Как найти угол диагонали куба - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

If you were to take a square and draw two diagonals lines, they would cross in the center, and form four right triangles. The two diagonals cross at 90 degrees. You might intuitively guess that two diagonals of a cube, each running from one corner of the cube to its opposite corner and crossing in the center, would also cross at right angles. You would be mistaken. Determining the angle at which two diagonals in a cube cross one another is slightly more complicated than it might appear at first glance, but it does make great practice for understanding the principles of geometry and trigonometry.

Define the length of an edge as one unit. By definition, every edge on the cube has an identical length of one unit.

Use the Pythagorean theorem to determine the length of a diagonal running from one corner, to the opposite corner on the same face. Call this a “short diagonal’ for the sake of clarity. Each side of the right triangle formed is one unit, so the diagonal must be equal to √2.

Use the Pythagorean theorem to determine the length of a diagonal running from one corner to the opposite corner of the opposite face. Call this a “long diagonal.” You have a right triangle with one side equal to 1 unit and one side equal to a “short diagonal,” √2 units. The square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the sides, so the hypotenuse must be √3. Each diagonal running from one corner of the cube to the opposite corner is √3 units long.

Draw a rectangle to represent two long diagonals crossing in the center of the cube. You want to find the angle of their intersection. This rectangle will be 1 unit tall and √2 units wide. The long diagonals bisect one another in the center of this rectangle and form two different types of triangle. One of these triangles has one side equal to one unit and the other two sides equal to √3/2 (one half the length of a long diagonal). The other also has two sides equal to √3/2 but its other side is equal to √2. You only need to analyze one of the triangles, so take the first one and solve for the unknown angle.

Use the trigonometric formula c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C to solve for the unknown angle of this triangle. C=1, and both a and b are equal to √3/2. Plugging these values into the equation, you will determine that the cosine of your unknown angle is 1/3. Taking the inverse cosine of 1/3 gives an angle of 70.5 degrees.

Источник

Если бы вы взяли квадрат и нарисовали две диагональные линии, они пересеклись бы в центре и образовали четыре прямоугольных треугольника. Две диагонали пересекаются под углом 90 градусов. Вы можете интуитивно догадаться, что две диагонали куба, каждая из которых проходит от одного угла куба к противоположному углу и пересекается в центре, также пересекаются под прямым углом. Вы бы ошиблись. Определить угол, под которым две диагонали в кубе пересекают друг друга, немного сложнее, чем это может показаться на первый взгляд, но это действительно хорошая практика для понимания принципов геометрии и тригонометрии.

Определите длину ребра как одну единицу. По определению каждое ребро куба имеет одинаковую длину в одну единицу.

Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла на той же грани. Назовите это «короткой диагональю» для ясности. Каждая сторона сформированного прямоугольного треугольника составляет одну единицу, поэтому диагональ должна быть равна √2.

Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла противоположной грани. Назовите это «длинной диагональю». У вас есть прямоугольный треугольник с одной стороной, равной 1 единице, и одной стороной, равной «короткой диагонали», √2 единиц. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон, поэтому гипотенуза должна быть √3. Каждая диагональ, идущая от одного угла куба к противоположному углу, имеет длину √3 единиц.

Нарисуйте прямоугольник, чтобы представить две длинные диагонали, пересекающиеся в центре куба. Вы хотите найти угол их пересечения. Этот прямоугольник будет иметь высоту 1 единицу и ширину √2 единицы. Длинные диагонали делят пополам друг друга в центре этого прямоугольника и образуют два разных типа треугольника. Один из этих треугольников имеет одну сторону, равную одной единице, а две другие стороны равны √3 / 2 (одна половина длины длинной диагонали). Другая также имеет две стороны, равные √3 / 2, но другая ее сторона равна √2. Вам нужно только проанализировать один из треугольников, поэтому возьмите первый и найдите неизвестный угол.

Используйте тригонометрическую формулу c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 — 2ab cos C, чтобы найти неизвестный угол этого треугольника. C = 1, а a и b равны √3 / 2. Подставляя эти значения в уравнение, вы определите, что косинус вашего неизвестного угла равен 1/3. Взятие обратного косинуса 1/3 дает угол 70, 5 градусов.

Источник

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

у треугольника — 0 диагоналей
у прямоугольника — 2 диагонали
у пятиугольника — 5 диагоналей
у шестиугольника — 9 диагоналей
у восьмиугольника — 20 диагоналей
у 12-угольника — 54 диагонали
у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:

N = n·(n – k – 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей
у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные)
у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные)
у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Это квадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Ссылки:

ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ
dic.academic.ru — иллюстрация разницы между граневой и пространственной диагоналями многогранника

Дополнительно в базе данных Генона:

Как найти диагональ прямоугольника?
Сколько вершин, ребер и граней у тетраэдра?
Сколько вершин, ребер и граней у куба (гексаэдра)?

Источник

Вычислить угол между диагональю куба и его основанием

Угол между диагональю куба и плоскостью основания это угол между диагональю куба и диагональю основания

пусть ребро куба = а

диагональ куба D: D²=a²+a²+a², D²=3a², D=a√3

диагональ основания d: d²=a²+a², d²=2a², d=a√2

cosα = (a√2) / (a√3)

cosα=√ (2/3)

α=arccos√ (2/3)
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Вычислить угол между диагональю куба и его основанием …» по предмету 📙 Геометрия, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Новые вопросы по геометрии

Источник

Ответ:

$arccos dfrac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Введем систему координат и решим данную задачу методом координат.

Пусть ребро куба равно 1.

Рассмотрим диагонали куба $AC_{1}$ и $BD_{1}$ .

Найдем координаты данных точек

$A(0;0;0) ; C _{1} (1;1;1) ;\B(1;0;0) ; D_{1} (0;1;1)$

Рассмотрим направляющие векторы прямых диагоналей .

Найдем координаты векторов. Для этого от координат конца вектора надо отнять соответствующую координату начала вектора.

$vec{AC_{1} }(1;1;1);\vec{BD_{1} }(-1;1;1)$

Воспользуемся скалярным произведением векторов и найдем косинус угла между векторами.

$vec{AC_{1} }cdotvec{BD_{1} }=|vec{AC_{1} }|cdot |vec{BD_{1} }|cdot cosalpha,$

где alpha - угол между векторами.

$cos alpha =dfrac{|vec{AC_{1}cdot vec{BD_{1} |} }}{|vec{AC_{1} }|cdot |vec{BD_{1} |}} \\cos alpha =dfrac{|1cdot(-1)+1cdot1+1cdot1|}{sqrt{(-1)^{2} +1^{2} +1^{2} } cdotsqrt{1^{2} +1^{2}+1^{2} } } =dfrac{|-1+1+1|}{sqrt{3} cdot sqrt{3} } =dfrac{1}{3}$

$alpha =arccos dfrac{1}{3}$

Приложения:

Источник