Как найти угол между диагоналями цилиндра

Задача 57287 Площадь основания цилиндра относится с…

Смотрим рисунок.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга:

Sосн = Pi*R^2

Осевое сечение — это прямоугольник ABCD, у которого одна сторона равна высоте цилиндра H, а другая диаметру D = 2R.

Sсеч = 2RH

И они относятся друг к другу как 3 : 4.

(Pi*R^2) : (2RH) = 3 : 4

По правилу пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

4Pi*R^2 = 3*2RH

Делим всё на 2R:

2Pi*R = 3H

Pi*D = 3H

H/D = Pi/3

Из треугольника ABD получаем:

ctg α = AB/AD = H/D = Pi/3

Сумма углов треугольника AOB равна 180°, углы A = B = α, поэтому:

AOB = β = 180° — 2α = 180° — 2*arcctg (H/D) = 180° — 2*arcctg(Pi/3)

Но здесь надо понимать, что Pi/3 ≈ 3,1416/3 = 1,0472

Это просто число, а ни в коем случае не угол 60°.

Поэтому я специально в формуле угла β написал 180°, а не Pi, чтобы не путаться.

Ответ: Угол между диагоналями AOB = 180° — 2*arcctg(Pi/3)