).
Следовательно, ∠ACD=2xº, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=3xº.
5) ∠BAD+∠BCD=180º (по свойству равнобедренной трапеции). Имеем уравнение:
2x+3x=180
5x=180
x=36
Значит, ∠BAD=2∙36=72º, ∠BCD=3∙36=108º.
II.
Если AB=AC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Тогда у него углы при основании равны: ∠B=∠BCA. Но угол B — тупой, а два тупых угла в треугольнике быть не может. Следовательно, AB не может быть равным AC (отсюда и CD не может быть равным AC, так как AB=CD по условию).
Ответ: 72º, 108º.
1. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции через ее стороны
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
d — диагональ трапеции
Формула диагонали трапеции (d ):
2. Формулы длины диагонали равнобедренной трапеции по теореме косинусов
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α, β — углы трапеции
d — диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
3. Формула длины диагонали равнобедренной трапеции
a — нижнее основание
b — верхнее основание
α, β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия трапеции
S — площадь трапеции
d — диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через высоту и стороны
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
h — высота трапеции
α — угол при нижнем основании
d — диагональ трапеции
Формулы диагонали трапеции (d ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Найти длину диагонали трапеции
зная все четыре стороны
или две стороны и угол
или высоту, сторону и угол
или площадь, другую диагональ и угол
и еще много других формул.
1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
α, β — углы трапеции
d1 , d2 — диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:
Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:
2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
d1 , d2 — диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции через высоту:
3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ
a — нижнее основание
b — верхнее основание
α, β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия трапеции
S — площадь трапеции
d1 , d2 — диагонали трапеции
Формулы диагоналей трапеции :
Справедливо для данного случая :
4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
d1 , d2 — диагонали трапеции
Формула суммы квадратов диагоналей :
Формулы диагоналей трапеции :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии трапеции через основания (для всех видов трапеции)
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
a, b — основания трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
d — боковая сторона
α — угол при основании
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту (для всех видов трапеции)
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d — боковая сторона
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с):
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
d — боковая сторона
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
α — угол при нижнем основании
d — боковая сторона
Формула длины боковой стороны (d) :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формулы длины оснований :
3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали и угол между ними
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формулы длины оснований :
4. Формулы длины оснований трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
h — высота трапеции
Формулы длины оснований :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула средней линии равнобедренной трапеции через основания
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона
α — угол при нижнем осровании
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
d — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
α — угол при нижнем осровании
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними
d — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь
S — площадь трапеции
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формулы длины основания:
2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при основании трапеции
h — высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
d — диагонали
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
справедливо для данной ситуации:
4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α , β — углы при основаниях
m — средняя линия
h — средняя линия
Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Высота трапеции это отрезок, длина которого, равна кратчайшему расстоянию между основаниями и следовательно расположенному перпендикулярно к этим основаниям.
1. Формула высоты трапеции через стороны и углы при основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты трапеции через площадь
S — площадь трапеции
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b — верхнее основание
a — нижнее основание
m— средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b — верхнее основание
a — нижнее основание
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β — углы между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
1. Формула длины основания трапеции через среднюю линию
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формулы длины оснований :
2. Формулы длины сторон через высоту и углы при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c , d — боковые стороны
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
Виды трапеции
- Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
- Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
- Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне
Свойства трапеции
-
Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$ -
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD - Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
- Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
-
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB over 2}
$$ - Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
- Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
- В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
- Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
- Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
Формулы площади произвольной трапеции
Площадь трапеции через основания и высоту
$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
$$
S = FE * AG
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$
Площадь трапеции через четыре стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Формулы площади равнобедренной трапеции
Площадь трапеции через стороны
$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$
Площадь трапеции через стороны и угол
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$
Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$
Площадь трапеции если в нее вписана окружность
$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон произвольной трапеции
Основание через другое основание и среднюю линию
$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$
Основание через другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длины сторон
$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$
Формулы сторон равнобедренной трапеции
Длины сторон
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание
$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$
Длина боковой стороны через диагональ и основания
$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$
Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции
$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании
$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$
Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$
Формулы сторон прямоугольной трапеции
Длины оснований
$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними
$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$
Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту
Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$
Формулы диагоналей произвольной трапеции
Длина диагоналей через четыре стороны
$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей через высоту
$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Длина диагоналей через стороны и другую диагональ
$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$
Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей
$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$
Формулы диагоналей равнобедренной трапеции
Длина диагоналей через стороны
$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$
Длина диагоналей по теореме косинусов
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$
Длина диагоналей
$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$
Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
Длина диагоналей через сторону и высоту
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$
Формулы диагоналей прямоугольной трапеции
$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$
Формулы средней линии произвольной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и высоту
$$
FE = {S over AG}
$$
Формулы средней линии равнобедренной трапеции
Длина средней линии через основания
$$
FE = {DC + AB over2}
$$
Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту
$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Длина средней линии через площадь и боковую сторону
$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$
Формулы средней линии прямоугольной трапеции
Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании
$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
Длина средней линии через основания и боковые стороны
$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$
Формулы высоты произвольной трапеции
Длина высоты через четыре стороны
$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы высоты равнобедренной трапеции
Длина высоты через по сторонам
$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$
Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию
$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$
Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию
$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$
Длина высоты через диагонали и углы между ними
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$
Длина высоты через площадь и основания
$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$
Длина высоты через площадь и среднюю линию
$$
AG = {S over FE}
$$
Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции
Сторона AD
Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.
Сторона BC по трём сторонам
$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$
Сторона BC через основания и угол ∠BCD
$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$
Сторона BC через Сторону AD
$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD
$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$
Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD
$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$
В трапеции 4 угла. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. То есть будет по 2 равных угла. Причем одна пара острых углов, другая пара тупых углов.
Для решения нарисуем рисунок и решим несколькими вариантами.
Для начала поймем, что одна пара углов будет равна 15˚ + 47˚ = 62˚ < 90˚ — это острые углы. Значит надо найти например угол B.
1 Вариант.
Так как BC || AD и секущая AC, то углы ∠CAD = ∠ACB = 47˚ — (накрест лежащие углы равны)
Рассмотрим ∆ABC (сумма углов = 180˚), то ∠B = 180˚ — (15˚+47˚) = 180˚ — 62˚ = 118˚
Ответ: 118˚
Вариант 2
Так как BC || AD и секущая AB, то углы ∠BAD + ∠ABC = 180˚ (сумма односторонних углов = 180˚)
Откуда ∠ABC = 180˚ — ∠BAD = 180˚ — 62˚ = 118˚
Ответ: 118˚
Вариант 3
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360˚
2•∠BAD + 2•∠ABC = 360˚
∠BAD + ∠ABC = 180˚
∠ABC = 180˚ — ∠BAD = 180˚ — 62˚ = 118˚
Ответ: 118˚