Как найти угол между плоскостями калькулятор

Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между плоскостями заданными в виде общего уравнения плоскости:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Онлайн калькулятор для вычисления угла между двумя плоскостями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Пусть заданы:
прямоугольная система координат Oxyz,
произвольная плоскость ( pi );
точка ( M_0(x_0;y_0;z_0) in pi );
вектор ( vec{N}(A;B;C) ), перпендикулярный плоскости ( pi ) (смотри рисунок).

Рассмотрим произвольную точку М(х; у; z). Точка М лежит на плоскости ( pi ) тогда и только тогда, когда векторы
( vec{M_0M} ) и ( vec{N} ) взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора ( vec{M_0M} )
равны ( x-x_0, ; y-y_0, ; z-z_0 ) , то в силу условия перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение
должно быть равно нулю) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости ( pi ) тогда и только тогда, когда

( A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 tag{1} )

Это и есть искомое уравнение плоскости ( pi ), так как ему удовлетворяют координаты х; у; z любой точки М, лежащей на плоскости ( pi ),
и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
( Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0 )

Далее, обозначая число ( -Ax_0-By_0-Cz_0 ) через ( D ), получаем

( Ax +By+Cz+D=0 tag{2} )

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как
определяется уравнением первой степени.

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.
Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение ( Ax+By+Cz+D=0 ) с произвольными коэффициентами
А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение
( x_0, ; y_0, ; z_0 ) ( если, например, ( C neq 0 ), то, взяв произвольные х₀, и y₀, из уравнения получим:
( z_0 = -frac{A}{C}x_0 — frac{B}{C}y_0-frac{D}{C} ) ).

Таким образом, существует хотя бы одна точка M₀(x₀; y₀; z₀), координаты которой
удовлетворяют уравнению, т.е. Ax₀+By₀+Cz₀+D=0. Вычитая это числовое равенство из уравнения
Ax+By+Cz+D=0, получаем уравнение
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) + D=0,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Ax+By+Cz+D=0 ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет
плоскость ( pi ), проходящую через точку M₀(x₀ и перпендикулярную вектору ( vec{N}(A;B;C) ).

Вектор ( vec{N}(A;B;C) ), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором или нормалью этой плоскости.

Рассмотрим две плоскости ( pi_1 ), и ( pi_2 ), заданные соответственно уравнениями

( A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, ;; A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 )

При любом расположении плоскостей ( pi_1 ), и ( pi_2 ) в пространстве один из углов ( varphi )
между ними равен углу между их нормалями ( vec{N_1}(A_1;B_1;C_1) ) и ( vec{N_2}(A_2;B_2;C_2) ) и вычисляется по
следующей формуле:
$$ cos varphi = frac{ vec{N_1} cdot vec{N_2}}{ |vec{N_1}| |vec{N_2}| } =
frac{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2}{sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} ; sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} } tag{3} $$

Второй угол равен ( 180^circ -cos varphi )

Если плоскости ( pi_1 ) и ( pi_2 ) параллельны, то коллинеарны их нормали ( vec{N_1} ) и
( vec{N_2} ), и наоборот. Но тогда
$$ frac{A_1}{A_2} = frac{B_1}{B_2} = frac{C_1}{C_2} tag{4} $$
Условие (4) является условием параллельности плоскостей ( pi_1 ) и ( pi_2 )

Если плоскости ( pi_1 ) и ( pi_2 ) взаимно перпендикулярны, то их нормали ( vec{N_1} ) и
( vec{N_2} ) также перпендикулярны, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие
перпендикулярности плоскостей ( pi_1 ) и ( pi_2 ):
( A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 )