Как найти угол наклона к горизонтальной плоскости

f0a

x

2″ 1′

h0a

A’

2′

1″

Рис. 3.15

Рассматривая прямые частного положения, мы уже познакомились с прямыми уровня: горизонталью, фронталью и профилью. Теперь рассмотрим горизонталь и фронталь плоскости. Горизонталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, у всех точек горизонтали координата z постоянна. Поэтому ее фронтальная проекция ( h′′) параллельна оси X (рис. 3.16). Можно сказать, что горизонтальный след плоскости h0α – это тоже горизонталь, только координата z=0. А все горизонтали одной

плоскости параллельны друг другу. Мы знаем, что у параллельных прямых одноименные проекции параллельны. Следовательно, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости (т.е. h// h0α ).

Обратите внимание, что горизонталь обозначается h, а горизонтальный след – h0 . Говорят,

что горизонтальный след – это нулевая горизонталь.

Фронталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 3.17). У фронтали плоскости горизонтальная проекция параллельна оси X, а фронтальная параллельна фронтальному следу, так как у всех точек фронтали координата y постоянна. У фронтального следа y=0, поэтому фронтальный след – это нулевая фронталь.

Напомним, что горизонтали и фронтали плоскости (так же как и любые прямые) предполагаются бесконечными.

Профиль плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Для решения рассмотренной ранее задачи построения недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, в ряде случаев удобнее в качестве вспомогательной прямой взять горизонталь или фронталь плоскости.

Исходные данные задачи представлены на рис. 3.18,а. Проведем через фронтальную проекцию горизонтали ( h′′//оси X) (рис. 3.18,б). Горизонталь пересекается с фронтальным следом в точ-

ке 1

′′

– пересечение

f0α и h

′′

). Построив горизонтальную проекцию точки 1, через нее можно

(1

провести горизонтальную проекцию горизонтали параллельно горизонтальному следу (рис. 3.18,в). С помощью линии проекционной связи строится горизонтальная проекция точки A, лежащая на горизонтали h (рис. 3.18,г). Задача решена.

Возьмем те же самые исходные данные (рис. 3.19,а). Только теперь для построения недостающей проекции точки в качестве вспомогательной прямой используем фронталь плоскости. Через A′′ проведем f ′′ – фронтальную проекцию фронтали (она проходит параллельно фронталь-

ному следу). Там, где она пересечет ось X, будет находиться фронтальная проекция точки 1 (рис. 3.19,б). Поскольку у точки 1 z=0, она принадлежит горизонтальному следу. Продлив h0α , можно построить горизонтальную проекцию точки 1, лежащей на фронтали (рис. 3.19,в), и провести через нее горизонтальную проекцию фронтали ( f // X ). На рис. 3.19,г приведено окончательное решение задачи.

36

f0a

1

1″

1′

h

x

h’

h0a

a

f0a

2″

f

x

f’

2

2′

h0a

a

f0a

x

a

h0a

f0a

1″

x

1′

h’

h0a

â

h’ h0a

Рис. 3.16

á

f0a

x

2″

f’

2′

h0a

Рис. 3.17

á

f0a

1″

x

á

h0a

f0a

1″

x

A’

1′

h’

h0a

Рис. 3.18

ã

37

f0a

f0a

x

x

1″

h0a

h0a

a

á

f0a

f0a

1″

f’

1″

A’

f’

x

x

1″

1″

h0a

ã

h0a

â

Рис. 3.19

3.4.Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций

Вобщем случае плоскость образует с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций некоторые двугранные углы. Мерой двугранных углов служат линейные углы ( ϕ1 и ϕ2 ), полу-

чающиеся в сечении, перпендикулярном линии пересечения данной плоскости и соответствующей плоскости проекций (рис. 3.20,а и б).

Плоскость указанного сечения пересекается с заданной плоскостью по линии, называемой линией наибольшего наклона плоскости к соответствующей плоскости проекций. Линия наибольшего наклона принадлежит заданной плоскости и перпендикулярна соответствующему следу плоскости.

Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Она принадлежит заданной плоскости и перпендикулярна горизонтальному следу этой плоскости (или любой ее горизонтали, так как любая горизонталь плоскости параллельна горизонтальному следу).

Итак, нам необходимо провести в плоскости прямую, перпендикулярную горизонтали этой плоскости. Выясним, будет ли в этом случае справедлива теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Поскольку одна из сторон прямого угла (в нашем случае горизонталь плоскости или горизонтальный след) параллельна горизонтальной плоскости проекций, то прямой угол на горизонтальную плоскость проекций будет проецироваться в истинную величину. Из этого следует, что горизонтальная проекция линии ската s перпендикулярна горизонтальному следу плоскости ( sh0α ,

рис. 3.21,а). Фронтальную проекцию линии ската определим из условия принадлежности ее плоскости α . Возьмем точки 1 и 2, принадлежащие как линии ската, так и следам плоскости, и построим фронтальную проекцию линии ската (рис. 3.21,б). На рис. 3.21,в показано, как определить

38

угол ϕ1 – угол наклона прямой s к горизонтальной плоскости проекций, а следовательно, угол наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций.

b1 f0a

j1

h0a

à

Рис. 3.20

f0a

x

s’

h0a

a

1″

x

2″

1′

s’f1

2′

Dz

â

f0a

f2

f0a

1″

s’

2′ h0a

á

f0a

Dz

è.â.12

h0a

39

Рис. 3.21

Dy f0a

3″

f

è.â.3-4

2

x

3′

4″

4′

Dy

Рис. 3.22

h0a

A’

C’

B’

a

Рис. 3.22 иллюстрирует определение угла наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Здесь отрезок 3 4 – линия наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций. Эта линия перпендикулярна фронтальному следу, следовательно (по теореме о частном случае проецирования прямого угла), ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальному следу. Угол ϕ2 – угол наклона прямой 3 4 к фронтальной

плоскости проекций.

Рассмотрим аналогичную задачу при условии, что плоскость задана плоской фигурой (рис. 3.23,а). Обратите внимание, что в данном случае чертеж безосный, поэтому проще использовать не следы плоскости, а соответствующие линии уровня.

1″ h»

A’

C’ 1′ h’

B’

á

40

1″ h»

2″ C»

A’

2′

C’

s’

1′ h’

B’

â

1″

2″

A’

2′

è.â.

f1

C’

Dz

1′

h’

B’

ã

Прежде всего для нахождения угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций следует построить горизонталь этой плоскости. Начинаем построение с фронтальной проекции горизонтали. Эта проекция параллельна оси X (хотя на чертеже эта ось отсутствует, но ее направление мы знаем). Через точку A проведем h′′ и получим фронтальную проекцию вспомогательной точки 1 на пересечении В′′С′′ и h′′. Эта точка принадлежит прямой BC, лежащей в плоскости, следовательно, 1′ будет на BC. Поскольку горизонталь проведена через точку A, соединим Aи 1′ и получим горизонтальную проекцию горизонтали h. Горизонталь построена.

Теперь необходимо построить проекции линии ската s. Проведем ее через точку B (рис. 3.23,б). Мы уже знаем, что горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна горизонтальной проек-

ции горизонтали, т.е.

s

s

и на пересечении ее со стороной

получим гори-

h . Проведем

A C

зонтальную проекцию

вспомогательной точки 2. Она нам нужна для построения фронтальной про-

екции линии ската. Проведя линию проекционной связи, получим фронтальную проекцию точки 2, а соединив фронтальные проекции точек B и 2, определим фронтальную проекцию линии ската. Проекции линии ската готовы. Осталось лишь определить угол наклона линии ската s к горизонтальной плоскости проекций. Это построение иллюстрирует рис. 3.23,г. Задача решена.

На рис. 3.24 приведено решение задачи на определение угла наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Здесь через точку C проведена фронталь плоскости α( ABC) с помощью

вспомогательной точки 3, лежащей на стороне AB. Затем построена линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости проекций (это линия B-4, перпендикулярная фронтали). В

заключение определен угол ϕ2 – угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.

41

Содержание:

К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.

Определение натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций методом прямоугольною треугольника Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка от той плоскости, на которой ведется построение. При этом угол между гипотенузой и катетом проекций является углом наклона отрезка к той плоскости, ряльной величины выполнено на горизонтальной проекции. Поэтому одним катетом прямоугольного треугольника, является горизонтальная проекцияРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскостиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами то построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Решение метрических задач методами преобразовании проекций

Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций

Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Приведем некоторые из них.

1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами— угол наклона к плоскостиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

5.    Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

6.    Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7) Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

7.    Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

8.    Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.

Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.

Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.  

Четыре основных задачи преобразовании проекций

Этими способами решаются четыре основные задачи:

  • Задача 1. Прямую общего положения преобразуем в линию уровня (одно преобразование).
  • Задача 2. Прямую общего положения преобразуем в проецирующую (два преобразования)
  • Задача 3. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (одно преобразование)
  • Задача 4. Плоскость общего положения преобразуем в плоскость уровня (два преобразования)

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что геометрические образы вращаются вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций до занятия ими какого-либо частного положения относительно плоскостей проекций. При этом одна проекция точки перемещается по окружности, вторая — но прямой параллельной оси проекций.

На рисунке 3.10 вокруг осиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерамивращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскостиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами(1 задача). Далее вращением вокруг осиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиполученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиНа Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами отрезок с проецируется в точку Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами должно быть равно по величина Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами находим в пересечении вертикальных линий связи и линий Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамипараллельных оси Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами(1 задача). Далее отрезок Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиперемещаем до положения перпендикулярного оси Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами При этом Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами На фронтальной проекции отрезок с проецируется в точкуРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами (2 задача).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.

На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами заменена на новую фронтальную плоскость Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамипараллельную прямой АВ. При этом новая осьРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами проводится параллельно проекции Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиЛинии связи проводятся перпендикулярно осиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами и на них от Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами откладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами перпендикулярно проекцииРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами. Т.к. Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами параллельна оси Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами, расстояние до проекций Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами будет одинаковое и прямая спроецируется в точкуРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами (2 задача)  

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций

Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиДалее Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами располагаем перпендикулярно оси Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами Откладываем на ней отрезок Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамии циркулем строим треугольник Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами равный по величине Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами На фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами расположить параллельно оси Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамипри этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)

Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами проводим перпендикулярно горизонтали Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами тогда на новую фронтальную плоскость Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами треугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую осьРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами провести параллельно плоскостиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами На новую плоскость Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами треугольник спроецируется в натуральную величину.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Метрические задачи

Метрические задачи — это задачи на определение линейных или угловых размеров геометрических объектов, а также расстояний и углов между ними.

Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости:    горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Построение перпендикуляра к плоскость и восстановление перпендикуляра из плоскости называется прямой задачей, а построение плоскости, перпендикулярной к прямой — обратной задачей. Обе задачи решаются по одному и тому же вышеописанному алгоритму. При этом плоскость, перпендикулярную заданной прямой, можно задать следами или пересекающимися горизонталью и фронталью.

На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.

Здесь же приведены примеры прямой и обратной задач, если плоскость задана следами. В прямой задаче (в) из точки Л построен перпендикуляр на плоскость, в обратной (г) — через точку К проведена плоскость перпендикулярно прямой АВ. Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Определение расстояний между геометрическими объектами

Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.  

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:

  1. Из точки опустить перпендикуляр на заданную плоскость;
  2. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  3. Определить НВ расстояния между заданной и найденной точками.

Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:

  1. Через точку к провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
  2. Найти точку встречи М заданной прямой с проведенной плоскостью;
  3. Соединить полученные точки (это будет перпендикуляр из точки на прямую);
  4. Определить НВ перпендикуляра.

Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача:    через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).

Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.

Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:

  1. Определить точку встречи прямой АВ с плоскостью а;
  2. Из точки В построить перпендикуляр на плоскость;
  3. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  4. Точки К и N соединить и определить НВ угла BKN.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами Из приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами то искомый угол определится по формуле:

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

которую можно решить графически, достроив угол Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами до 90°.

То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиДалее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Дополненный угол будет искомым.

Натуральную величину дополнительного углаРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами в обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.

Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).

Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиНаходим линию пересечения плоскостей Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами (линия 1-2) и точку встречи Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами в месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).

Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).

Примеры метрических задач

Задачи, в которых определяются различные геометрические величины -расстояния между объектами, длины отрезков, углы, площади и т.д. называются метрическими. Решение многих метрических задач, например задач на определение кратчайших расстояний, требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей.

Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.

Теорема о проекциях прямого угла

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла

Дано :Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиBAC = 90°; AB || П’
 

Доказать, что C’A’Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиA’B’
 

Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиП’^AA’Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиA’B’ значит ABРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиAA,AB Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиплоскости CAA’C’, тогда и A’B’Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами CAA’C’. Следовательно,CA’Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиA’B’.

На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на П1 в виде взаимно перпендикулярных прямых, если одна из них горизонталь, на П2 — если одна из них фронталь (рис. 10.2,а).

Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.2. Перпендикулярные прямые:
а -пересекающиеся a1 Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами h1 Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами a Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами h ;
б -скрещивающиеся b2 Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами2 Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами b Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Линии наибольшего наклона плоскости

Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные линиям уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций (рис. 10.3). Так, прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости, называется линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций, а прямая, перпендикулярная фронтали — линией наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.

Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15).
Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.3. Линия наибольшего наклона плоскости а к П1:
а — плоскость общего положения; h ∈α — горизонталь плоскости а; AB Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами h — линия наибольшего наклона;
φ = Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиAB, AB 1 — угол наклона плоскости а к П1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На основании теоремы о проекциях прямого угла можно получить условие перпендикулярности прямой общего положения и плоскости общего положения:
Если прямая а перпендикулярна плоскости α(ABC), то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Например, при построении прямой а, перпендикулярной плоскости α(ABC) (рис. 10.4,а), в плоскости строятся линии уровня — горизонталь и фронталь, затем через произвольную точку в плоскости, в данном случае точку K(h×Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами), строится прямая, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости α(ABC), а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:

а -построение прямой, перпендикулярной плоскости:  Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

б -построение плоскости, перпендикулярной прямой: Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)

Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.5. Перпендикулярность прямой и проецирующей плоскости:
а -построение прямой, перпендикулярной плоскости;
б -построение плоскости, перпендикулярной прямой

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению перпендикулярных прямой и плоскости. Например, чтобы через произвольную точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами× h) (рис. 10.6), достаточно построить прямую n,перпендикулярную плоскости α(Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами×h): n1Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиh1; n2Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами2. Вторая прямая m, определяющая искомую плоскость, может быть задана произвольно — как пересекающая прямую n или параллельная ей.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Дано: α(h × Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами ) ; A (A1, A2).
 

Построить: A ∈ β Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами α .

Решение:
A ∈ n;

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Определение метрических задач

Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.

Определение длины отрезка

Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).
Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Идея метода базируется на следующем. Истинная величина отрезка AВ является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого, является проекцией отрезка AВ на плоскость проекции Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами а второй катет -разница координат Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиконцов отрезка для оси, отсутствующей в рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное дополнение). Угол между проекцией и гипотенузой этого треугольника (а) определяет наклон прямой к соответствующей плоскости проекции.

На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами так и на плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами При правильных построениях Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами. Углы а и Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами -углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами соответственно.

Определение площади треугольника

Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.

Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами (в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

соответствующую плоскость проекций вез искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая — ей не перпендикулярна.

  • Заказать чертежи

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.

При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Рисунок 5.4 — Перпендикулярность прямой и плоскости

В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамив соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами.

В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).

Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:

а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 5.5 — Перпендикуляр к плоскости

б)    из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямыеРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;

в)    определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Рисунок 5.6 — Расстояние от точки до плоскости

Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)

Перпендикулярность плоскостей

Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.

При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).

Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).

Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
Рисунок 5.7 — Перпендикулярность плоскостей
Проведение через точку А произвольной прямой s позволяет определить плоскость Q, которая будет перпендикулярна плоскости Р.

Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.

Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).
Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 5.8 — Перпендикулярность плоскостей

Определение натуральных величин геометрических элементов

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:

  • способом прямоугольного треугольника;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую уровня;
  • способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в прямую уровня.

2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость уровня;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плоскость уровня.

Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)

1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования; прямую и точку рассматривать как плоскость);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную к прямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2. Определить расстояние между параллельными прямыми:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать две параллельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее замкнутым отсеком;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересечения этой плоскости со второй прямой.

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости:

  • по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плоскости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенного отрезка (см. пункт 1);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую.

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);
  • способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

  • способом прямоугольного треугольника построить на двух проекциях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (задача 1 преобразования);
  • способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси преобразовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронтальную прямые.

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

  • из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построенную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня;
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 90°.

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двухгранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

  • задача решается косвенным путем, для чего из любой точки пространства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, которые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендикулярную к этим плоскостям;
  • эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плоскость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

Метрические задачи:

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Определение натуральной величины геометрических элементов:

1. Определение длины отрезка

Способ прямоугольного треугольника

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ замены плоскостей проекций (задача 1)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

2. Определение площади замкнутого отсека

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиV)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Определение расстояний:

1. Расстояние между точками — определяется величиной отрезка, соединяющего эти точки

См. рис. 13.2, а, б, в

2. Расстояние от точки до прямой — определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки к прямой

а. Прямой путь (перпендикулярность)

б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г) 

в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину  плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)

г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

3. Расстояние между параллельными прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой к другой прямой

а. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем две прямые) — задачи 1 и 2 (преобразовать прямые общего положения AB и CD в проецирующие)

б. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем плоскость, которую определяют параллельные прямые) — задачи 3 и 4 (определить натуральную величину плоскости ? (AB//СВ))

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми — определяется  величиной перпендикуляра, проведённого от одной из прямых, преобразованной в точку, к другой прямой (задачи 1 и 2 замены плоскостей проекции).

Способ замены плоскостей проекций — задачи 1 и 2

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

5. Расстояние от точки до плоскости — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из точки на плоскость до точки его пересечения с этой плоскостью.

а. Прямой путь (перпендикулярность)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

б. Способ замены плоскостей проекций (плоскость преобразовать в проецирующую — задача 3)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки на прямой к плоскости.

См. рис. 13.4, б, в

7. Расстояние между параллельными плоскостями — определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость (до точки пересечения с другой плоскостью).

См. рис. 13.4, б, в

8. Расстояние от точки до поверхности

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

б. Способ замены плоскостей проекции

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Определение величин углов:

1. Угол φ между скрещивающимися прямыми — определяется плоским углом, образованным  двумя пересекающимися прямыми, проведёнными из произвольной точки пространства параллельно скрещивающимся прямым (рис. 13.6, а)

Способ вращения вокруг линии уровня

Дано:
а и b — скрещивающиеся прямые
Требуется:

φ — ?
 

Решение:
1.
Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
2. φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости α(d с)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

2. Угол φ между прямой и плоскостью — определяется углом между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Дано:
 α(h ∩ f);
AB — прямая общего положения
Требуется:
φ — ?

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение:
1. l Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами α(h ∩ f);
  lРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами» Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами f»;
  lРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерамиРешение метрических задач в начертательной геометрии с примерами h’;
2. ∠φ  — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости β(AB∩l)

3. Угол φ между плоскостями α и β — определяется линейным углом, образованным двумя прямыми, по которым некоторая плоскость γ, перпендикулярная плоскостям (или их ребру), пересекает эти плоскости (углом между плоскостями считают острый угол).

а. Если на чертеже нет ребра (линии пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом вращения вокруг линии уровня (рис. а)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Дано:
 (m // h);   (а 
∩ b).
Требуется:
 
φ — ?
Решение:
1. провести в заданной плоскости фронтали и горизонтали;

2. из произвольной точки пространства D (D’, D») провести перпендикуляры l1 и l2 к заданными плоскостям, которые определяют плоскость γ(l1 ∩ l2);
3.
φ — вращением вокруг горизонтали h3, проведённой в построенной плоскости γ(l1 ∩ l2).

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

б. Если на чертеже есть ребро (линия пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом замены плоскостей проекций (задачи 1 и 2, рис. б)

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Решение:

ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.

  • Тени в ортогональных проекциях
  • Кривые поверхности
  • Пересечения криволинейных поверхностей
  • Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью
  • Пересечение поверхности плоскостью и прямой
  • Развертки поверхностей
  • Способы преобразования проекций
  • Взаимное положение прямой и плоскости

Угол наклона к горизонтальной плоскости

Угол наклона отрезка прямой

Наклон отрезка прямой к горизонтальной плоскости определяется по углу наклона проекции, относительно плоскости
которой, прямая занимает параллельное положение.
Определение натуральной величины отрезка и углов наклона может быть одной
задачей по начертательной геометрии.

Способ замены плоскостей

Угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости

Способом замены плоскостей
П12→П41, П4AB определяет проекцию отрезка с углом наклона
к оси X41 равным углу наклона отрезка к горизонтальной плоскости.

Метод прямоугольного треугольника

Определение угла наклона отрезка к горизонтальной плоскости методом прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника используется для построения треугольника
на горизонтальной проекции исходного отрезка с высотой равной высоте этого отрезка. Угол наклона
гипотенузы к горизонтальной проекции отрезка равен углу наклона к горизонтальной плоскости.

Метод вращения вокруг горизонтально проецирующей оси

Определение методом вращения угла наклона отрезка к горизонтальной плоскости

Через один из концов отрезка условно проводится вертикальная ось. При вращении вокруг оси, точки отрезка
перемещаются по горизонтальным круговым траекториям. При получении фронтального положения отрезка, фронтальная
проекция будет иметь угол наклона к оси OX равный углу наклона исходного отрезка к горизонтальной плоскости.

Угол наклона плоскости треугольника

Наклон плоскости определяется по углу наклона проекции, относительно которой плоскость треугольника
занимает проецирующее положение. При определении истинной величины треугольника
первое преобразование показывает угол наклона к одной из плоскостей проекций.

Способ замены плоскостей

Угол наклона треугольника к горизонтальной плоскости

В исходной плоскости треугольника проводится горизонталь h.
Замена фронтальной плоскости на плоскость перпендикулярную к
горизонтали П12→П14, П4⊥h
определяет проецирующее положение плоскости треугольника. В результате, угол наклона проекции плоскости
к оси X41 равен углу наклона треугольника к горизонтальной плоскости

Метод вращения

Определить методом вращения угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости

Используя горизонталь в качестве базовой линии плоскости треугольника, выполняется вращение вокруг оси
перпендикулярной к горизонтальной плоскости до фронтально проецирующего положения. В новом положении,
плоскость треугольника на фронтальной проекции будет представлена прямой, наклон которой к оси OX равен
углу наклона треугольника к горизонтальной плоскости проекций.


Угол наклона плоскости к грани.
Определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.


Найти угол.

Решение задач по начертательной геометрии.

4.5. Определение длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Прямая общего положения на плоскости проекций отображается с искажением (рис.4.6). Для того чтобы найти её натуральную величину, необходимо воспользоваться правилом прямоугольного треугольника, согласно которому на комплексном чертеже натуральной величиной прямой является гипотенуза прямоугольного треугольника, построенного на двух катетах. Один из этих двух катетов – это проекция рассматриваемой прямой, а вторым катетом является разность координат начала и конца этой прямой или разность координат z точек А и В (Δz = zA – zB).

Углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций по двум ее проекциям находят при определении действительной величины этой прямой способом прямоугольного треугольника. Если взять прямую общего положения АВ и спроецировать ее на горизонтальную плоскость проекций, а через точку А провести линию, параллельную плоскости, то в пространстве получится прямоугольный треугольник, один из катетов которого (AB’) равен длине проекции прямой АВ, а угол между прямой и этим катетом будет углом наклона заданной прямой к горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.6), что можно подтвердить известным математическим соотношением:

tg α = BB’ / AB’ = (BB1 – B’B1) / AB’ = (zB – zA) / A1 B1.

Прямая А1В0 представляет натуральную величину прямой общего положения АВ.

Для определения натуральной величины прямой общего положения АВ и угла наклона её к плоскости проекций на эпюре (комплексном чертеже) необходимо построить прямоугольный треугольник:

— первый катет этого треугольника равен проекции прямой, на плоскости проекций;

— для построения второго катета необходимо из проекции любого конца проекции прямой линии под прямым углом к проекции провести луч, на котором отложить длину второго катета, равную разности расстояний от концов прямой до данной плоскости проекций;

— гипотенуза полученного прямоугольного треугольника будет равна действительной величине заданной прямой;

— угол наклона прямой линии к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией прямой на эту плоскость проекций.

Углы наклона прямой линии общего положения к плоскости, всегда меньше их ортогональных проекций.

missing image file

Рис. 4.6. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка

Учитывая сказанное выше и рассмотрев рис. 4.7, можно утверждать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY = YB – YA). Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).

По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.

На рис. 4.8 показан пример определения натуральной (действительной) длины прямой АВ и углов её наклона к плоскостям проекций.

missing image file

Рис. 4.7. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка

missing image file

Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций на комплексном чертеже

Угол αº, получен при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой. Углы β и γ определены с использованием фронтальной и профильной проекций прямой соответственно. Натуральная величина, указанной прямой, обозначена гипотенузами прямоугольных треугольников, построенных на трёх плоскостях проекций.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти родственников в воронежской области
  • Как найти парикмахера для парикмахерской
  • Как найти ярлык whatsapp
  • Как найти счет получателя сбербанка
  • Minecraft как найти эндер портал