Как найти угол между двумя параллельными прямыми

Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.

Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.

1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
 

Рис. (3). Параллельные прямые.

Рис. (4). Пересекающиеся прямые.

Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
 Теорема доказана.

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n₁ = (3; 0; -12) и n₂ = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем

$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

,

(1.1)

,

(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

,

,

(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.

(1.5)

.

(1.6)

.

Упростим и решим:

.

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.

(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

,

,

,

,

.

(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

.

(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.

(1.10)

.

(1.11)

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

.

(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

.

(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(1.14)

.

(1.15)

.

(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

(1.17)

.

(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

.

(1.19)

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

(23)

Упростим и решим:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

.

(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

.

(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

,

(2.1)

,

(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

,

(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

.

(2.5)

(2.6)

.

Упростим и решим:

.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2

(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

(2.8)

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

.

(2.9)

.

(2.10)

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

.

(2.11)

.

(2.12)

.

(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

.

(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

.

(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

(2.17)

.

(2.18)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. — угол между скрещивающимися прямыми и (рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если то углом между прямыми и будет угол между прямыми и , где (рис. 6.1,6).

Итак,
Если , то . Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой и плоскостью , последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

1. выбирают точку прямой ;
2. проводят из точки перпендикуляр к плоскости ;
3. проводят через точки плоскости и прямую .

Прямую называют проекцией прямой на плоскость а.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна , то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой и плоскостью обозначают или или . Читают: «угол между прямой и плоскостью ».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например (рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Выберем точки и (рис. 6.4), принадлежащие прямой — линии пересечения плоскостей и , — и построим два линейных угла для плоскостей и . Для этого проведем плоскости и , которые пересекут плоскости и по прямым и , и . Прямые и лежат в плоскости и перпендикулярны прямой , значит и . Если к плоскости применить параллельный перенос, который переводит точку в точку , то прямая совпадет с прямой , а прямая — с прямой . Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости и совпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и см. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: — отрезок,
Найти: углы, образованные отрезком с плоскостями и .

и — проекции точек и на плоскости и соответственно. Поскольку , (или ) — прямая пересечения этих плоскостей, то , .
Итак, и — прямоугольные, у которых: (по условию).
Из
Из
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений:

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками и называется длина отрезка (рис. 6.14). Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра , проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки с концами в точке и произвольной точке прямой, отличной от , — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Рассмотрим плоскость и точку , не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки до плоскости следует выбрать длину перпендикуляра , проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки , где — произвольная точка плоскости, отличная от , будут наклонными и поэтому их длина больше чем .

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Расстояние от точки до отрезка (рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр из точки к прямой ; 2) если основание этого перпендикуляра принадлежит данному отрезку , то искомое расстояние равно длине отрезка (рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка или (в зависимости от того, какая из точек — или — лежит ближе к точке ) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры равны между собой, а каждый отрезок с концами и на данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра .

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Пусть имеем две параллельные плоскости и (рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр , проведенный из произвольной точки одной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра , и параллельных плоскостей и параллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок с концами в данных плоскостях и , не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра .

А это вытекает из того, что перпендикуляр , к плоскости меньше наклонной к этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Действительно, пусть и — данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые и , соответственно параллельные и , так, что прямая пересекается с прямой , а прямая . Через прямые и и и которые попарно пересекаются, проводим плоскости и .
Плоскости и — параллельные. Произвольные прямые , которые пересекают прямую и перпендикулярны плоскости , лежат в одной плоскости. Назовем ее . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой , параллельной . Пусть точка — точка пересечения прямых , и некой прямой , а точка — точка пересечения той же прямой и . Тогда прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна и плоскости , поскольку . Отсюда вытекает, что и .

Отрезок — общий перпендикуляр к плоскостям и , а следовательно, и к прямым и . Докажем, что он единственный. Пусть прямые и имеют другой общий перпендикуляр . Проведем через точку прямую , параллельную . Прямая перпендикулярна прямой , а следовательно, и .

Поскольку она перпендикулярна прямым и, которые проходят через точку , то она перпендикулярна плоскости . Тогда параллельна прямой . Имеем, что через прямые и , как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые и . А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок перпендикулярен плоскости треугольника , стороны , и которого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до стороны , если .

Пусть — высота данного остроугольного треугольника (рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и длина будет расстоянием от точки до стороны . Определим ее из прямоугольного треугольника (поскольку ), то ). Для этого предварительно найдем .

Из формулы для площади треугольника .
Необходимую площадь определим по формуле Герона:
Тогда и.

Пример №3

Прямая перпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке . Докажите, что расстояния от точки до всех сторон ромба равны между собой.

Пусть — ромб и — точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда — центр вписанной в ромб окружности. Пусть — точки касания сторон к окружности. Тогда . Поскольку , то по теореме о трех перпендикулярах . Итак, — расстояния от точки до сторон ромба. Из равенства треугольников вытекает, что . Ч.т.д.

Пример №4

Точка не лежит в плоскости прямоугольного треугольника и находится на расстояниях и от прямых, содержащих катеты и (рис. 6.23). — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник -прямоугольник.

Поскольку отрезки и — расстояния от точки соответственно до прямых и , то и . По условию , поэтому и — проекции наклонных и на плоскость и (по теореме о трех перпендикулярах). Однако по условию, поэтому — прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Подобие треугольников
• Решение прямоугольных треугольников
• Параллелограмм
• Теорема синусов и теорема косинусов
• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.



2.5.7. Как найти угол между прямыми?

Новая картинка за очередным поворотом:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается

МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом

между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед  или

отрицательно ориентированный «малиновый» угол . Если прямые

перпендикулярны, то за угол между ними можно принять любой из 4 углов.
…что-то не понятно? Срочно изучаем Приложение Тригонометрия!

Однако ещё раз: чем отличаются углы ? Ориентацией (направлением «прокрутки» угла).

Напоминаю, что отрицательно ориентированный угол «прокручивается» по часовой стрелке и записывается со знаком «минус».

Следует отметить, что ориентацию угла часто не принимают во внимание, и рассматривают «просто угол», который .

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют три основные формулы.

Способ первый. Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе

координат:

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то прямые не перпендикулярны и ориентированный угол  между ними можно вычислить с помощью

формулы:

Знаменатель этой формулы – в точности, скалярное произведение направляющих векторов: ,

которое равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. …надеюсь, не забыли.

Задача 83

Найти угол между прямыми , заданными в декартовой системе координат.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

И с помощью обратной функции (см. Приложение Тригонометрия) легко найти сам угол, при этом используем нечётность арктангенса:

Ответ:

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью

калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного, вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи «первым номером» идёт прямая  и «открутка» угла началась именно с неё. Если очень хочется получить положительное значение, то нужно

поменять прямые местами, то есть коэффициенты  взять из второго уравнения , а коэффициенты  – из первого уравнения . Короче

говоря, начать нужно
с прямой .

Скрывать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.

Способ второй, он удобен, когда прямые заданы уравнениями с

угловым коэффициентом:  (в декартовых координатах).

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то ориентированный угол  между ними можно найти с помощью формулы:
, и на самом деле это частный случай предыдущей формулы.

К слову, из равенства  следует полезная взаимосвязь угловых

коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых

задачах.

Решим Задачу 83 вторым способом, для этого перепишем прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты: , и алгоритм похож:

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Используем формулу:

Ответ:

И третий способ состоит нахождении угла между направляющими векторами прямых с помощью скалярного произведения: , но здесь не принимается во внимание ориентация угла (по любому получится ). Кроме того, он может оказаться тупым, и тогда придётся делать оговорку, что угол между

прямыми – это меньший угол, и из  радиан (не из !) вычитать получившийся арккосинус.

Какой способ выбрать? Ориентируйтесь на вашу задачу, методичку или ситуацию.

Задача 84

Найти угол между прямыми .

Самостоятельно, всеми тремя способами! Решение и ответ в конце книги.

И по просьбам учащихся ещё один пункт:

2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Определение
угла между прямыми сводится к определению
угла между их направляющими векторами

;
.

Из
определения скалярного произведения
имеем:

(7.5)

—
угол между прямыми в пространстве.

Условие
параллельности прямых эквивалентно
условию коллинеарности их направляющих
векторов

и

:

(7.6)

—
условие
параллельности прямых в пространстве.

Условие
перпендикулярности прямых: (
,
)
= 0:

l₁l₂
+ m₁m₂
+n₁n₂
= 0
(7.7)

—
условие перпендикулярности прямых в
пространстве.

Пример
7.4 . Найти
угол между прямой

и
прямой, проходящей через две точки

.

Решение.
Координаты направляющего вектора первой
прямой

.
Для второй прямой направляющим является
вектор

.
Угол между направляющими векторами
вычислим, используя формулу (7.5),

.

Расстояние
от точки
до
прямой

Расстояние
от точки

до прямой



вычисляется
по формуле

(7.8)

Пример
7.5. Найти
расстояние от точки

до прямой

Решение.
Воспользуемся
формулой
(7.8). Так как

то

Итак,
расстояние равно 10.

7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Две
прямые в пространстве могут:

1.
пересекаться;

2.
быть параллельными;

3.
скрещиваться.

В
первых двух случаях прямые лежат в одной
плоскости.

Пусть
прямые

и

заданы каноническими уравнениями:

;

.

Для
принадлежности двух прямых к одной
плоскости необходимо и достаточно,
чтобы три вектора

,
(

и

точки на прямых

и

),

были компланарны, т.е. смешанное
произведение этих векторов равно нулю.

_(7.8)

—
условие принадлежности двух прямых
одной плоскости.

Пример
7.5. Доказать,
что прямые

пересекаются.

Решение.
Применим
формулу (7.8).

=-104
– 6 + 110 = 0.

Таким образом прямые лежат в
одной плоскости. А так как координаты
их направляющих векторов не пропорциональны,
следовательно прямые не параллельны,
а пересекаются. Что и требовалось
доказать.

7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Р
ассмотрим
плоскость p,
заданную уравнением

и прямую

,
заданную каноническими уравнениями:

Поскольку
угол j
между прямой

и плоскость p
является дополнительным к углу между
вектором нормали плоскости

и
направляющим вектором прямой

,
то (
,
)=

; cosy
= cos(90⁰
— j)
= sinj,
то

(7.9)

—
угол между прямой и плоскостью.

Условие
параллельности прямой и плоскости
эквивалентно условию перпендикулярности
направляющего вектора прямой и нормального
вектора плоскости

Аl
+Bm +Cn = 0
(7.10)

—
условие параллельности прямой и
плоскости.

Условие
перпендикулярности прямой и плоскости
эквивалентно условию параллельности

и

(7.11)

—
условие перпендикулярности прямой и
плоскости.

Пример
7.6. При каком
значении

и

прямая

и плоскость

перпендикулярны?

Решение.
Воспользуемся условием перпендикулярности
прямой и плоскости (7.11). Тогда

.
Получаем

Пример
7.7. При каком
значении n
прямая

параллельна
плоскости

.

Решение.
Обращаемся
к условию параллельности прямой и
плоскости (7.10). Подставляя соответствующие
значения в это уравнение, получим

или

откуда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #