Как найти угол между плоскостями треугольной пирамиды



5.7. Задача с треугольной пирамидой

Концептуально эта задача напоминает задачу с треугольником на плоскости. Только вот треугольников у нас теперь

четыре, и образуют они треугольную пирамиду или тетраэдр:

У треугольной пирамиды есть:

– четыре вершины;

– шесть рёбер (сторон);

– четыре грани.

Чем богаты, тем и рады.

Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическую геометрию интересует совсем

другое, а именно: уравнения рёбер, плоскостей, всевозможные длины, углы и некоторые другие вещи, которые вы увидите прямо сейчас. Типовая задача

формулируется так:

Задача 166

Треугольная пирамида задана координатами своих вершин, пусть это будут вершины . Требуется: … если повезёт, то только 3-4 пункта из перечисленных:

1) найти длину ребра ;

2) составить уравнения стороны ;

3) найти угол между рёбрами ;

4) найти площадь грани ;

5) найти угол между ребром  и плоскостью ;

6) составить уравнение грани ;

7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины  на грань ;

вычислить длину высоты ;

9) найти основание высоты ;

10) вычислить объем пирамиды;

11) составить уравнения медианы  грани ;

12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую  и вершину ;

13) найти угол между плоскостями  и

14) выполнить чертёж пирамиды  в прямоугольной системе координат.

15) перекреститься левой пяткой.

Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами :

Если бегло просмотреть пункты условия, то легко заметить, что

там часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой

«особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .

А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . Здесь «особой» гранью, скорее всего, будет , а «особенной» точкой – вершина .

В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные

читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для «чайников» чертёж просто обязателен.

Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин, анализируем условие, находим «особенную» плоскость и точку и

выполняем бесхитростный набросок на черновике.

С чего начать решение? Начать лучше всего с того, что загнать координаты вершин в Геометрический

калькулятор (см. приложения), который автоматически рассчитает наиболее популярные пункты. Ибо приятно заранее знать

правильные ответы

Но расписать-то всё нужно подробно. И поэтому оформление решения удобно начать с нахождения векторов. Почти всегда векторы

откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки :
Решим эту элементарную задачу:
     

Чтобы комфортнее воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных вектора рекомендую переписать на отдельный листочек.

Это же сделайте, когда  будете решать свою задачу – чтобы каждый раз не выискивать нужный вектор, нужную точку. Их удобно держать перед

глазами.

Понеслось:

1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :

Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления,

например, до 1 или 3 десятичных знаков.

Полагаю, в случае надобности никого не затруднит аналогичным образом найти длину ребра   или . Как вариант, можно использовать

формулу расстояния между двумя точками: . Но зачем? У нас уже найдены

векторы.

2) Найдём уравнения ребра . Строго говоря, здесь следует

сказать «уравнения прямой, которая содержит ребро», но этим почти всегда пренебрегают. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.

Уравнения ребра  составим по точке  (можно взять ) и направляющему

вектору :

Для проверки подставляем координаты точек  в полученное уравнение. Обе

должны «подойти».

3) Найдём угол между сторонами :

Перед вами обычный угол пространственного треугольника,

который рассчитывается как угол между векторами: . И снова при делах задро тривиальная формула:

 – заметьте, что в ходе вычислений можно (и нужно) использовать ранее полученные результаты, в данном случае нам

уже известно, что  (см. пункт 1).

С помощью обратной функции находим сам угол:

4) Найдём площадь грани :

Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу:


Найдём векторное произведение:


и вычислим его длину:

 …и вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в

неизменном виде.

Таким образом, площадь грани :

Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.

5) Найдём угол  между ребром  и плоскостью , прошу прощения за неточность

последующих чертежей, я рисую от руки:

Это стандартная задача, рассмотренная в Задаче 162 (пункт

«д»). Используем формулу:

и с помощью арксинуса рассчитываем сам угол:

6) Составим уравнение грани . А точнее, «уравнение  плоскости,

которая содержит грань». Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден

вектор нормали  плоскости . Поэтому уравнение грани  составим по точке  (можно взять  либо ) и вектору нормали :

Таким образом:

Для проверки можно подставить координаты точек  в полученное уравнение, все три точки

должны «подойти».

7) Как составить уравнения высоты пирамиды? Звучит грозно, решается просто.

Уравнения высоты , опущенной из вершины  на грань , составим по точке  и направляющему

вектору :

 – по умолчанию записываем канонические уравнения.

Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает «на всю катушку», и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или

уравнения высоты – сразу «пробивайте» векторное произведение.

Длину высоты  найдём как расстояние от точки  до плоскости :

Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.

Теперь пунктик потруднее:

9) Найдём основание высоты – точку . Тема пересечения

прямой и плоскости подробно муссировалась в той же в Задаче 162 (пункт «б»). Повторим.

Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:

Неизвестным координатам точки  соответствует вполне конкретное значение

параметра :
, или: .

Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки  в уравнение :

Кому-то покажется жестью, но на самом деле шифер  Который шуршит.

Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
 

Сурово, но идеально точно. Я проверил.

10)  Объём треугольной пирамиды в ангеме традиционно рассчитывается с помощью

смешанного произведения векторов:

Таким образом,

И тут уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где  – площадь грани,  – длина высоты, опущенной к этой грани. Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину высоты :
, чему мы очень рады.

11) Составим уравнения медианы  грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на

плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и по формулам координат середины отрезка находим адрес точки :

Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но сначала (см. по ссылке, почему) лучше найти

направляющий вектор: . В качестве направляющего можно взять любой

коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:

Уравнения медианы составим по точке  и направляющему вектору :

Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка обыденна, нужно подставить координаты точек  в полученные уравнения.

12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую  и вершину :

Увы, мы не знаем «вкусный» вектор нормали, и поэтому уравнение

плоскости  придётся добывать по точке и двум

неколлинеарным векторам.

В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных  векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать друга-мажора . Ему в пару подходит вектор , но лучше .
Ибо координаты этого вектора будут целыми:

Уравнение плоскости составим по точке  и двум неколлинеарным векторам :

Непременно проверяем, что координаты точек  удовлетворяют

полученному уравнению.

13) Найдём угол между плоскостями  и .

Это типовая задача.

Обозначим искомый угол через  и используем формулу: , где  – вектор

нормали плоскости . Напоминаю, что вектор  и его длина  уже известны.

Осталось из уравнения  снять вектор нормали:  и аккуратно провести вычисления:

Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:

От тупизны подальше за ответ таки лучше принять смежного соседа:

14) Выполним точный чертёж пирамиды  прямоугольной системе координат. Да, конечно, существуют программы и онлайн сервисы для построения чертежей, но не

факт, что они под рукой, и не факт, что такой чертёж будет качественным. Поэтому я расскажу вам о ручном способе построения – в тетради с помощью

карандаша и линейки.

С чего начать?

Во-первых, нужно правильно изобразить декартову систему координат на клетчатой бумаге. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, о чём мы уже вспомнили, когда разбирали канонические уравнения прямой. И сейчас тема получает продолжение.

Построим точку .  Для этого отмеряем 2 единицы в положительном направлении

оси  и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости  прочерчиваем тонкие

пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим  координатным осям. Пересечение этих дорожек отмечено ромбиком (слева

внизу):

Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться

наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.

Для точки  отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные

осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы

вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.

Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина  лежит в самой

плоскости .

Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и

внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .

Строим рёбра. Если есть сомнения, то сначала тонко-тонко прочерчиваем все 6 сторон и начинаем разбираться, какие рёбра видимы, а какие нет. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все

три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:

Должен предостеречь, что так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия

пространства!

Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона  спряталась за пирамидой. Обратите внимание, что она лежит в нижнем

полупространстве и проходит под осями :

Готово.

Следует отметить, что чертеж-«конфетка» получается далеко не всегда. Бывает, что фортуна разворачивается задом. Так, грань пирамиды может полностью

или частично закрывать всё остальное (слева).
       

Но самое скверное, когда перекрываются рёбра (справа). Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В

подобной ситуации можно жирно прочертить накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записать дополнительные комментарии о расположении

пирамиды. А можно поступить творчески – поменять оси местами (например,  и ).

Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложить на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.

В конце решения следует выполнить Пункт 15, после чего желательно записать ответ, где по пунктам перечислить

полученные результаты.

6.1. Поверхности второго порядка

5.6.7. Добро пожаловать в «реальные боевые условия»!

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

В действительности вы задачу озвучили не полностью. Для того чтоб «решить» что то в данной правильной пирамиде надо знать минимум два каких нибудь измерения. Например, что то из основания (сторону, диагональ, пусть половина стороны: MO), поскольку в основании квадрат.

Так же необходимо еще измерение: например высота пирамиды или высота боковой стороны или длина боковой стороны или угол наклона боковой стороны. Поскольку данных нет, не очень понятно, через что выразить ∠DEB (чтоб его найти его надо через некие данные выразить).

---

Давайте проведем общие исследования. В любом случае надо прийти к ∆DEB

1) ∆DEB — равнобедренный. DE = BE (так как это высоты к боковым сторонам в равных равнобедренных треугольниках ∆BNC и ∆DNC

То есть для нахождения угла, надо «решить» ∆DEB. Для этого надо знать его два элемента.

Например знать сторону BE и сторону BD или пол стороны BO

Тогда sin(∠DEB/2) = OB/BE

Или по т. косинусов cos(∠DEB) = (2BE²-DB²)/2BE² = 1-DB²/2BE²

2) OB можно найти например из данных основания. Пусть дано к примеру MO=q (M-середина AB), тогда MO равна половине стороны квадрата. И ∆OMB — прямоугольный равнобедренный

и OB = q√2

3) Аналогично, зная какой нибудь размер NM или высоту NO или боковую сторону NB, можно найти BE.

Например BE•NB/2 = S = AB•MN/2, откуда BE = AB•MN/NB; При этом NB² = MN² + MB²

BE = 2qMN/NB, NB² = MN²+q²/4

Если вдруг дана была высота NO: то MN² = NO²+OM² = NO² + q²; NB² = NO² + OB² = NO² + 2q²

Все что могло быть выразил.

Могли дать углы. Ну тогда через отношения сторон и косинусов или синусов углов тоже можно выразить.

---

А так для справки: ∠DEB — будет больше 90˚ и меньше 180˚

Например, если боковые стороны равносторонние ∆, то BE = q√3

sin(∠DEB/2) = √2/√3;

∠DEB = 2•arcsin(√2/√3) ≈ 109,47˚

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})

Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)

( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.