Как найти угол наклона между прямыми - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания,^[1] то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

1

Уясните формулу для вычисления углового коэффициента. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, который она образует с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.
2

Выберите две точки и найдите их координаты. Можно выбрать любые две точки, лежащие на прямой.
3

Задайте порядок точек (относительно друг друга). Одна точка будет первой точкой, а другая – второй. Не имеет значения, какая точка будет первой, а какая второй – главное не перепутать их порядок в процессе вычисления.^[2]
4

Запишите формулу для вычисления углового коэффициента. Формула: ${frac {VR}{GR}}={frac {y_{{2}}-y_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}}$ , где VR – вертикальное расстояние, определяемое изменением координаты «у», GR – горизонтальное расстояние, определяемое изменением координаты «х».^[3]

Реклама

1

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «у». Не перепутайте их с координатами «х» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
2

В формулу для вычисления углового коэффициента подставьте координаты «х». Не перепутайте их с координатами «у» и убедитесь, что подставляете правильные координаты первой и второй точек.
3

Вычтите координаты «у». Вы найдете вертикальное расстояние.
4

Вычтите координаты «х». Вы найдете горизонтальное расстояние.
5

Если возможно, сократите дробь. Вы найдете угловой коэффициент.
6
Обращайте внимание на отрицательные числа. Угловой коэффициент может быть положительным или отрицательным. В случае положительного значения прямая возрастает (движется вверх слева направо); в случае отрицательного значения прямая убывает (движется вниз слева направо).
- Помните, что если и в числителе, и в знаменателе стоят отрицательные числа, то результат будет положительным.
- Если в числителе или в знаменателе стоит отрицательное число, то результат будет отрицательным.
7
Проверьте ответ. Для этого измерьте или посчитайте (по шкалам осей) вертикальное и горизонтальное расстояния. Если они совпали с вычисленными, то ответ правильный.
- Если измеренные или посчитанные вертикальное и горизонтальное расстояния не совпали с вычисленными, то ответ не правильный.
Реклама

Советы

Об этой статье

Эту страницу просматривали 90 508 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Определение угла между прямыми

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.

Определение Угол между прямыми — размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k₁x + b₁,
y = k₂x + b₂,

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k₁·k₂ = 0), то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX

tg α = k₁
tg β = k₂

Соответственно легко найти угол между прямыми

γ = α — β

tg γ = tg (α — β) = tg α — tg β1 + tg α ·tg β = k₁ — k₂1 + k₁·k₂

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + b

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x₀ l = y — y₀m

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Если a — вектор нормали первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то вектор нормали имеет вид {A; B}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то вектор нормали имеет вид {1; —k}

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

sin φ = |a · b||a| · |b|

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ =

k₁ — k₂1 + k₁·k₂

2 — (-3)1 + 2·(-3)

5-5

= 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ =

|1 · 2 + 2 · 1|1² + 2² · 2² + 1²

45 · 5

= 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и

x — 23

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = -23x (k₁ = -23)

x — 23 = y4 => y = 43x — 83 (k₂ = 43)

tg γ =

k₁ — k₂1 + k₁·k₂

-23 — 431 + (-23)·43

-631 — 89

= 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Угол между прямыми в пространстве

Если a — направляющий вектор первой прямой, а b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x₀ l = y — y₀m = z — z₀n

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + bz = n t + c

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Пример 4. Найти угол между прямыми

x = 2t + 1y = tz = -t — 1

x = t + 2y = -2t + 1z = 1

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} — направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

cos φ =

|2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|2² + 1² + (-1)² · 1² + (-2)² + 0²

06 · 5

= 0

Ответ. φ = 90°

Пример 5 Найти угол между прямыми

x — 23

z — 35

и —

x — 22

= 1 — 3y =

3z — 52

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

—x — 22 = x — 2-2

1 — 3y = 1 + y-1/3 = y — 1/3-1/3

3z — 52 = z — 5/32/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2-2 = y — 1/3-1/3 = z — 5/32/3

{-2; -13; 23} — направляющий вектор второй прямой.

cos φ =

3·(-2) + 4·(-13) + 5·233² + 4² + 5² · (-2)² + (-13)² + (23)²

-6 — 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49

-450 · 41/9

12582

682205

Ответ. φ ≈ 74.63°

Источник

Как найти угол между двумя прямыми

Прямая — одно из основных понятий геометрии. Она задается на плоскости уравнением типа Ax + By = C. Число, равное A/B, равно тангенсу угла наклона прямой или, как его ещё называют, угловому коэффициенту прямой.

Вам понадобится

Знания по геометрии.

Инструкция

Пусть даны две прямые с уравнениями Ax + By = C и Dx + Ey = F. Выразим из этих уравнений прямых коэффициент угла наклона. Для первой прямой этот коэффициент равен A/B, а для второй D/E соответственно. Для наглядности рассмотрим пример. Уравнение первой прямой 4x+6y=20, уравнение второй прямой -3x+5y=3. Коэффициенты угла наклона будут соответственно равны: 0.67 и -0.6.

Теперь необходимо найти угол наклона каждой прямой. Для этого посчитаем арктангенс от углового коэффициента. В рассматриваемом примере углы наклона прямых будут равны arctg(0.67) = 34 градуса и arctg(-0.6) = -31 градус соотвественно.

Так одна прямая умеет отрицательный угловой коэффициент, а вторая положительный, то угол между этими прямыми будет равен сумме абсолютных величин этих углов. В случае же, когда угловые коэффициенты оба отрицательны или оба положительны, то угол находится путем вычитания из большего угла меньшего. В рассматриваемом примере получим, что угол между прямыми равен |34| + |-31| = 34 + 31 = 65 градусов.

Обратите внимание

Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.

Полезный совет

Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Источник

Содержание

Определение угла между скрещивающимися прямыми
Как найти угол между скрещивающимися прямыми
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Пример решения задачи
Угол между прямыми в пространстве
Определение угла между прямыми
Условие параллельности прямых

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Пересечение двух линий на плоскости указывает на то, что у них есть общая точка. Он также является центром их пересечения и делит их на лучи.

Балки образуют четыре неразвитых угла. Зная размер одного из них, можно рассчитать стоимость остальных. Можно с уверенностью сказать, что если один из них прямоугольный, то остальные три эквивалентны, а линии будут перпендикулярными.

1002

Рис. 1 Графическое изображение пересечения прямых

Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися линиями, можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм расчетов.

Предположим, что две бесконечные прямые заданы общими уравнениями:

A1 + B1 + C1 = 0

A2 + B2 + C2 = 0

Искомое значение следует обозначить как φ. Числовое значение угла измеряется в градусах от 0 до 90 °, то есть угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие: угол между векторами нормалей этих прямых:

Если он меньше или равен 90 °, сам желаемый угол будет соответствовать его измерению в градусах. Если оно больше 90 °, для расчета φ необходимо применить известную формулу:

= 1800.

Для обоих вариантов утверждение, что cos φ = lcos ψl, является достоверным. После проведения необходимых расчетов можно рассчитать желаемое значение:

502

Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенный на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла.

Чтобы найти значение синуса угла, образованного пересечением двух прямых, вычислите модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами этих прямых.

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Найдите угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: мы используем формулу для вычисления угла между линиями, заданными уравнениями с наклоном:

tg γ = k1 — k21 + k1 k2 = 2 — (-3) 1 + 2 (-3) = 5-5 = 1

Ответ: γ = 45°

Пример 2. Найдите угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: мы используем формулу для вычисления угла между линиями, векторы направления которого известны.

Для первой строки вектор направления {1; 2}, для второй линии вектор направления {2; 1}

cos = | 1 2 + 2 1 | 12 + 22 22 + 12 = 45 5 = 0,8

Ответ: φ ≈ 36,87°

Пример 3 Найдите угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: чтобы решить эту проблему, вы можете найти векторы направления и вычислить угол, используя векторы направления, или преобразовать уравнения в уравнения уклона и вычислить угол, используя уклоны.

Преобразуем существующие уравнения в уравнения с наклоном.

2x + 3y = 0 => y = -23x (k1 = -23)

х — 23 = у4 => у = 43 х — 83 (k2 = 43)

tg γ = k1 — k21 + k1 k2 = -23 — 431 + (-23) 43 = -631 — 89 = 18

Ответ: γ ≈ 86,82°

Пример решения задачи

На школьных уроках геометрии для решения в классе часто предлагают следующий тип задач, чтобы найти угол между двумя линиями.

Ниже приведен алгоритм решения задачи, в которой бесконечные прямые на плоскости задаются уравнениями общего вида, в которых присутствует наклон.

Обозначим прямые как (L1) и (L2). Каждый из них задается уравнением следующего вида:

A1x + B1y + C1 = 0;

A2x + B2y + C2 = 0;

Зная, что нормальные векторы каждого из них имеют вид:

Суть задачи сводится к вычислению угла, образованного векторами нормалей.

Мы используем определение точечного произведения векторов:

и согласованное выражение их длин, а также их скалярное произведение:

505

В практических задачах математики часто требуется найти не сам угол между пересекающимися линиями, а уравнять их все при условии, что линии пересекаются друг с другом.

Итак, если прямые задаются уравнениями общего вида с коэффициентами, то

506

Последнее равенство часто называют уравнением биссектрис углов, образованных в результате пересечения прямых. Понятие «биссектриса» в геометрии — это своего рода геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Если прямые задаются уравнениями, включающими наклон, который определяется тангенсом угла, довольно просто найти значение углов, образующихся при их пересечении:

507

Рис. 2 Углы, образованные пересечением двух прямых на плоскости

tan α = k1;

tan = k2;

где k1 и k2 — одинаковые наклоны.

Поэтому для расчета стоимости следует применять формулы:

= α — β

tan γ = tan (α — β)

Решение очевидно:

510

Угол между прямыми в пространстве

Определение угла между прямыми

Прямые L1 и L2 в пространстве задаются каноническими уравнениями

(2.1)

а также

(2.2)

где q1 = (m1, p1, l1) — вектор направления прямой L1, а q2 = (m2, p2, l2) — вектор направления прямой L2.

Проблема определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче определения угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Из определения скалярного произведения:

(2.3)

где | q1 | и | q2 | модулей векторов направлений q1 и q2 соответственно — угол между векторами q1 и q2.

Из выражения (2.3) получаем:

Следовательно, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90 °, можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1 = 180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми линиями

(2.5)

а также

(2,6)

Решение. Прямая (2.5) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (1, 1, 3), а прямая (2.6) — q2 = (m2, p2, l2) = (- 3, 1, 2). Для определения угла между линиями (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):

Мы упрощаем и решаем:

Найдите угол φ

Отвечать.

Угол между линиями равен:

Условие параллельности прямых

Условие параллельности линий эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е соответствующие координаты этих векторов пропорциональны, не говоря уже о

m1 = αm2, p1 = αp2, l1 = αl2

(2,7)

где α — число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, а значит, прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности линий можно представить следующим образом:

(2,8)

Обратите внимание, что любая пропорция
его следует понимать как равенство ad = bc.

Пример 2. Определите, параллельны ли линии

а также

Решение. Прямая (2.9) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (3, 2, 4), а прямая (2.10) — q2 = (m2, p2, l2) = (6, 4, 8). Следовательно

, , .

Равенство (2.8) (или (2.7)) выполняется, поэтому прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Отвечать. Прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Пример 3. Определите, параллельны ли линии

а также

Решение. Прямая (2.9) имеет вектор направления q1 = (m1, p1, l1) = (1, 2, 0), а прямая (2.10) — q2 = (m2, p2, l2) = (2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получаем

Выражение (2.13) следует понимать следующим образом:

Как видно из (2.14), условия (2.13) выполнены. Следовательно, прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Отвечать. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Источник

Советы

Похожие статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Угол между прямыми в пространстве

Как найти угол между двумя прямыми

Угол между прямыми онлайн

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

1.2. Условие параллельности прямых

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

1.5. Условие параллельности прямых

1.6. Условие перпендикулярности прямых

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

2.2. Условие параллельности прямых

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример решения задачи

Угол между прямыми в пространстве

Определение угла между прямыми

Условие параллельности прямых