Как найти угол наклона между плоскостями

Содержание:

• Углы между плоскостями — обозначение
• Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними
  • Параллельность
  • Перпендикулярность
  • Угол между плоскостями
• Примеры решения задач

Углы между плоскостями — обозначение

Рассмотрим данное понятие наглядно с помощью картинки:

Допустим, α и β — пересекающиеся плоскости. Проведем к линии с перпендикуляр a, который принадлежит α. Далее проведем прямую b, лежащую в β и образующую с прямой c угол в 90°. Угол между α и β равен углу, который образовался между а и b, обозначенному на картинке как φ. В записи это выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

∠(α, β)=∠(а, b)=φ

На схеме видно, что при пересечении α и β возникают четыре угла, но углом между плоскостями считается острый угол. В случае, когда плоскости при пересечении создают прямые углы, они считаются перпендикулярными друг другу.

Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними

Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.

Параллельность

Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0.

Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:

(left{begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0end{array}right.)

То есть приведенная выше система должна быть несовместной.

Доказательство

Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:

(left{begin{array}{l}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0end{array}right.)

не имеет решения.

В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.

Перпендикулярность

Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.

Доказательство

Пусть: AB∈α, AB⊥β, AB∩β=A.

Необходимо доказать, что α⊥β.

1. α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
2. Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
3. ∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Доказательство

Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:

(overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),)

(overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2),)

то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:

(left(overrightarrow{n_1},overrightarrow{;n_2}right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

Отсюда следует, что:

(overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1),)

(overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2))

— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:

(left(overrightarrow{n_1},overrightarrow{;n_2}right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

Равенство соблюдено.

Угол между плоскостями

Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.

Предположим, что плоскости P₁ и P₂ заданы следующими уравнениями:

(P_1:;A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,;{overline N}_1=left(A_1,B_1,C_1right);)

(P_2:;A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,;{overline N}_2=left(A_2,B_2,C_2right))

Найдем косинус угла между P₁ и P₂ по формуле:

(cosleft(overbrace{P_1,P_2}right)=frac{overline{N_1}timesoverline{N_2}}{left|overline{N_1}right|timesleft|overline{N_2}right|}frac{A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2}{sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}timessqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}})

Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол. 

Примеры решения задач

Задача №1

Плоскости заданы уравнениями:

(alpha:;x-y+1=0)

(beta:y-z+1=0)

Определить пересекаются ли α и β. В случае пересечения заданных плоскостей найти угол между ними.

Решение:

Найдем угол между заданными плоскостями:

(alpha:;x-y+1=0,Rightarrowoverline{N_1}=(1,-1,0);)

(beta:;y-z+1=0,Rightarrowoverline{N_2}=(0,1,-1))

Далее вычислим косинус угла между α и β:

(cosleft(overbrace{alpha,beta}right)=frac{overline{N_1}timesoverline{N_2}}{left|overline{N_1}right|timesleft|overline{N_2}right|}=frac{1times0+left(-1right)times1+0timesleft(-1right)}{sqrt{1^2+left(-1right)^2+0^2}timessqrt{0^2+1^2+left(-1right)^2}}=frac{-1}{sqrt4}=-frac12)

В ответе запишем модуль найденной величины.

Ответ: плоскости α и β пересекаются, а косинус угла между ними равен ½.

Задача №2

Плоскость α проходит через точку A(1,1,−1) и перпендикулярна к плоскостям, заданным уравнениями:

(beta:;2x-y+5z+3=0;)

(varphi:;x+3y-z-7=0)

Составьте уравнение плоскости α.

Решение:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности α к плоскостям β и φ является параллельность α к нормалям β и φ — N₁ и N₂, иными словами, α должна быть перпендикулярна к произведению векторов [N₁,N₂].

(x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}beta:;2x-y+5z+3=0,Rightarrow;overline{N_1}=left(2,-1,5right))

(varphi:;x+3y-z-73=0,Rightarrow;overline{N_2}=left(1,3,-1right))

(left[N_1,N_2right]=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&5\1&3&-1end{vmatrix}=ileft(1-15right)-jleft(-2-5right)+kleft(6+1right)=-14i+7j+7k)

Следующим шагом выпишем уравнение плоскости α, проходящей через точку A(1,1,−1) и перпендикулярную вектору [N₁,N₂]=(−14,7,7):

(-14left(x-1right)+7left(y-1right)+7left(z+1right)=left.0right|:7)

(-2left(x-1right)+y-1+z+1=0)

(−2x+y+z+2=0)

Ответ: (−2x+y+z+2=0.)