Как найти угол наклона трапеции

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

В геометрии трапеция имеет тенденцию быть одним из более сложных четырехугольников, с которыми приходится иметь дело, потому что противоположные стороны не параллельны. Верхняя и нижняя стороны параллельны друг другу, но два уклона могут быть наклонены друг к другу или от них. Хитрость в расчете размеров трапеции состоит в том, чтобы переформулировать задачу с точки зрения более простой формы, обычно прямоугольного треугольника. Из этой перестановки вы можете использовать простые вычисления, такие как теорема Пифагора, для определения размеров многоугольника.

Пересмотрите проблему, создав прямоугольный треугольник с отсутствующим наклоном, образующим гипотенузу.

Определите длину основания этого треугольника, вычитая меру меньшей параллельной стороны из длины более длинной параллельной стороны.

Введите в качестве высоты треугольника высоту трапеции. Теперь у вас есть прямоугольный треугольник с известными ногами и неизвестной гипотенузой.

Выровняйте длину двух сторон и сложите их вместе. Например, если две стороны имеют длину три и четыре дюйма, возведите в квадрат три (девять) и четыре (16) и добавьте продукты (25).

Возьмите квадратный корень из полученной фигуры. Например, если этот результат равен 25, квадратный корень будет равен пяти. Это число — длина отсутствующего наклона трапеции.

Как вычислить угол трапеции

Главной особенностью четырехугольной трапеции является параллельность двух ее сторон, называемых основаниями, и не параллельность боковых сторон фигуры. В случае, когда эти боковые стороны равны по длине, трапеция называется равнобедренной.

Инструкция

В решении большинства задач по определению углов четырехугольной трапеции учитываются те или иные свойства фигуры. При этом результаты задач могут быть различны из-за вариативных исходных данных. Если перед началом решения даны условия, что известны только два угла, относящиеся к основанию трапеции, решение задачи сводится к следующим действиям:Определите буквенные значения для трапеции – MNOP, а известные углы назовите соответственно ∠NMP и ∠OMP. Значения для этих углов будут равняться: ∠NMP = a и ∠OMP = b. Вам необходимо вычислить углы при верхнем основании ∠MNO и ∠NOP.

Воспользуйтесь свойством трапеции, когда сумма обоих углов при боковой стороне равняется 180°. В этом случае искомые углы: ∠MNO = (180° – a), а ∠NOP = (180° – b).

При других исходных данных – равенства определенных сторон трапеции и известном значении одного из углов – набор действий по решению задачи может принять следующий вид. Используйте те же обозначения для трапеции MNOP, только в данном случае задайте, что ее стороны MN и OP, а также верхнее основание NO равны по длине между собой. Проведенная же диагональ MO составляет с основанием MP угол ∠OMP = с.

Учитывая, что в треугольнике MNO две его стороны равняются друг другу, он является равнобедренным и углы ∠NMO = ∠NOM = d, а угол ∠MNO = e. Поскольку сумма всех углов в треугольнике равняется 180°, следовательно (2d + e) = 180°. В результате e = (180° – 2d).

Используя свойство трапеции о сумме углов, прилегающих к одной стороне, равной 180°, определите другую формулу (e + d + c) = 180°. Тогда при e = (180° – 2d) формула приобретает вид (180° – 2d + d + c) = 180° или c = d.

В результате вы найдете углы ∠NMO = d = c и ∠MNO = e = 180° – 2c. Поскольку заданная трапеция является равнобедренной, то согласно ее свойству равнобокости диагонали ее равны и соответственно равны углы при обоих основаниях. Значит ∠OPM = ∠NOP = 180° – 2c.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В равнобокой трапеции боковые стороны и углы при основаниях равны между собой, следовательно, все формулы значительно упрощаются. Периметр такой трапеции равен сумме двух оснований и удвоенной боковой стороны.
P=2a+b+d

Высота равнобокой трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – боковая сторона трапеции, а второй катет – половина разности большего и меньшего оснований. Вычислить высоту в равнобокой трапеции можно с помощью теоремы Пифагора в этом треугольнике. (рис.104.1)
h=√(a^2-(c-b)^2/4)

Средняя линия трапеции не связана с боковыми сторонами и представляет собой сумму большего и меньшего основании, разделенную на два.
m=(b+c)/2

Площадь равнобокой трапеции вычисляется также как и обычной – произведением высоты на среднюю линию.
S=hm

Найти диагонали в равнобокой трапеции проще, так как высоты, входящие с ними в прямоугольные треугольники, делят большее основание на три части, одна из которых равна меньшему основанию, а две другие равны между собой. Сами диагонали также равны друг другу и вычислить их можно по формулам, приведенным из теоремы Пифагора. (рис.104.2)
d=√(h^2+((b+c)/2)^2 )=√(a^2-(c-b)^2/4+(b+c)^2/4)=√((2a^2-b^2-c^2)/2)

Внутри равнобокой окружности можно вписать окружность, радиус которой будет равен квадратному корню из произведения оснований, деленному на два, если сумма боковых сторон равна сумме оснований (что представляет собой половину высоты) (рис.104.3)
r=√bc/2

Радиус окружности, описанной вокруг равнобокой трапеции, ищется как радиус описанной окружности треугольника, образованного ее диагональю со сторонами. (рис.104.4)
R=abd/√((a+b+d)(a+b)(a+d)(b+d))

Трапеция

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен. 

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. 

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна. 

Примечание.  В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.  

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

— разносторонние ;

— равнобокие;

— прямоугольные

.
Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция

B — прямоугольная трапеция
C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а основания параллельны.

У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина 
• Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
• Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые.
Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника. 
Важно. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h₁h₂ — диагонали 

Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

Площадь трапеции

где
a и b — параллельные основания трапеции
c и d — боковые стороны трапеции
m — средняя линия трапеции
r — радиус вписанной в трапецию окружности
S — площадь трапеции

Содержание главы:

• Площадь трапеции

• Высота трапеции

• Трапеция (задачи про основания)

• Диагонали трапеции

• Прямоугольная трапеция

• Равнобокая (равнобедренная) трапеция

• Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции

• Высота равнобедренной трапеции

• Равнобокая трапеция

• Равнобокая трапеция (часть 2)

• Трапеция, описанная вокруг окружности

0
 

 Ромб |
Описание курса
| Площадь трапеции 

Все о трапеции для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Трапеция
и все-все-все

Для
начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак,
трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу
(это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В
трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены
средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести
биссектрису.

Про
различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас
и поговорим.

Свойства
диагоналей трапеции

Чтобы
было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и
проведите в ней диагонали.

1.    Если
вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и
соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции
заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно
получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.

2.    Перед
нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте
рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с
основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k
треугольников выражается через отношение оснований трапеции: 

k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k².

3.    Все
та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы
будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали
совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО
являются равновеликими – их площади одинаковые.

4.    Еще
одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если
продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то
рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины
оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения
диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон
и середины оснований Х и Т.

5.    Через
точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания
трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка
пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ
= КМ/АЕ.

6.    А
теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям
трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части.
Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства
средней линии трапеции

Среднюю
линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1.    Длину
средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и
разделить их пополам: m = (a + b)/2.

2.    Если
провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру),
средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство
биссектрисы трапеции

Выберите
любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей
трапеции АКМЕ.

Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь –
биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за
пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства
углов трапеции

1.    Какую
бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в
паре всегда составляет 180⁰: α +
β = 180⁰  и γ + δ = 180⁰.

2.    Соединим
середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при
основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90⁰ ,
длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной
пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.

3.    Если
через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят
стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства
равнобедренной (равнобокой) трапеции

1.    В
равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.

2.    Теперь
снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите
внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется
в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки
проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.

3.    Пару
слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также
одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.

4.    Только
около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма
противолежащих углов четырехугольника 180⁰ –
обязательное условие для этого.

5.    Из
предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле
трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.

6.    Из
особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее
диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы
оснований: 

h = (a + b)/2.

7.    Снова
проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной
трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось
симметрии равнобедренной трапеции.

8.    На
этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из
противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно
найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2.
Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную
разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства
трапеции, вписанной в окружность

Раз
уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе
подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к
трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и
начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1.    Расположение
центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой
стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым
углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр
описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).

2.    Диагональ
и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности
оказывается внутри трапеции.

3.    Центр
описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее
основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.

4.    Угол,
образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол)
составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ =
½МОЕ.

5.    Коротко
про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите
внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что
диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через
отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на
два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно
расписать для любой из сторон обоих треугольников.

6.    Способ
второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника,
образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R =
АМ*МЕ*АЕ/4*S_АМЕ.

Свойства
трапеции, описанной около окружности

Вписать
окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем
ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1.    Если
в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти,
сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c
+ d)/2.

2.    У
трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме
длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.

3.    Из
этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно
вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.

4.    Точка
касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую
сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по
формуле: r = √ab.

5.    И
еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас
есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены
диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и
боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны
трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции –
совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства
прямоугольной трапеции

Прямоугольной
называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства
проистекают из этого обстоятельства.

1.    У
прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

2.    Высота
и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет
вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) *
h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к
прямому углу.

3.    Для
прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей
трапеции.

Доказательства
некоторых свойств трапеции

Равенство
углов при основании равнобедренной трапеции:

·        
Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется
трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М
прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный
четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА =
МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК ||
МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда
АКМ = 180⁰ — МЕТ = 180⁰ —
КАЕ = КМЕ.

Что и
требовалось доказать.

Теперь
на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем,
что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

·        
Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм
КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ
– равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ ||
КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас
получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ –
общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что
АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача
для повторения

Основания
трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует
угол 150⁰ с меньшим основанием. Требуется
найти площадь трапеции.

Решение: Из
вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать
углы трапеции.

Углы
АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180⁰.
Поэтому КАН = 30⁰ (на
основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим
теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без
дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в
треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30⁰.
Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь
трапеции находим по формуле: S_АКМЕ =
(КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см².

Послесловие

Если
вы внимательно и вдумчиво изучили этот материал, не поленились с карандашом в
руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на
практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно,
информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно
перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами
убедились, что разница огромна.

Теперь
у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также
специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им
очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и ЕГЭ, ОГЭ.

трапеция и ее теоремы

Введение в геомантию

Пожалуйста, включите JavaScript

Введение в геомантию

Мы в ask-math считаем, что образовательный материал должен быть бесплатным для всех. Пожалуйста, используйте содержимое этого веб-сайта для более глубокого понимания концепций. Кроме того, мы создали и разместили видеоролики на нашем YouTube.

Мы также предлагаем индивидуальные / групповые занятия / помощь в выполнении домашних заданий по математике с 4 по 12 классы по алгебре, геометрии, тригонометрии, предварительному исчислению и исчислению для учащихся из США, Великобритании, Европы, Юго-Восточной Азии и ОАЭ.

Также приветствуются связи со школами и учебными заведениями.

Пожалуйста, свяжитесь с нами по [email protected] / Whatsapp +919998367796 / Skype id: anitagovilkar.abhijit

Мы также будем рады разместить видео в соответствии с вашими требованиями. Напишите нам.

В этом разделе мы обсудим некоторые трапеции и их теоремы.

Трапеция – это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. АБ || CD. (если есть две пары параллельных прямых, то это параллелограмм)

Если непараллельные стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией.
Теорема 1. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы при основании равны.

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция. AD = ВС и АВ || CD.

Докажите, что: ↑C = ♂

0045

Заявления	Причины
1) ABCD — трапеция.	1) Дано
2) AB || CD	2) Дано
3) AD = BC	3) Дано
4) DA || CE	4) По конструкции
5) ADCE является параллелограммом.	5) По свойствам параллелограмма.
6) DA = CE и DC = AE	6) По свойствам параллелограмма.
7) BC = CE	7) BC = AD и AD = CE (переходное свойство)
∠CEB ≅ &CBE	Если BC ≅ CE, то противоположные им углы равны.
9) ∠DAB ≅ ∠ABC	9) свойство параллелограмма и линейной пары углов
10) ∠A + ∠D = 180 и ∠B + 1002 ∠90 на внутренних углах 180 те же стороны трансверсали являются дополнительными.
11) ∠A + ∠D = ∠C + ∠B	11) Транзитивность (правые стороны одинаковы, поэтому левые равны)
12) ∠D = ∠C	12) Сверху (∠A = ∠B)

Пример: В трапеции QRS и. Если ∠S = 60 ⁰ , то найдите остальные углы.
Решение:
PQ||RS и PS = QR, поэтому трапеция PQRS является равнобедренной трапецией.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны.(трапеция и ее теоремы)
∠S = ∠R и ∠P = ∠Q
Но ∠S = 60 ⁰
∴ ∠R = 60 ⁰
Пусть ∠P = ∠Q = x
Сумма всех углов четырехугольника равна 360.
∴ ∠P + ∠Q + ∠S + ∠R = 360
x + x + 60 + 60 = 360
2x +120 = 360
2x = 360 -120
2x = 240
∴ x = 240/2
x = 120
тнаг.

Теоремы

1. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы при основании равны.

2. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали конгруэнтны.

3. Если трапеция равнобедренная, то противоположные углы дополнительные.

Медиана (или середина) трапеции параллельна каждому основанию, и ее длина составляет половину суммы длин оснований.

Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вы не получили (или не можете доказать) эту информацию.

Практика

1) В трапеции ABCD,AB|| CD и ВС = AD. Если m∠C=65 ⁰ , то найти m∠D.
2) PQRS — трапеция, в которой PQ || РС. Если ∠P = ∠Q = 40, найдите величины двух других углов.
3) В трапеции ABCD ∠B= 120 ⁰ Найти m∠C.
4) В четырехугольнике HELP, если EP = LH, то какой это четырехугольник?
5) В четырехугольнике углы относятся как 4:5:3:6. Найдите величины каждого угла.
6) Если три угла трапеции равны 130 ⁰ ,120 ⁰ ,50 ⁰ и 2x ⁰ . Найдите х и четвертый угол.
7) Нарисуйте равнобедренную трапецию с именем PQRS, PS||QR и PQ = SR.

---

Четырехугольник

• Введение в четырехугольник
• Типы четырехугольника
• Свойства четырехугольника
• Параллелограмм и его теоремы
• Rectangle and its Theorems
• Square and its Theorems
• Rhombus and its Theorems
• Trapezoid and its Theorems
• Kite and its Theorems
• Mid Point Theorem

Geometry

Home Page

• Домашняя страница
• Видео по математике
• Чувство чисел
• Алгебра
• Бизнес-математика
• Геометрия
• Измерение
• Статистика
• Тригонометрия
• 75 Измерения
• 750275
• 11th grade math
• Hindi Numbers
• Formula 1
• Ask Experts
• f UN zONE
• Link Partners
• About us/Disclaimer
• Contact Us
• Privacy Policy
• Math Blog
• CBSE Sample Papers

сообщите об этом объявлении

сообщите об этом объявлении

сообщите об этом объявлении

Свойства трапеций: определение и теорема

Ключевые понятия

• Дайте определение трапеции.
• Объясните свойства трапеции.
• Решение задач на основе свойств воздушного змея.

Трапеция

Четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон, называется трапецией .

• Трапеция, у которой непараллельные стороны равны, равна равнобедренной трапеции .

Свойство трапеции, связанное с углами при основании

Теорема 1:

В равнобедренной трапеции каждая пара углов при основании конгруэнтна.

Дано: ABCD — трапеция, где AB∥CD.

Чтобы доказать: ∠ADC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ABC

Доказательство:

Проведите перпендикулярные линии AE и BF между параллельными сторонами трапеции.

в ΔAED и ΔBFC,

AD = BC [Isosceles Trapezoid]

AE = BF [Расстояние между параллельными линиями всегда будет равным]

omaEB = ♂ = 90 ° [AEʇCD и BFʇCD]

Если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а пара более коротких сторон равна по длине, то треугольники конгруэнтны.

∴ ΔAED ≌ ΔBFC            [правостороннее правило конгруэнтности]

Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треугольников равны.

Отсюда, ↑ADC = Ϫbcd

и ↑EAD = ♂фбк

Теперь, ▲BAD = ↑BAE + тий hTEAD

потряно РАД

          ∠BAD = ∠ABC

Следовательно, каждая пара углов при основании равнобедренной трапеции конгруэнтна.

Свойство трапеции, связанное с длиной диагоналей

Теорема 2:

Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.

Приведено: в трапециевии ABCD, AB∥CD и AD = BC

, чтобы доказать: AC = BD

Доказательство:

в ΔAdc и ΔBCD,

AD = BCESESIS ISOSCZESIOD].

↑ADC = ↑BCD [базовые углы Isockeles Trapezoid]

CD = CD [Common]

Следовательно, ΔAed ≌ ΔBFC [SAS -правило]

Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треурианцев равны.

Итак, AC = BD

Следовательно, диагонали равнобедренной трапеции равны.

Свойство трапеции, связанное с длиной диагоналей

Теорема 3:

В трапеции средний сегмент параллелен основаниям, а длина среднего сегмента равна половине суммы длин оснований.

Дано: В трапеции ABCD AB∥CD, X — середина AD, Y — середина BC.

Чтобы доказать: XY = 1/2 × (AB+CD)

Доказательство: Постройте BD так, чтобы середина BD проходила через XY.

В ΔADB X — это середина AD, а M — середина DB.

Итак, XM — это середина ΔADB.

Мы знаем, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны. [Теорема о среднем отрезке]

∴ XM ∥ AB и XM = 1/2 × AB      …(1)

В ΔBCD Y — середина BC, а M — середина BD.

Итак, MY — это середина ΔBCD.

∴ MY ∥ CD и MY = 1/2 × CD      …(2)      [Теорема о среднем отрезке]

Поскольку XM ∥ AB и MY ∥ CD, то XY

Теперь XY=XM+MY

/

      2 × AB + 1/2 × CD

          XY = 1/2 × (AB+CD)

Воздушный змей

Воздушный змей — это два равных четырехугольника, четыре стороны которых можно сгруппировать в группы. стороны длины, которые примыкают друг к другу.

(или)

Параллелограмм также имеет две пары сторон одинаковой длины, но они противоположны друг другу в воздушном змее .

• Только одна диагональ воздушного змея делит пополам другую диагональ.

Свойство воздушного змея, связанное с углом между диагоналями

Теорема:

Диагонали воздушного змея перпендикулярны.

Дано: В змее WXYZ, XY=YZ, WX=ZW

Доказать: XZ Ʇ WY

Доказательство: Проведите диагонали XZ и WY. Пусть диагонали пересекаются в O.

в ΔWxy и ΔWzy,

Wx = WZ [соседние стороны кайта]

xy = zy [соседние стороны кайта]

Wy = YW [Рефлексивное свойство]

δ ΔWxy ≌ ≌ ≌ wxy ≌. ΔWZY    [правило конгруэнтности SSS]

Мы знаем, что соответствующие части конгруэнтных треугольников равны.

Итак, ∠XYW= ∠ZYW       …(1)

в Δoxy и Δozy,

xy = ZY [соседние стороны Kite]

OY = yo [рефлексивное свойство]

↑xyw = ↑zyw [из (1)]

δ Δoxy Δozy [SAS urduence rule].