Как найти угол если знаешь котангенс

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

вторник, 9 октября 2012 г.

Как найти угол по тангенсу

В комментариях к тригонометрической таблице меня спросили, как перевести в градусы tg@= 4,99237? В общем виде вопрос заключается в том, как найти угол по тангенсу? Для решения этой задачи мы будем использовать калькулятор. Поскольку математики никогда не ставили перед собой задачи навести порядок в математике, то углы и сегодня измеряются в самых разных единицах измерения. Наиболее популярны среди математиков градусная и радианная меры углов. Мы тоже найдем решение как в градусах, так и в радианах. Благо, на калькуляторе они есть.

Как включить калькулятор? Читайте в конце этой страницы.

Сначала мы найдем угол по тангенсу в градусах. Для этого в правом верхнем углу калькулятора нужно установить специальный пыптик в положение Deg 360, что соответствует градусам. Дальше кнопочками вводим число 4,99237. Вот что у нас должно получиться.

После этого нужно нажать кнопочку арктангенс. Именно эта математическая ерунда превращает значение тангенса в угол. На калькуляторе эта хитрая обратная тригонометрическая функция (как её величают математики) замаскирована под кнопочку tan в степени минус 1, то есть тангенс в минус первой степени. После нажатия этой кнопочки восторженный калькулятор на все лады расхваливает нашу мудрость и всеми возможными способами сообщает нам, что мы таки ковырнули арктангенс, а не что нибудь другое. Об этом свидетельствует название функции atan (4.99237) в окошке калькулятора. Для особо одаренных здесь же буковками написано Arc tangent. Правда, особо одаренным нужно ещё знать английский язык, для того, чтобы понять всю глубину восторга калькулятора.

«А где же угол?» — спросите вы и будете правы. Угла нет, не смотря на все наши старания. Для превращения восторга калькулятора в математический результат нужно ещё нажать здоровенную кнопку равно, обозначенную двумя горизонтальными палочками =. Вот теперь мы нашли угол по тангенсу в градусах. Он равняется 78,6732 (ну, и так далее) градусов.

Для полного счастья, можно пролить бальзам на душу математиков, разложив эту десятичную форму записи градусов на градусы, минуты и секунды. Для этого дробную часть числа умножаем на 60 и получаем количество минут в дробном хвосте градусов.

0,6732 * 60 = 40,392′

Подобную процедуру повторяем с минутами. Дробную часть минут умножаем на 60 и получаем секунды.

Процедуру можно повторять и дальше до бесконечности, но, к счастью, математики до этого ещё не додумались. По этому на секундах мы и остановимся. Ничего, что секунды у нас получились с дробным хвостиком. Математики к таким хвостам относятся терпимо. В итоге, полнометражная версия полученного нами угла в градусной мере углов выглядит следующим образом:

78 градусов 40′ 23,52″

В слух эта магическая надпись произносится так: «78 градусов, 40 минут, 23 целых и 52 сотых секунды». Аминь!

Нет, ещё не «Аминь!». Теперь нужно выковырять из калькулятора этот же угол, только в радианах. Процедура добывания угла точно такая же, как и для градусов, с той только разницей, что в самом начале мы на калькуляторе нажимаем соседний пыптик Rad 2п. Повинуясь нашей воле, калькулятор добросовестно выдаст нам результат в радианах. Вот как это будет выглядеть.

Как видите, в радианах мы получили всего-навсего 1,3731 радиан. И за что математики так любят радианы? Ведь, плюнуть не на что. Ну, да Бог с ними, с этими математиками.

Тетерь самый интересный вопрос из комментариев: «А как включить-то калькулятор. «

Теритически, на всех компьютерах и смартфонах калькулятор устанавливается по умолчанию. Просто его нужно найти.

Компьютер. Нажимаем кнопку «Пуск», затем нажимаем «Все программы». Ищем среди программ «Стандартные» и открываем эту папку. У меня именно в ней спрятана программа «Калькулятор». Открываем эту программу нажатием левой кнопки мыши, появляется калькулятор. Если вы не видите на калькуляторе тангансов, котангенсов и прочей математической ерунды, тогда в верхнем меню нажмите на слово «Вид» и включите пиптик «Инженерный». Ваш калькулятор готов к великим математическим свершениям. Кстати, по логике разработчиков калькуляторов, вся эта математическая ерунда типа тангенсы-котангенсы обычным людям и даром не нужна, о чем всидетельствует «Обычный» вид калькулятора.

Смартфон. У меня калькулятор расположен прямо на главном экране. Нажимай и пользуйся. Вот только вылезает калькулятор в обычном виде. Где найти математику? Никогда не задавался таким вопросом. Методом научного тыка выяснил, что в левом нижнем углу экрана есть красненький значек, изображающий два какдратика по диагонали и две стрелочки. После нажатия на этот символ появляются все математические фишки, заложенные разработкичами. Теперь вы становитесь повелителем тангенсов-котангенсов и прочих математических чудес.

Попробую сделать отдельную страницу, посвященную калькулятору, где будут картики и разные полезности. Метод научного тыка — не самый эффективный научный метод, гораздо разумнее пользоваться информацией, которую раздобыли другие пользователи.

Углы прямоугольного треугольника

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

• tg α — тангенс угла α
• a — противолежащий катет
• b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Как с помощью тангенса найти сторону треугольника. Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Сторону треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?

2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC

3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник?ABC и знамениты – сторона BC и углы?? и. Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике?ABC угол?? будет равен?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin. AB = 2 * R * sin. AC = 2 * R * sin. Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin. где R вычисляется по формулеR = BC/sin. R – радиус описанной около треугольника?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin. отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника?? и. то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – . = 180? – . = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам.

Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.

Прямоугольный треугольник

Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S — площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C) .

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h , где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Решение задач

Задача 1. Найти площадь треугольника ABC, если а) AB = 6*√8 см, АС = 4 см, угол А = 60 градусов б) BC = 3 см, AB = 18*√2 см, угол B= 45 градусов в) AC = 14 см, CB = 7 см, угол C= 48 градусов.

По доказанной выше теореме площадь S треугольника ABC равна:

а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 см^2.

б) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 см^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ см^2.

Значение синуса угла считаем на калькуляторе либо используем значения из таблицы значений тригонометрических углов. Ответ:

в) приблизительно 36.41 см^2.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 60 см^2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.

Положим S — площадь треугольника ABC. По теореме о площади треугольника имеем:

Подставим в неё имеющиеся у нас значения:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Отсюда выражаем длину стороны AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать .
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с . По косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем

Понравилось?

Нажмите на кнопку, если статья Вам понравилась, это поможет нам развивать проект. Спасибо!

Как найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса,котангенса? например есть значение sin a=0,3452 какой угол этому соответствует? Функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), называются тригонометрическими. Они выражают зависимости длин сторон от углов треугольника при гипотенузе. Определяются отношением какой-либо из сторон треугольника к другой. То есть, показывают, насколько одна сторона больше другой. Это отношение может быть характерно только для строго определенного угла. Выражаются тригонометрические функции в безразмерных единицах. Если известно значение какой-либо тригонометрической функции (в данном случае, синуса — sin), а требуется найти соответствующий ему угол в градусах, то нужно: найти обратную тригонометрическую функцию, так называемую «arc»: arcsin, arccos, arctg, arcctg.. Эти функции находятся: по таблицам Брадиса, в которых для каждого угла приведены свои — строго определенные значения тригонометрических функций (таблицами Брадиса пользовались в «докомпьютерный век»), с помощью «инженерных» калькуляторов или компьютерными программами, в частности — Excel. Для того, чтобы определить значение угла по таблицам Брадиса, нужно водить пальцем по их строкам (с тысячами значений), где найти нужную величину (то ли 5, то ли 6 знаков после запятой). И увидеть соответствующее ему значение угла. Так что, с помощью Excel это делается несравненно быстрее и точнее. Однако функции arc показывают значение в радианах. Искомый угол равен 0,35245 радиан. Если нужно в градусах, то следуют применить еще и формулу перевода радиан в градусы. Определение значения arcsin угла (в радианах) и значения в градусах — с помощью функций Excel Итак, ответ получен: Синусу угла альфа со значением 0,3452 соответствует угол 20,194 градуса. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим RIOLI­t [176K] 6 лет назад  Данному значению синуса соответствует угол- немногим более 20 градусов, это- по таблице, а если есть значение гипотенузы, то- по отношению- можно найти катет и другие элементы треугольника и- возможно- все улы, здесь- главное- зацепка- кончик ниточки, чтобы размотать весь клубочек,( а имея в хозяйстве инженерный калькулятор, можно сразу- по функции найти угол с точностью до н- ого знака после запятой…) Можно без компьютера, без калькулятора, без таблиц Брадиса найти этот угол. Для этого нужен такой инструмент, как транспортир. Можно воспользоваться угломером. Если есть чертежный прибор, который еще называют кульман, то и им. Но сначала высисляют катет и гипотенузу. Чем больше длина, тем точгее. Допустим, гипотенуза 100 мм, тогда противолежащий катет будет равен 100*0,3452=34,52мм. Берем клетчатую бумагу, по вертикали откладываем 35 мм от горизонтальной линии вверх. Из верхней точки циркулем с разведенными ножками на 100 мм делаем засечку на глризонтальной линии. Соединяем три точки линиями и измеряем угол. Если честно, то в повседневной жизни не припомню, чтобы приходилось определять углы по синусу или тагенсу. Вот строить углы приходится постоянно. Например, нужно обрезать плинтуса под углом 45 градусов. Никакой транспортир или угломер не нужен. На заводе плинтус обрезан под прямым углом, тогда просто отмеряешь два одинаковых катета и проводишь гипотенузу, угол получантся сам собой. Так же легко строить углы 30 и 60 градусов, так как гипотенуза равна двум противолежащим катетам. Еще углы можно измерять смартфоном илитпланшетом, если в нем установлено приложение по измерению углов, очень удобная штука, не надо покупать строительный уровень. bezde­lnik [34.1K] 6 лет назад  Найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса можно по таблицам Брадиса, на логарифмической линейке или на калькуляторе. Если sin a=0,3452, то a=20,194… градуса. Можно найти приближенное значение тригонометрических функций по их графикам, для синуса и косинуса это графики синусоиды и косинусоиды. Найдя значения синуса и косинуса значения тангенса и котангенса можно вычислить по формулам tg a = Sin a /Cos a, ctg a = Cos a/Sin a DartF­allen [68.2K] 6 лет назад  Я открою Вам одну старую и великую тайну! Все эти величины давно вычислены и сведены в таблицу. Носит она название таблицы Браддиса. Когда я учился в старших классах у каждого ученика была желтенькая такая брошюрка, в которой и представлены многие данные и не только для градусной меры углов. Величины эти постоянные и периодического пересчета не требуют. Вот как-то так… Block­phild [0] 8 месяцев назад  Зачем так все сложно и это в век компьютеров? Иди сюда -> https://allcalc.ru/n­ode/1039 вставляй величины катетов и гипотенуз —> жми на кнопку -> ВЫЧИСЛИТЬ и вот тебе результат в градусах и радианах. Недостаток: нужно иметь интернет Не надо никаких там EXCEL, таблиц Брадисов и прочей ерунды, мы в 21 веке живем, все делается очень быстро. Успехов! bezde­lnik [34.1K] 5 лет назад  Для некоторых значений тригонометрических функций соответствующие углы общеизвестны из учебников по математике. Например,для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ,соответственно, а косинус такие же значения в обратном порядке. Это должны знать все получившие среднее школьное образование. Знаете ответ?

Смотрите также: В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=10, АС=√51. Как найти sin A? Как вычислить площадь параллелограма по формуле S=a·b·sin A с след.данными? В треугольнике ABC угол C = 90°, sin A = 4/5, AC=9. Найти AB. Как решить? Как доказать теорему о равенстве синусов острых углов? Как построить угол, если известен синус? Если синус X равен 1, чему равен косинус X(см)? Как найти котангенс, тангенс, синус, косинус? Как выучить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса разных углов? Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс? Как записать две различные функции для синуса и косинуса?

В прямоугольном треугольнике всегда заданы три стороны, из которых две, именуемые катетами, образуют прямой угол в 90°, а третья сторона – гипотенуза, их соединяет. Все тригонометрические отношения в таком треугольнике строятся на делении одной стороны на другую, и так как катетов два, то используемый в формуле катет может быть либо противолежащим – находящимся напротив угла α, и не имеющий с ним общих точек, либо прилежащим – являющимся непосредственно стороной угла α, и выходящим из него. Так как отношением противолежащего катета к прилежащему является тангенс, то другим отношением катетов будет котангенс, где в числителе дроби находится прилежащий катет (как и в косинусе), а в знаменателе противолежащий
.

В отличие от тандема синус-косинус, которые оба отталкиваются от гипотенузы в знаменателе, тангенс и котангенс используют в формулах исключительно катеты в разном порядке. Таким образом, мы получаем не только два разных отношения, соответствующих всем законам тригонометрии, но и два отношения, являющихся обратными друг и другу и взаимно конвертируемыми
.

Таблица котангенсов

Котангенс угла 0° градусов	∞	∞
Котангенс угла 30° градусов	√3	1.732
Котангенс угла 45° градусов	1	1.000
Котангенс угла 60° градусов	1/√3	0.577
Котангенс угла 90° градусов	0	0.000

Прошу, очень надо!! Как найти синус, косинус и тангенс, если известен только котангенс??…

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
   $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
   $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
3. Cвязь тангенса и котангенса:
   $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
   $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
   $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
   $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
5. Синус суммы и разности:
   $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
   $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
6. Косинус суммы и разности:
   $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
   $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности:
   $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
   $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
8. Котангенс суммы и разности:
   $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
   $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
9. Двойной угол:
   $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
   $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
   $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
   $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
10. Тройной угол:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
11. Формулы половинного угла:
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
12. Понижение степени:
    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
15. Формулы подстановки тангенса:
    $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: (4.)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
   $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
   $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
   $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
   $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)

(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)

(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

Формулы понижения степени

$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$