Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле
где и
— угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения
,
т. е. частные значения в точке производных от
по
из уравнений этих кривых:
Рис.1
Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая и парабола
;
2) эллипс и парабола
;
3) синусоида и косинусоида
.
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: и
, рис.2.
Рис.2
Далее находим производную от по
из уравнения параболы:
и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках
и
, как частные значения этой производной:
Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим
2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: и
рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты
и
касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от
по
из их уравнений
Рис.3
Подставляя координаты точки , получим
и
. Следовательно, в точке
:
Под таким же углом кривые пересекаются и в точке вследствие их симметричности относительно оси
.
В точке имеем:
, следовательно, в точке
кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением , решая которое, получим
Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде:
Рис.4
Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
Положительному знаку соответствует острый угол , отрицательному — тупой, смежный с ним угол
.
Углом
между двумя кривыми
у
= f1(x)
и у
= f2(x)
в точке их пересечения М0(х0,
у0)
называется угол между касательными к
этим кривым в точке М0.
Этот угол определяется по формуле
=
.
Пример.
Найти угол между параболами
у
= 8 – х2
и у
= х2.
□ Для
нахождения координат точек пересечения
заданных кривых решим систему уравнений
В
результате получим А(2;
4) и В(−2;
4). Продифференцируем уравнения парабол:
= −2х,
= 2х.
Найдем значения
и
для точки А(2;
4):
= −4,
= 4. Следовательно,
=
=
и
=
.
Аналогично
определяется угол между кривыми в точке
В(−2;
4):
=
.
■
§ 21. Формула тейлора
Теорема.
Пусть функция f(x)
имеет в точке а
и некоторой ее окрестности производные
порядка п
+ 1. Пусть х
– любое значение аргумента из указанной
окрестности, х
≠ а.
Тогда между точками а
и х
найдется точка
такая, что справедлива формула:
f(x)
= f(а)
+
(х
– а)
+
(х
– а)2+
…+
(х
– а)п
+
+
(х
– а)п+1.
Эту
формулу называют формулой
Тейлора.
Выражение
Rn+1(x)
=
(х
– а)п+1
называют
остаточным
членом
формулы Тейлора.
Запишем остаточный
член в другом виде:
так
как
(а,
х),
то найдется число
,
0 <
< 1, что
= а
+
(х
– а)
и тогда
Rn+1(x)
=
(х
– а)п+1,
0 <
< 1.
Эта
форма остаточного члена наиболее
употребительна в приложениях.
Если
в формуле Тейлора а
= 0, то получим формулу
Маклорена:
f(x)
= f(0)
+
х
+
х2
+
… +
хп
+
Rn+1(x)
с
остаточным членом
Rn+1(x)
=
хп+1,
0 <
< 1.
Разложение
некоторых элементарных функций по
формуле Маклорена
1.
f(x)
= ех.
Так как
f(x)
=
=
= … = f
п+1(x)
= ех,
f(0)
=
=
= … = f
п+1(0)
= 1,
то
формула Маклорена имеет вид
ех
= 1 +
+
+
+…+
+ Rn+1(x),
где
Rn+1(x)
=
хп+1,
0 <
< 1.
Аналогично
можно разложить по формуле Маклорена
следующие функции:
2.
f(x)
=
.
= х
−
+
−
+
…+ (−1)т+1
+ R2т(x),
где
R2т(x)
= (−1)т
·
,
0 <
< 1.
3.
f(x)
=
.
= 1
−
+
−
+
…+ (−1)т
+ R2т+1(x),
где
R2т+1(x)
= (−1)т+1
·
,
0 <
< 1.
4.
f(x)
= (1 + х)т.
(1
+ х)т
=1+
х+
х2+
х3+…+
+
хп
+Rn+1(x),
где
Rn+1(x)=
хп+1(1
+
)т—п-1,
0 <
< 1.
Пример.
Вычислить число е.
□ Запишем
разложение ех
по формуле Маклорена:
ех
= 1+
+
+
+…+
+
хп+1,
0 <
< 1.
Если
заменить функцию ех
ее многочленом Тейлора степени п
(отбросим остаточный член), то получим
приближенное равенство
ех
1 +
+
+
+…+
,
(1)
абсолютная
погрешность которого
| Rn+1(x)
| =
| х
|п+1,
0 <
< 1.
Если
рассматривать функцию ех
для −1 ≤ х
≤ 1, то
|
Rn+1(x)
| ≤
<
.
Полагая
в (1) х
= 1, получаем приближенное значение числа
е
≈ 1+
+
+
+ …+
.
При
этом | Rn+1(x)
| <
.
Если
требуется вычислить значение е
с точностью
= 0,001, то число п
определяется из неравенства
< 0,001, или (п
+ 1)! > 3000,
которое
выполняется при п
= 6. Следовательно,
е
≈ 1+
+
+
+ …+
.
Вычисляя
с четырьмя знаками после запятой, получим
е
≈ 2,7180.
Три
знака после запятой гарантированы.
■
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
How to Find Angle Between Two Curves — Formula, Example
Definition
When two curves intersect each other the angle at the intersecting point is called as angle of intersection between two curves.
Formula
tan(θ) = (m2-m1)/(1+(m1.m2)) ∀ m2>m1
tan(θ) = (m1-m2)/(1+(m1.m2)) ∀ m1>m2
Where,
m1 = Curve 1 Tangent line slope
m2 = Curve 2 Tangent line slope
Example
Find the acute angle between the two curves y=2x2 and y=x2-4x+4
Given ,
Here the 2 curves are represented in the equation format as shown below
y=2x2 —> (1)
y=x2-4x+4 —> (2)
Let us learn how to find angle of intersection between these curves using this equation.
Solution :
Step 1 :
Solving equ 1 and equ 2
2x2 = y
x2— 4x + 4 = y
x2+ 4x — 4 = 0
By factorizing the quadratic equation x2+ 4x — 4 = 0
we get the x values as x = 0.8 and x = -4.8
From the x values the maximum value (0.8) is substituted in equation 1 to find y value
Where,
y = 2x(0.8)2
y = 1.3
From this values we get (0.8,1.3), which is an intersect point of curve.
Step 2 :
Differentiate equ.1 and equ.2
Differentiation of equ 1 y=2x2
dy/dx = 4x —> (3)
Where,
dy/dx(x2) = 2x
Differentiation of equ 2 y=x2-4x+4
dy/dx = 2x — 4 —> (4)
Where ,
dy/dx(x) = 1 and dy/dx(constant) = 0
Step 3 :
Find the slope by substituting intersect point (0.8,1.3) in equ.3 and equ.4,
Equ. 3 4x = 4(0.8) = 3.2 = m1
Equ. 4 2x — 4 = 2(0.8) — 4 = -2.4 = m2
Step 4 :
Find the Angle by substituting slope values in Formula
tan(θ) = (m1-m2)/(1+(m1.m2)) ∀ m1>m2
From formula θ = tan-1[(m1-m2)/(1+(m1.m2))]
θ = tan-1((3.2+2.4)/(1+(3.2*-2.4))
θ = tan-1(5.6/-6.68)
θ = tan-1(0.8383)
θ = 39.974 °
Therefore, the angle of intersection between the given curve is θ = 39.974 °
Related Tutorials:
- Learn How To Calculate Distance Between Two Points
- Learn How To Calculate Coordinates Of Point Externally/Internally
- Learn How To Calculate Mid Point/Coordinates Of Point
- Centroid Of A Triangle Tutorial
- Learn How To Calculate Angle Between Lines And Plane?
- Learn Least Square Regression Line Equation — Definition, Formula, Example
Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и
$y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.
Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:
$$begin{array}{c}
left{begin{array}{l}
y_{1}=x^{2}-1 \
y_{2}=x^{3}-1
end{array} Rightarrow x^{2}-1=x^{3}-1 Rightarrow x^{3}-x^{2}=0 Rightarrowright. \
Rightarrow x_{1,2}=0, x_{3}=1
end{array}$$
Таким образом, искомая точка $x=1$.
Далее находим производные заданных функций в найденной точке:
$$begin{array}{c}
y_{1}^{prime}=left(x^{2}-1right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(1)^{prime}=2 x-0=2 x, y_{1}^{prime}(1)=2 \
y_{2}^{prime}=left(x^{3}-1right)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}-(1)^{prime}=3 x^{2}-0=3 x^{2}, y_{2}^{prime}(1)=3
end{array}$$
Итак, искомый тангенс:
$$operatorname{tg} phi=frac{3-2}{1+2 cdot 3}=frac{1}{7}$$
Ответ. $operatorname{tg} phi=frac{1}{7}$
Лучший ответ
|
|
 |
|
