Как найти угол если известны координаты треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти угол треугольника по его координатам

Если известны координаты всех трех вершин треугольника, можно найти и его углы. Координаты точки в трехмерном пространстве — x,y и z. Однако через три точки, которые являются вершинами треугольника, всегда можно провести плоскость, поэтому в этой задаче удобнее рассматривать только две координаты точек — x и y, считая координату z для всех точек одинаковой.

Вам понадобится

Координаты треугольника

Инструкция

Пусть точка A треугольника ABC имеет координаты x1, y1, точка B этого треугольника — координаты x2, y2, а точка C — координаты x3, y3. Что представляют из себя координаты x и y вершин треугольника. В декартовой системе координат с перпендикулярными друг другу осями X и Y от начала координат можно провести радиус-векторы ко всем трем точкам. Проекции радиус-векторов на координатные оси и будут давать координаты точек.

Пусть тогда r1 — радиус вектор точки A, r2 — радиус-вектор точки B, а r3 — радиус-вектор точки C.
Очевидно, что длина стороны AB будет равна |r1-r2|, длина стороны AC = |r1-r3|, a BC = |r2-r3|.
Следовательно, AB = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)), AC = sqrt(((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)), BC = sqrt(((x2-x3)^2)+((y2-y3)^2)).

Углы треугольника ABC можно найти из теоремы косинусов. Теорему косинусов можно записать в следующем виде: BC^2 = (AB^2)+(AC^2) — 2AB*AC*cos(BAC). Отсюда, cos(BAC) = ((AB^2)+(AC^2)-(BC^2))/2*AB*AC. После подстановки в это выражения координаты, получится: сos(BAC) = (((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)-((x2-x3)^2)-((y2-y3)^2))/(2*sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2))*sqrt(((x1-x3)^2)+((y1-y3)^2)))

Источники:

как найти координаты третьей вершины
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

Вопрос задан более трёх лет назад
21897 просмотров

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

источники:

http://qna.habr.com/q/28577

http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php

Источник

Как найти угол треугольника по его координатам

Пусть точка A ABC имеет координаты x1, y1, точка B этого треугольника — координаты x2, y2, а точка C — координаты x3, y3. Что представляют из себя координаты x и y вершин треугольника. В декартовой системе координат с перпендикулярными друг другу осями X и Y от начала координат можно провести радиус-векторы ко всем трем точкам. Проекции радиус-векторов на координатные оси и будут давать координаты точек.

Источник

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

1) Угол A образован векторами

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

$[cos A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}}.]$

Найдём координаты векторов:

$[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),]$

$[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),]$

Находим скалярное произведение векторов:

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

$[left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {8^2 + 1^2 } = sqrt {65} ,]$

$[left| {overrightarrow {AC} } right| = sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = sqrt {26} .]$

Отсюда

$[cos A = frac{{ - 13}}{{sqrt {65} cdot sqrt {26} }} = frac{{ - 13}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 2 cdot 13} }} = ]$

$[= frac{{ - 13}}{{13sqrt {10} }} = - frac{1}{{sqrt {10} }} = - frac{{sqrt {10} }}{{10}}.]$

2) Угол B образован векторами

Таким образом,

$[cos B = frac{{overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} }}{{left| {overrightarrow {BA} } right| cdot left| {overrightarrow {BC} } right|}}.]$

Так как

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

$[overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),]$

$[left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = sqrt {117} .]$

$[cos B = frac{{78}}{{sqrt {65} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 6}}{{sqrt {5 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} =]$

$[= frac{{13 cdot 6}}{{13 cdot 3sqrt 5 }} = frac{2}{{sqrt 5 }} = frac{{2sqrt 5 }}{5}.]$

3) Угол C образован векторами

$[cos C = frac{{overrightarrow {CA} cdot overrightarrow {CB} }}{{left| {overrightarrow {CA} } right| cdot left| {overrightarrow {CB} } right|}}.]$

$[cos C = frac{{39}}{{sqrt {26} cdot sqrt {117} }} = frac{{13 cdot 3}}{{sqrt {2 cdot 13 cdot 9 cdot 13} }} = ]$

$[= frac{{13 cdot 3}}{{13 cdot 3sqrt 2 }} = frac{1}{{sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}.]$

Ответ:

$[cos A = - frac{{sqrt {10} }}{{10}},cos B = frac{{2sqrt 5 }}{5},cos C = frac{{sqrt 2 }}{2};]$

ΔABC — тупоугольный.

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник