Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая
из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует
определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми.
Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как
прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная
определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как
линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.
- Угол треугольника через три стороны
- Угол прямоугольного треугольника через две стороны
- Угол треугольника через высоту и катет
- Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и боковую сторону - Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и основание - Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника
через биссектрису и боковую сторону - Острый угол прямоугольного треугольника через катет и
площадь - Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного
треугольника через площадь и боковую сторону
Угол треугольника через три стороны
Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно
теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его
сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за
предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β).
Из полученного равенства можно вычислить
cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) /
2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb
где a, b, c — стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21.
Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если
Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.
Угол прямоугольного треугольника через две стороны
Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти
один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.
sin(α) = cos (β) = a / c
sin(β) = cos (α) = b / c
tg(α) = ctg(β) = a
/ b
tg(β) = ctg(α) = b / a
где a, b — катеты, c — гипотенуза.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c =
15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление
тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9. По таблице Брадиса, угол
α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В
этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.
Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь
Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади
прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим
образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для
нахождения угла будет следующая:
tg(α) = a² / 2S
где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132.
Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.
Угол треугольника через высоту и катет
В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из
катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h.
Второй катет a остается со своим обычным названием.
sin α = h / a
где h — высота, a — катет.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание
Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC
на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих
половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α
= γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый
равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и
равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для
треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:
tg α = L / (a/2)
где L — биссектриса, a — основание.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу
получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB =
BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку
пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание
поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK).
Согласно свойствам внешнего угла:
sin α = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в
формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и
углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и
пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того,
биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA
и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения
угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например,
на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы,
прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла
через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC,
которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также
поделила пополам).
2cos(β) = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64
см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º
Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую
сторону
Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh, где b – это
основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два
прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону
будет следующая:
sin(α) = 2S / b²
где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно
вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º
Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°.
Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления
углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы
треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и
использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся
неизвестные.
Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять
данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.
Информация по назначению калькулятора
Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.
В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.
Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.
Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:
⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.
⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.
Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:
⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.
⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).
⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.
Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:
- Длины сторон
- Углы
- Высота
- Периметр
- Площадь
- Медианы
- Биссектрисы
- Радиус Вписанной и Описанной окружностей
- Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
- Длина Вписанной и Описанной окружностей
- Площадь Вписанной и Описанной окружностей
— равны в равностороннем треугольнике
— также равны в равностороннем треугольнике
— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)
— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)
— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)
Как посчитать угол треугольника
Треугольник определяют его углы и стороны. По типу углов выделяют треугольники остроугольные – все три угла острые, тупоугольные – один угол тупой, прямоугольные – один угол прямой, в равностороннем треугольнике все углы равны 60. Найти угол треугольника можно разными способами в зависимости от исходных данных.
Вам понадобится
- базовые знания тригонометрии и геометрии
Инструкция
Вычислите угол треугольника, если известны два других угла α и β, как разность 180°−(α+β), так как сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Например, пусть известны два угла треугольника α=64°, β=45°, тогда неизвестный угол γ=180−(64+45)=71°.
Воспользуйтесь теоремой косинусов, когда известны длины двух сторон a и b треугольника и угол α между ними. Найдите третью сторону по формуле c=√(a²+b²−2*a*b*cos(α)), так как квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними. Запишите теорему косинусов для двух других сторон: a²=b²+c²−2*b*c*cos(β), b²=a²+c²−2*a*c*cos(γ). Выразите из этих формул неизвестные углы: β=arccos((b²+c²−a²)/(2*b*c)), γ=arccos((a²+c²−b²)/(2*a*c)). Например, пусть в треугольнике известны стороны a=59, b=27, угол между ними α=47°. Тогда неизвестная сторона c=√(59²+27²−2*59*27*cos(47°))≈45. Значит β=arccos((27²+45²−59²)/(2*27*45))≈107°, γ=arccos((59²+45²−27²)/(2*59*45))≈26°.
Найдите углы треугольника, если известны длины всех трех сторон a, b и c треугольника. Для этого вычислите площадь треугольника по формуле Герона: S=√(p*(p−a)*(p−b)*(p−c)), где p=(a+b+c)/2 – полупериметр. С другой стороны, так как площадь треугольника равна S=0,5*a*b*sin(α), то выразите из этой формулы угол α=arcsin(2*S/(a*b)). Аналогично, β=arcsin(2*S/(b*c)), γ=arcsin(2*S/(a*c)). Например, пусть дан треугольник со сторонами a=25, b=23 и с=32. Тогда посчитайте полупериметр p=(25+23+32)/2=40. Вычислите площадь по формуле Герона: S=√(40*(40−25)*(40−23)*(40−32))=√(40*15*17*8)=√(81600)≈286. Найдите углы: α=arcsin(2*286/(25*23))≈84°, β=arcsin(2*286/(23*32))≈51°, а угол γ=180−(84+51)=45°.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
a — основание треугольника; h — высота треугольника.
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<
a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
a, b — катеты треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
a, b — стороны треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
a — сторона равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
h — высота равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.
Разбираем прототип задания 26 из второй части экзамена по математике в 9 классе(ОГЭ). Эта задача по геометрии взята из открытого банка задание огэ математика Федерального института педагогических измерений. Максимальный балл за решение этой задачи составляет 2 балла.
Задание 26 огэ математика (324607)
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Дано: 
ᐃABC – прямоугольный (<B = 90°),
AC =12,
SABC = 18.
__________________________
Найти: <A и <C.
Решение:
Сделаем дополнительное построение. Для этого из вершины B треугольника на гипотенузу опустим высоту BH и медиану BM.
Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника, чтобы найти высоту BH.
SABC =( BH · AC):2,
( BH · 12):2 = 18,
BH = 3.
Медиана, проведенная гипотенузе равна половине гипотенузы: BM = AM = CM = 6.
Рассмотрим ᐃMBH – прямоугольный (<BHM = 90°).
BH = BM:2.
Следовательно, <HMB = 30°, этот угол является внешним углом для ᐃMBА.
Внешний угол и внутренний угол при одной вершине являются смежными углами.
По свойству смежных углов можно записать равенство:
<HMB + <BMA = 180°,
<BMA = 180° — <HMB,
<BMA = 180° — 30° = 150°.
Так как ᐃMBА равнобедренный, то < MAB = <ABM = (180° — 150°):2 = 15°.
<A треугольника ABC найден и равен 15 градусам.
Найдем второй острый угол треугольника ABC, используя свойство острых углов прямоугольного треугольника.
<A + <С = 90°,
<С =90° — 15° = 75°.
Ответ: 15° и 75°.
Предлагаю ознакомиться с решением задания 24 ОГЭ математика, в котором тоже из вершины прямого угла опущены высота и медиана на гипотенузу.