Условие задачи:
Груз, подвешенный на нити длиной 98 см, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения груза, если при его вращении нить отклонена от вертикали на угол 60°? ((g=9,8) м/с2)
Задача №2.4.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(l=98) см, (alpha=60^circ), (g=9,8) м/с2, (omega-?)
Решение задачи:
На схеме покажем груз, действующие на него силы и геометрические параметры задачи. Груз покоится относительно оси (y), что дает нам право применить первый закон Ньютона в проекции на ось (y):
[T cdot cos alpha = mg;;;;(1)]
Так как груз в горизонтальной плоскости равномерно движется по окружности некоторого радиуса (R), то запишем второй закон Ньютона в проекции на ось (x):
[T cdot sin alpha = m{a_ц}]
Поскольку нам нужно найти угловую скорость вращения (omega), то запишем такую формулу определения ускорения (a_ц):
[{a_ц} = {omega ^2}R]
[T cdot sin alpha = m{omega ^2}R;;;;(2)]
Поделим полученное равенство (2) на равенство (1):
[tgalpha = frac{{{omega ^2}R}}{g}]
Из прямоугольного треугольника с катетом (R), гипотенузой (l) и углом (alpha) верно, что:
[R = l cdot sin alpha ]
Тогда:
[tgalpha = frac{{{omega ^2}l cdot sin alpha }}{g}]
[frac{1}{{cos alpha }} = frac{{{omega ^2}l}}{g}]
[omega = sqrt {frac{g}{{l cdot cos alpha }}} ]
Переведем длину нити в единицы системы СИ, далее посчитаем численный ответ задачи.
[98; см = frac{{98}}{{100}}; м = 0,98; м]
[omega = sqrt {frac{{9,8}}{{0,98 cdot cos 60^circ }}} = 4,5; рад/с]
Ответ: 4,5 рад/с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
2.4.18 Груз, подвешенный на нити длиной 5 м, равномерно движется по окружности
2.4.20 Лыжник съезжает с вершины горы. На какой высоте от начала движения его давление
2.4.21 Люстра массой 10 кг висит на цепи, прочность которой 196 Н. На какой максимальный угол
2017-12-23
Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол $alpha = 30^{ circ}$ от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найти угол $beta$ максимального отклонения нити.
Решение:
Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения $a_{n}$ и $a_{ tau}$ определяются формулами:
$a_{n} = frac{v^{2}}{l}, a_{ tau} = g sin alpha$,
где $v$ — скорость шарика, $L$ — длина нити. Поскольку ускорение шарика направлено горизонтально, проекции векторов $vec{a}_{n}$ и $vec{a}_{ tau}$ на вертикальную ось имеют одинаковую величину $a_{n} cos alpha = a_{ tau} sin alpha$ или $v^{2} = gl frac{ sin^{2} alpha}{ cos alpha}$. Далее запишем закон сохранения энергии для шарика: $frac{mv^{2}}{2} + mgl (1 — cos alpha) = mgl (1 — cos beta )$. Решая это уравнение относительно $cos beta$, получаем
$cos beta = cos alpha — frac{v^{2}}{2gl} = cos alpha — frac{ sin^{2} alpha}{2 cos alpha } = 0,73, beta = 43^{ circ}$.
Расчет длины маятника
Маятник — это тело или система тел, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания.
Формула расчета длины маятника:
L = (T / 2π) 2 * g, где
L — длина маятника в метрах;
T — период колебаний в секундах;
g — ускорение свободного падения в м/с 2 .
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета длины маятника по простой математической формуле в зависимости от периода колебаний и ускорения свободного падения. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать длину маятника.
Расчет длины нити математического маятника
Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет секунды.
Решение задачи
В данном уроке показано, как грамотно рассчитать длину нити математического маятника. По условию задана формула , с помощью которой приблизительно вычисляются колебания маятника. — это период колебания маятника, который известен по условию задачи ( секунды), а – это длина нити маятника, которую и необходимо рассчитать. Для решения задачи достаточно преобразовать формулу (представленную в виде алгебраического выражение) и подставить в нее известные данные. Для этого из формулы выражается переменная , в процессе этого выполняются операции упрощения выражения. Далее, для получения окончательного ответа, вместо переменной подставляется его числовое значение. Ответ представлен в виде десятичной дроби
При подготовке к ОГЭ можно успешно воспользоваться решением этой задачи, в частности при решении задач типа ОГЭ 20.
Как найти длину нити
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а
Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .
Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .
Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:
Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение:
Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол α = 30° от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найдите угол максимального отклонения нити.
Решение:
Когда нить отклонена на угол α, составляющие ускорения, направленные вдоль нити и по касательной к траектории шарика, определяются формулами:
где v — скорость шарика, l — длина нити.
Поскольку ускорение шарика в этот момент направлено горизонтально, проекции векторов an и aτ на вертикальную ось одинаковы по модулю:
или
откуда:
Далее запишем закон сохранения энергии для шарика:
mv2 | + mgl • (1 − cos α) = mgl •(1 − cos αm). |
2 |
Решая это уравнение относительно cos αm, получим:
cos αm = cos α − | v2 | = cos α − | sin2 α | = 0,73. |
2gl | 2 cos α |
Далее: дробинка во льду тонет [тема: задачи на минимум и максимум]
Теги:
- задачи с решениями
- механика
- законы сохранения
- закон сохранения энергии
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
1 |
|
Одинаково заряженные шарики подвешены на нитях. Определить на какой угол разойдутся нити12.02.2012, 12:26. Показов 12409. Ответов 14
Привет всем. Есть задача: Никак не могу найти угол, получается в итоге формула k*q^2=4*(l^2)*sin(alpha/2)*tan(alpha), где l — длина нити, q- заряд шарика, alpha — необходимый угол Добавлено через 1 час 1 минуту
0 |
2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223 |
|
12.02.2012, 14:24 |
2 |
По рис. составте уравнения и решайте. Миниатюры
1 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
12.02.2012, 19:10 [ТС] |
3 |
Дело как раз таки в том, что после решения из рисунка получаем уравнение с двумя неизвестными и я не знаю как рассуждать дальше. Добавлено через 49 секунд
0 |
4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108 |
|
12.02.2012, 19:27 |
4 |
… после решения из рисунка получаем уравнение с двумя неизвестными … 2 уравнения с двумя неизвестными!
0 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
12.02.2012, 20:55 [ТС] |
5 |
2 уравнения с двумя неизвестными! Так вы распишите их и посмотрите, что получается в итоге! Там будет либо сложная тригометрическая формула, которая не упрощается, либо уравнение 6-й степени! Можно даже по теореме косинусов выразить r через alpha, но дальше получается то, что я написал выше Добавлено через 1 час 11 минут
0 |
2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223 |
|
12.02.2012, 21:19 |
6 |
1 |
4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108 |
|
12.02.2012, 21:55 |
7 |
… уравнение 6-й степени!… Да, 6-й степени, точнее бикубическое. Не знаю !
0 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
12.02.2012, 21:58 [ТС] |
8 |
Да, 6-й степени, точнее бикубическое. Не знаю ! Да-да, именно так! Расстояние должно быть дано, но его нет. Ну этот как бы задание из «индивидуальных заданий для каждого студента» из моего вуза. Гугл выдает обратную задачу к этой, но что-то тут не то
0 |
4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108 |
|
13.02.2012, 00:17 |
9 |
Да-да, именно так! Расстояние должно быть дано, но его нет. Ну этот как бы задание из «индивидуальных заданий для каждого студента» из моего вуза. Хорошо бы условие дословно, и откуда оно (задачник).
0 |
2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223 |
|
13.02.2012, 11:42 |
10 |
1 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
13.02.2012, 16:25 [ТС] |
11 |
Хорошо бы условие дословно, и откуда оно (задачник). Дело в том, что нам дана pdf-ка, в которой только варианты с заданиями. Издатель — наш универ.
0 |
4444 / 2448 / 227 Регистрация: 20.08.2011 Сообщений: 3,108 |
|
13.02.2012, 22:47 |
12 |
Дело в том, что нам дана pdf-ка, в которой только варианты с заданиями. Издатель — наш универ. Тогда понятно, откуда растут уши.
0 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
14.02.2012, 09:38 [ТС] |
13 |
Тогда понятно, откуда растут уши. Я тоже думаю, что здесь недостаток условий, хотя бы расстояние дали между зарядами что ли)
0 |
2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223 |
|
14.02.2012, 10:31 |
14 |
Я тоже думаю, что здесь недостаток условий, хотя бы расстояние дали между зарядами что ли) Задача усложнилась с точки зрения математики. И ещё момент, я подумал угол между нитями тогда наш результат надо удвоить, так как я посчитал угол между нитью и вертикалью.
0 |
97 / 71 / 12 Регистрация: 29.06.2011 Сообщений: 465 Записей в блоге: 1 |
|
14.02.2012, 13:53 [ТС] |
15 |
Задача усложнилась с точки зрения математики. И ещё момент, я подумал угол между нитями тогда наш результат надо удвоить, так как я посчитал угол между нитью и вертикалью. Да-да, я учел это
1 |