Как найти угол пересечения диагоналей в прямоугольнике

Прямоугольник – плоская четырёхугольная геометрическая фигура. Прямоугольник относится к
параллелограммам и обладает некоторыми свойствами:

• Все внутренние углы фигуры прямые.
• Противолежащие стороны попарно параллельны и равны.
• Диагонали прямоугольника (отрезок, соединяющий вершины противоположных внутренних углов) равны.
  Точка пересечения делит их на равные отрезки.
• Диагональ делит фигуру на 2 одинаковых прямоугольных треугольника.
• Диагональ делит внутренний угол (90°) на 2 угла. Накрест лежащие углы при проведенном отрезке
  равны.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ

Острый угол (a) между диагоналями, зная площадь (S) и длину диагонали (d) легко можно вычислить по
формуле:

sin a = (2 * S) / d²

где d — диагональ, S — площадь прямоугольника.

Через синус находится значение угла. По этой формуле также можно найти тупой угол между диагоналями,
так как 2 данных угла являются смежными, а синусы смежных углов равны.

Пример. Дан прямоугольник, площадь которого равна 108 см², а диагональ – 15 см.
Нужно найти острый угол между диагоналями. Необходимые значения подставляем в формулу sin a = (2 * S) / d² = (2 * 108) / 225 = 0,96. По значению синуса
находится величина острого угла между диагоналями. В данном случае она равна 73,73°.

Угол между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю

Величина нужного угла (α) в два раза больше угла (β) между стороной и диагональю по свойству углов
равнобедренного треугольника, так как диагонали при пересечении образуют 4 равнобедренных
треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании (b) равны, а нужный угол является
смежным по отношению к углу при вершине (c), в таком случае c = 180 — α. Сумма углов
треугольника равна 180°. Несложно составить уравнение β+β+180-α=180, которое легко сокращается до
вида

β = 2 * α

где α — угол между стороной и диагональю.

Пример. Пусть угол α = 15 (он может быть от 0 до 90º), тогда β = 2 * α = 2 * 15 = 30º

Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину

Если в задаче неизвестна длина диагонали, не нужно тратить время на ее поиски. Можно быстро найти
острый угол между диагоналями при помощи длины и ширины прямоугольника по формуле:

α = 2 arctg b / a

где b — ширина прямоугольника, a — длина прямоугольника.

Пример. Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Нужно построить диагонали и
найти острый угол между ними. Угол α = 2 arctg 6 / 8 = 2 arctg 0,75=73,73°.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ

Значение нужного угла можно определить, зная длину диагонали и ширины (B) четырёхугольника, по
формуле:

α = 2 arcsin b / d

где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Рассмотрим применение формулы в конкретной задаче. Дан прямоугольник, ширина
которого равна 3 мм, а длина диагонали – 5 мм. Необходимо найти острый угол между
диагоналями. Применив данную формулу, находим значение нужного угла: a = 2 * arcsin 0,6 = 73,73°.

Острый угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ

Если неизвестна ширина прямоугольника, но есть значение длины (a), можно также просто найти острый
угол между диагоналями. Формула почти идентична предыдущей:

α = 2 arccos a / d

где a — длина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. В прямоугольнике с длиной 8 см, в котором проведены диагонали длиной 10 см,
найти острый угол между диагоналями. Угол α = 2arccos 8 / 10 = 2arccos 0,8 = 73,73°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через ширину и диагональ

Для того чтобы быстро вычислить значение данного угла при помощи известной ширины и диагонали
прямоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:

β = 2 arccos b / d

где b — ширина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Известна ширина прямоугольника, она равна 8 мм. А длина диагонали равна 17
мм. Задача найти значение тупого угла между диагоналями.
Вставив данные в формулу, вы получите
правильный результат. Таким образом, β = 2 arccos 8 / 17 = 2 arccos 0,47 = 123,85°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и диагональ

Можно, конечно, применить предыдущую формулу и найти острый угол через длину и диагональ, а потом
вычесть значение из 180°. Но есть упрощенная формула для быстрой скорости решения: тупой угол между
диагоналями

β = 2 arcsin a / d

где a — длина прямоугольника, d — диагональ.

Пример. Дан прямоугольник с длиной равной 20 см, в котором проведены диагонали
длиной 25 см. Чтобы найти нужную величину, подставляем значения в формулу: β = 2 arcsin 20 / 25 = 2 arcsin 0,8 = 106°.

Тупой угол между диагоналями прямоугольника через длину и ширину

Формула для определения тупого угла между диагоналями прямоугольника через известные значения длины и
ширины такова:

β = 2 arctg a / b

где a — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.

Пример. Дан прямоугольник со сторонами 15 см и 8 см. Вычислим значение тупого угла,
подставив данные в формулу: β = 2arctg 15 / 8 = 2 arctg 0,5= 123,85°.

Стоит отметить, что при использовании указанных в статье правил нужно владеть знаниями о
тригонометрических функциях. Для того чтобы быстро определять углы, образованные пересечением
диагоналей прямоугольника, поможет именно данный список формул, которые необходимо знать наизусть.
Если на решение задач по геометрии дается небольшой промежуток времени, к примеру, контрольная или
экзамен, лучше отложить сложные алгоритмы и воспользоваться упрощенными формулами.

Параллелограмм относится к выпуклым четырехугольным геометрическим фигурам. Его основные
отличительные признаки от других фигур: равные и попарно параллельные противоположные стороны,
равные противолежащие углы. Диагонали фигуры всегда делятся точкой пересечения на равные отрезки, а
также они делят параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Еще одним главным свойством
четырёхугольника является то, что сумма квадратов диагоналей равна двум суммам квадратов смежных
сторон параллелограмма.

Биссектрисы внутренних углов данного четырёхугольника всегда отсекают от него равнобедренный
треугольник, а также они равны между собой. Сумма углов параллелограмма равна 360°, как и у других
четырёхугольников.
К параллелограммам относятся: квадрат (четырёхугольник с равными сторонами и
равными прямыми внутренними углами), прямоугольники и ромбы (параллелограмм с равными сторонами).
Эти фигуры часто встречаются в школьной программе на уроках геометрии.

Для чего необходимо вычисление угла между диагоналями параллелограмма

• Для нахождения сторон четырёхугольника (длины и ширины).
• Для нахождения площади и периметра фигуры.
• Для нахождения углов между стороной и диагональю.
• Для нахождения длины диагонали.

Знание свойств геометрических фигур помогает справиться с задачей любой сложности. Постоянная
практика с использованием формул способствует быстрому запоминанию информации, помогает проработать
маршруты и теоремы, которые западают.

Прямоугольник часто встречается в решении задач по геометрии. Важно знать все его свойства и уметь
пользоваться правилами и теоремами для успешного нахождения результата. Упрощенные формулы и
несколько конкретных примеров помогут определить правильный алгоритм решения и быстро найти
ответ.

Общая информация

В задачах по геометрии и физике приходится находить некоторые параметры прямоугольника: углы, стороны, периметр, площадь и диагонали. Все эти величины связаны между собой некоторыми соотношениями. Каждый должен уметь их рассчитывать, поскольку это необходимо не только для решения математических задач, но и в жизни. Например, при укладке керамзитной плитки на пол.

Используя свойство диагоналей, можно определить метод ее укладки. Кроме того, в физике иногда требуется рассчитать площадь поперечного сечения, а необходимая формула неизвестна. Во время планирования покупки строительных материалов нужно вычислить их количество, произведя вычисление площади или периметра помещения.

Однако формул для ведения расчетов недостаточно, поскольку нужно идентифицировать геометрическую фигуру. Для каждой из них применяются разные соотношения. В случае неверного определения вычисления окажутся недостоверными, а это негативно сказывается не только на экзаменах или контрольных, но и в финансовой сфере.

Сведения о прямоугольнике

Прямоугольником называется фигура с прямыми внутренними углами между смежными сторонами, у которой противоположные стороны равны. Его частным случаем, как говорят математики, является квадрат. У него все стороны равны, а углы также являются прямыми. Не каждый может правильно определить тип фигуры, поскольку от этого шага зависит правильность вычислений какого-либо параметра.

Для каждого геометрического тела существуют определенные критерии, по которым можно узнать его принадлежность. Эти критерии называются признаками. Некоторые новички путают признаки и свойства, но существует главное отличие, которое заключено в определении терминов «признак» и «свойство». Кроме того, специалисты предлагают простой способ, позволяющий избежать путаницы между терминами.

Идентификация или признаки

Признак — некоторые критерии, по которым можно отнести фигуру к определенному типу. Свойствами называются некоторые аксиомы и утверждения, полученные при доказательстве теорем. Идентифицировать прямоугольник можно с помощью теоремы из эвклидовой геометрии. Она имеет такую формулировку: если три угла фигуры являются прямыми, то она является прямоугольником. Для доказательства нужно выполнить такие действия:

• Вычислить значение четвертого угла: D = 360 — (90 * 3) = 90 (градусов).
• Сопоставить сведения, полученные при вычислении, с определением.

Существуют также и другие признаки, по которым можно идентифицировать фигуру. По одному из них можно определить ее принадлежность к прямоугольнику. К признакам можно отнести такие:

• Равенство сторон, которые противоположны между собой.
• Внутренние углы между собой равны, а их градусная мера соответствует 90 градусам.
• Диагонали равны между собой.
• Сумма квадратов двух сторон, которые не противоположны, равна квадрату одной диагонали. Это следует из теоремы Пифагора, по которой находится одна из сторон прямоугольного треугольника.
• Если прямоугольник не является квадратом, то его стороны не равны одному значению.

Первый и второй признаки получаются из основного определения фигуры. Третий признак является следствием доказательства теоремы, формулировка которой является следующей: диагонали прямоугольника равны. Она еще называется теоремой о диагоналях прямоугольника.

Для ее доказательства нужно начертить произвольный прямоугольник ABCD и провести в нем диагонали AC и BD. Они будут пересекаться в некоторой точке X. Они образуют прямоугольные треугольники ABC и ABD. В этом случае нужно доказать равенство треугольников. Они равны между собой: сторона АВ — общая, угол А равен В и сторона BC = AD (по равенству противоположных сторон). Из этого следует, что треугольники равны. Следовательно, их гипотенузы, которые также являются и диагоналями, равны.

Четвертый признак также доказывается. Следует рассматривать прямоугольный треугольник ABC. Используя теорему Пифагора, нужно выразить гипотенузу, которая является диагональю фигуры, через катеты (стороны фигуры): AC ² = AB ² + BC ². Таким способом доказывается данный признак. Последнее утверждение получается из частного случая: если у прямоугольника все стороны равны, то он является квадратом.

Свойства фигуры

Необходимо отметить, что квадрат — правильный четырехугольник, поскольку у него все стороны равны. Результирующая формула диагонали прямоугольника будет выглядеть таким образом: d = (AB² + BC²)^(½). При решении задач применяются свойства прямоугольника:

• Каждый из углов равен 90 градусам.
• Стороны, которые являются противолежащими и параллельными, равны.
• Сумма углов внутри фигуры составляет 360.
• Пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам, также является центром окружности, описанной вокруг фигуры и центром симметрии.
• Треугольники, полученные в результате проведения диагоналей, равны.
• Суммарное значение квадратичных значений всех сторон эквивалентно двойному квадрату диагонали.
• Большой и маленький треугольники, образованные диагоналями, подобны. Следует обратить внимание на коэффициент подобия.
• Диагональ эквивалентна диаметру окружности, описанной около фигуры.
• Геометрическая характеристика фигуры (сумма противоположных углов составляет 180) позволяет описать вокруг нее окружность.
• Вписать круг в прямоугольник можно тогда, когда он является правильным, т. е. ширина эквивалентна длине (квадрат).
• Угол между смежными сторонами равен 90.
• В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, когда он является квадратом.
• Диагонали, пересекаясь между собой, образуют не разносторонние, а прямоугольные и равносторонние треугольники.
• Половина диагонали, проведенная из любой вершины фигуры, является медианой и высотой.
• Диагональ является биссектрисой (прямоугольник — квадрат).
• Средняя линия прямоугольника проходит через точку пересечения диагоналей.

Однако при решении задач свойств недостаточно. Для этого применяются специальные соотношения и формулы. Некоторые из них были получены из свойств фигуры. Во всех формулах будет браться радиус описанной окружности — R и ее диаметр — D, а также функция «sqrt», которая эквивалентна квадратному корню (x^(1/2) = x^(0.5)).

Периметр и площадь

Для удобства необходимо ввести некоторые обозначения. Диагонали следует обозначить литерой d, а противолежащие стороны — a и b, соответственно. Периметр — характеристика, соответствующая суммарному значению сторон фигуры. Очень часто ее обозначают литерой P. Существует также базовая формула: Р = 2а + 2b. Соотношение можно править таким способом: Р = 2 (a + b). Кроме того, существуют другие соотношения для определения P, когда известны некоторые параметры:

• Величина площади и сторона, которая известна: P = (2S + 2a ² ) / a или P = (2S + 2b ² ) / b.
• Диагональ и a (b): P = 2(a + (d ² — a ² )^(0.5)) = 2(b + (d ² — b ² )^(0.5)).
• a (b) и R: P = 2(a + (4 * R ² — a ² )^(0.5)) = 2(b + (4 * R ² — b ² )^(0.5)).
• D и a (b): P = 2(a + sqrt(D ² — a ² )) = 2(b + sqrt(D ² — b ² )).

Площадь — характеристика размерности двумерной фигуры. Ее обозначают литерой S, и измеряют в метрических единицах в квадрате (мм ², см ², м ² и т. д.). Следует отметить, что она вычисляется интегральным методом. Однако для частных случаев существуют соотношения. Формула, которая является основанием для всех остальных соотношений, называется базовой. Она имеет такой вид: S = a * b. Площадь находится в зависимости от параметров, которые известны:

• P и a (b): S = [(P * a) — 2a ² ] / 2 = [(P * b) — 2b ² ] / 2.

• a (b) и d: S = a * sqrt[d ² — a ² ] = b * sqrt[d ² — b ² ].

• Синус острого угла (Y) между двумя d и d: S = d ² * sin (Y) / 2.

• R и a (b): S = a * sqrt[4 * R ² — a ² ] = b * sqrt[4 * R ² — b ² ].

• D и a (b): S = a * sqrt[D ² — a ² ] = b * sqrt[D ² — b ² ].

Для решения различных задач также могут быть полезны и другие соотношения, позволяющие найти не только диагонали, но и стороны прямоугольника.

Диагонали и стороны

Для оптимизации решения нужно знать формулы, с помощью которых можно находить одну из сторон или диагональ прямоугольника. Необходимо разобрать основные соотношения, по которым находятся стороны фигуры, когда известны следующие параметры:

• d и a (b): a = sqrt[d ² — b ² ] и b = sqrt[d ² — a ² ].
• S и a (b): a = S / b и b = S / a.
• P и a (b): a = (P — 2b) / 2 и b = (P — 2a) / 2.

Для нахождения диагонали также есть некоторые формулы. Для их применения следует знать такие параметры фигуры:

• a и b: d = [a ² + b ² ]^(1/2).

• S и a (b): d = (S ² + a ⁴ )^(1/2) / a= (S ² + b ⁴ )^(1/2) / b.

• P и a (b): d = (P ² — 4Pa + 8a ² )^(1/2) / 2 = (P ² — 4Pb + 8b ² )^(1/2) / 2.

• R и D: d = 2R и d = D.

Однако это не все соотношения. В некоторых случаях разрешается описывать окружность вокруг фигуры. С помощью такого «геометрического хода» можно существенно упростить решение задачи. Это позволяет воспользоваться другими формулами.

Другие соотношения

Для решения задач используются и другие соотношения, которые позволяют найти параметры окружности, которая описана. Пусть дана окружность с радиусом R и диаметром D. Кроме того, известны некоторые параметры фигуры (a, b, d, P и S). С помощью формул можно найти D и R окружности при известных некоторых величинах:

• a и b: R = (a ² + b ² )^(1/2) / 2.

• P и a (b): R = (P ² — 4Pa + 8a ² )^(1/2) / 4 = (P ² — 4Pb + 8b ² )^(1/2) / 4.

• S и a (b): R = (S ² + a ⁴ )^(1/2) / 2a = (S ² + b ⁴ )^(1/2) / 2b.

• d: R = d / 2.
• sin(F), прилегающего к диагонали и стороне, и a: R = a / 2sin (F).
• cos(F) и b: R = b / 2cos (F).

Для нахождения угла F следует воспользоваться такой формулой: sin (F) = a / d и cos (F) = b / d. Острый угол между двумя диагоналями определяется при помощи такого соотношения: sin (Y) = 2S / d ² .

Пример решения

Пусть дана некоторая фигура, диагонали которой равны, а ее периметр равен 50. Одна из сторон a = 10. Следует провести идентификацию, а также найти такие параметры:

• Другие стороны.
• Значения диагоналей.
• Площадь.
• R описанной окружности через площадь и периметр.
• Выяснить возможность укладки плитки в форме квадрата на такую поверхность.
• Вычислить значения всех углов между смежными сторонами.

Данная задача является типом сложного класса, поскольку название фигуры не упоминается. Ее следует идентифицировать, а затем применить некоторые формулы для решения. Кроме того, необходимо верно выполнить 5 пункт. Однако не следует углубляться в строительную сферу. Бывают два метода укладки плитки: обычный — форма помещения является прямоугольником или квадратом, и с центра — другая фигура.

У фигуры диагонали равны, значит по третьему признаку она является прямоугольником. К нему можно применять вышеописанные формулы. Для нахождения другой стороны следует составить уравнение 2x + 2 * 10 = 50. Затем нужно перенести все известные значения в правую часть: 2х = 50 — 20. Далее можно найти переменную: х = 30 / 2 = 15 (ед.). Следует обратить внимание на написание единицы измерения. Если в условии задачи она не указана, то пишется единица измерения, которая заключается в круглые скобки. Достаточно найти только одну сторону, поскольку у прямоугольника существует свойство равенства противоположных сторон.

Значение диагоналей находится по формуле: d = [a ² + b ² ]^(1/2) = (15 ² + 10 ² )^(1/2) = (225 +100)^(1/2) = (325)^(1/2). Площадь можно найти таким образом: S = a * b = 15 * 10 = 150 [(ед.)^2]. Радиус вычисляется так:

• R = (P ² — 4Pa + 8a ² )^(1/2) / 4 = (50 ² — 4 * 50 * 10 + 8 * 10 ² )^(1/2) / 4 = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

• R = (S ² + a ⁴ )^(1/2) / 2a = (150 ² + 100 ⁴ )^(1/2) / (2 * 10) = (1300)^(1/2) / 4 (ед.).

Плитку можно укладывать обыкновенным способом, начиная не с центра, поскольку поверхность является прямоугольником. Все углы между сторонами равны между собой. Их градусная мера по 12 свойству соответствует 90.

Таким образом, при решении задач рекомендуется идентифицировать геометрическую фигуру, а затем применять к ней формулы.

Зная угол между диагоналями, можем найти оба угла пересечения диагонали со стороной. Если построить перпендикуляр из точки пересечения диагоналей в сторону – полуось симметрии прямоугольника, то мы получим прямоугольный треугольник, подобный тому, который образует диагональ со сторонами. Из этого треугольника видно, что углы, образованные сторонами и диагональю, в два раза меньше, чем углы при пересечении диагоналей. (рис. 56.2, 56.3)
α=γ/2
β=δ/2

При этом можно использовать свойство вертикальных углов, которое говорит о том, что острый и тупой угол в сумме дают 180 градусов, для того чтобы найти второй центральный угол.
m(

Или из прямоугольного треугольника с диагональю и сторонами найти сначала угол α и затем вычесть его из 90 градусов.
m(

Теперь имея угол, между стороной и диагональю, и саму диагональ, можно найти стороны, используя прямоугольный треугольник. (рис. 56.1) Отношение противолежащего катета – стороны к гипотенузе – диагонали является синусом угла α, следовательно, сторона прямоугольника равна произведению синуса на диагональ. Вторая сторона будет равна тогда произведению косинуса угла α на диагональ, так как она является прилежащей углу.
b=d sin⁡(α/2)
a=d cos⁡(α/2)

Те же самые формулы в обратном порядке можно использовать для угла β:
a=d sin⁡β
b=d cos⁡β

Если необходимо найти периметр и площадь прямоугольника, следует подставить в формулы вместо сторон выведенные выражения.
P=2(a+b)=2(d sin⁡β+ d cos⁡β )=2d(sin⁡β+ cos⁡β)
P=2d(sin⁡α+ cos⁡α)
S=ab=d sin⁡β* d cos⁡β=d^2 sin⁡β cos⁡β
S=d^2 sin⁡α cos⁡α

Для того чтобы найти радиус окружности, которую можно описать вокруг прямоугольника, нужно разделить его диагональ на два, так как она совпадает с диаметром. (рис.56.3)
R=d/2