Чему равен угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника? Ответ не зависит от величины острых углов, поскольку является величиной постоянной.
По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника равна 180º. В прямоугольном треугольнике один угол — прямой, то есть его величина равна 90º. Значит, сумма оставшихся острых углов равна 90º.
Поскольку биссектрисы делят каждый из острых углов пополам, сумма углов, образованных при делении углов биссектрисами, равна половине суммы острых углов, то есть 45º.
Пусть AP и BF — биссектрисы острых углов A и В прямоугольного треугольника АВС, К — точка их пересечения. Тогда
Рассмотрим треугольник АВК. Сумма его углов
Таким образом, один из углов между биссектрисами BF и AP равен 135º. Другой угол — смежный с данным. Так как сумма смежных углов равна 180º,
Вывод:
Углы между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника не зависят от величин углов и равны 45º и 135º.
Решение:
Сумма углов ∠А + ∠В равна:
∠А + ∠В = 180º – ∠С = 180º – 90º = 90º
Сумма углов ∠ОАВ + ∠ОВА, образованных биссектрисами, равна:
∠ОАВ + ∠ОВА =
Сумма углов любого треугольника равна 180°. В ΔАОВ найдём угол ∠АОВ:
∠АОВ = 180 – (∠ОАВ + ∠ОВА) = 180º – 45º = 135º
∠АОВ и ∠ВОD cмежные их сумма равна 180°. Найдём острый угол ∠ВОD между биссектрисами:
∠ВОD = 180° – ∠АОВ = 180º – 135º = 45º
Ответ: 45.
Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.
В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.
Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.
В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.
Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.
Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.
Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.
Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.
Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.
Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:
Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен ) пересекаются в точке M.
Рассмотрим треугольник ABM.
,
, тогда .
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: 45.
Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.
Тогда ;
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
.
Ответ: 16.
Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.
Требуется найти угол МСD.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
Следовательно,
Искомый
Ответ: 42.
Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.
. Требуется найти угол МСL.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
Следовательно,
т.к. CL – биссектриса.
Искомый
Ответ: 22.
Задача 5. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен .
Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен .
В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:
.
Ответ: 130.
Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.
Рассмотрим треугольник AOB.
,
, тогда .
Из треугольника ABC получим, что .
Тогда .
Ответ: 119.
Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Найдем угол ACB. Он равен
Тогда
Из треугольника ACF найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник AOF.
, . Значит .
Ответ: 49.
Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен , угол B равен . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.
Поэтому
Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:
Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:
Ответ: 32.
Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен . Угол САD равен . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Поскольку AD – биссектриса, то
Сумма углов треугольника равна , следовательно,
Ответ: 74.
Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,
Ответ: 116.
Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и
AD — биссектриса, следовательно,
AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и
– внешний в треугольнике ADC, следовательно,
Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.
Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна :
, откуда получаем:
Наименьший угол треугольника АВС равен .
Ответ: 36.
Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.
Решение:
Пусть стороны треугольника равны и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,
В соответствии со свойством биссектрисы:
Или:
Одновременно выполнено условие для периметра:
Тогда
Ответ: 9, 6, 7.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов
- Категория: Задачи по планиметрии
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Ответ: 45.
СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
26 мая
Как заработать +20–30 баллов на ЕГЭ благодаря разборам ЕГЭ с Дальнего Востока
24 мая
Обновлённая панель инструментов
22 мая
Беседы Решу ЕГЭ по подготовке к ЕГЭ
11 мая
Решение досрочных ЕГЭ по всем предметам
5 мая
Обновленный поиск заданий по ключевым словам
1 мая
Новый сервис: можно исправить ошибки!
29 апреля
Разместили актуальные шкалы ЕГЭ — 2023
24 апреля
Учителю: обновленный классный журнал
7 апреля
Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю
30 марта
Решения досрочных ЕГЭ по математике
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
НАШИ БОТЫ
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 1 № 27766
i
Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Спрятать решение
Решение.
По рисунку, используя свойство смежных углов и теорему о сумме углов треугольника, находим:
Ответ: 45.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.1 Треугольник
Спрятать решение
·
Видеокурс
·
Помощь
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023