Как найти угол между двумя прямыми пересекающимися

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

11
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Углы в пространстве

2013-08-11
2014-03-03

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи. 

Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.

Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых

Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.

Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:

A₁ + B₁ + C₁ = 0

A₂ + B₂ + C₂ = 0

Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:

Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:

φ = 180⁰ — ψ.

Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:

Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла. 

Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.

Пример решения задачи

На школьных уроках геометрии для решения в классе часто предлагается следующий вид задач по поиску угла между двумя прямыми.

Ниже приведем алгоритм решения задачи, при которой бесконечные линии на плоскости заданы уравнениями общего вида, в которых присутствует угловой коэффициент.

Обозначим прямые как (L₁) и (L₂). Каждая из них задается уравнением следующего вида:

А₁х + В₁у + С₁ = 0;

А₂х + В₂у + С₂ = 0;

Зная, что нормальные вектора каждой из них имеют вид:

Суть задачи сводится к вычислению угла φ, образованного нормальными векторами.

Используем определение скалярного произведения векторов:

и координатное выражение их длин, а также их скалярное произведение:

В практических задачах по математике часто требуется найти не сам угол между пресекающимися прямыми, а составить уравнение их всех, при условии, что прямые пересекаются между собой.

Так, если прямые заданы уравнениями общего вида с коэффициентами, то

Последнее равенство часто называют уравнением биссектрис углов, образованных в результате пересечения прямых. Понятие «биссектриса» в геометрии — это некое геометрическое место точек, которые удалены на одинаковое расстояние от сторон угла.

Если прямые задаются уравнениями, включающими угловой коэффициент, который определяется тангенсом угла, найти значение углов, образованных при их пересечении, достаточно просто:

Рис. 2 Углы, образованные пересечением двух прямых на плоскости

tan α = k₁;

tan β = k₂;

где k₁ и k₂ – те самые угловые коэффициенты.

Следовательно, чтобы вычислить значение γ, следует применить формулы:

γ = α — β

tan γ = tan (α — β)

Решение очевидно:

Вопросы занятия:

·     рассмотрим углы между пересекающимися и
скрещивающимися прямыми в пространстве.

Материал урока.

Напомню, что два луча
ОА и O₁A₁ в пространстве, не лежащие на одной прямой,
называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной
полуплоскости с границей ОO₁. Если
стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Как вы уже знаете, любые
две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре
неразвернутых угла. Если известен
один из этих углов, то можно найти и другие три угла.

Определение. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые
углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не
превосходит любой из трех остальных углов, т.е. наименьший из углов.

Если пересекающиеся
прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен девяносто
градусов.

Пусть α – тот из углов,
который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол
между пересекающимися прямыми равен α. Очевидно, что угол альфа между двумя пересекающимися
прямыми удовлетворяет условию: .

Теперь введем понятие угла
между скрещивающимися прямыми. Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые а и
b. Возьмем произвольную точку М₁ в
пространстве и проведем через нее прямые A₁B₁, параллельные прямым а и b
соответственно.

Тогда углом между
скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися
прямыми A₁B₁. Т. е. если угол между прямыми A₁B₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися
прямыми а и b равен φ.

Докажем, что угол
между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Возьмем любую другую
точку М₂ и проведем через нее прямые a₂ и b₂,
параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми a₁ и b₁ равен α₁, а угол между прямыми a₂ и b₂ равен α₂.

Если прямые a₁, b₁, a₂, b₂ лежат в
одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых
угол α₁ равен
углу φ и равен углу α₂.

Пусть теперь прямые a₁ и b₁,
пересекающиеся в точке М₁, лежат в одной плоскости. А прямые a₂ и b₂,
пересекающиеся в точке М₂ лежат в другой плоскости.

Так как прямая a₁ параллельна прямой а и прямая a₂ параллельна прямой а, то по признаку параллельности
прямых в пространстве прямые a₁ и a₂ также параллельны. Так как прямая b₁ параллельна прямой b и прямая b₂ параллельна прямой b, то по
признаку параллельности прямых в пространстве прямые b₁ и b₂ параллельны.

Отметим на прямых a₁ и a₂ точки A₁ и A₂ так, чтобы
отрезки М₁А₁ и М₂А₂ были равны. На
прямых b₁ и b₂ отметим точки B₁ и B₂ так,
чтобы отрезки M₁B₁и M₂B₂ были равны.

Угол A₁M₁B₁ равен углу α₁, угол A₂M₂B₂ равен α₂.

Тогда стороны угла A₁M₁B₁ и угла A₂M₂B₂ попарно сонаправлены. По теореме о равенстве углов с
сонаправленными сторонами получаем, что угол A₁M₁B₁ равен углу A₂M₂B₂. Т. е. имеем, что угол α₁ равен углу α₂.

Таким образом, величина
угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M₁.

Замечание. Угол между параллельными прямыми в пространстве считается
равным 0º.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольная пирамида DABC.
На ее ребре DB взята точка Т.

Тогда угол между
скрещивающимися прямыми BC и АТ равен углу между прямой АТ и прямой TF,
которая проходит через точку Т параллельно прямой BC в плоскости BDC.

Рассмотрим еще
пример. Пусть есть параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. И пусть точка О – точка пересечения диагоналей грани
A₁B₁C₁D₁, а точка F – точка пересечения диагоналей
грани AA₁B₁B.

Тогда угол между
скрещивающимися прямыми C₁D и OF равен углу между прямыми OF и прямой OK,
проходящей через точку О и параллельной прямой C₁D в плоскости C₁DA₁.

Задача. Дана правильная пирамида .  – средняя линия грани
. Найдите угол между
прямыми  и
.

Решение.

Запишем ответ: 90º

Задача. Дан куб . Найдите угол между
прямыми  и
.

Решение.

Ответ: 60º.

Подведем итоги
урока. На этом уроке мы рассмотрели
углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решили несколько
задач на нахождение скрещивающихся углов.