Как найти угол пересечения парабол - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Углом
между двумя кривыми
у
= f₁(x)
и у
= f₂(x)
в точке их пересечения М₀(х₀,
у₀)
называется угол между касательными к
этим кривым в точке М₀.
Этот угол определяется по формуле

=

.

Пример.
Найти угол между параболами

у
= 8 – х²
и у
= х².

□ Для
нахождения координат точек пересечения
заданных кривых решим систему уравнений

В
результате получим А(2;
4) и В(−2;
4). Продифференцируем уравнения парабол:

= −2х,

= 2х.
Найдем значения

для точки А(2;
4):

= −4,

= 4. Следовательно,

=

.

Аналогично
определяется угол между кривыми в точке
В(−2;
4):

.
■

§ 21. Формула тейлора

Теорема.
Пусть функция f(x)
имеет в точке а
и некоторой ее окрестности производные
порядка п
+ 1. Пусть х
– любое значение аргумента из указанной
окрестности, х
≠ а.
Тогда между точками а
и х
найдется точка

такая, что справедлива формула:

f(x)
= f(а)
+

(х
– а)
+
(х
– а)²+
…+

(х
– а)^п+

+
(х
– а)^п⁺¹.

Эту
формулу называют формулой
Тейлора.

Выражение

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹

называют
остаточным
членом

формулы Тейлора.

Запишем остаточный
член в другом виде:

так
как

(а,
х),
то найдется число

,
0 <

< 1, что

= а
+

(х
– а)
и тогда

R_n₊₁(x)
=

(х
– а)^п⁺¹,
0 <

< 1.

Эта
форма остаточного члена наиболее
употребительна в приложениях.

Если
в формуле Тейлора а
= 0, то получим формулу
Маклорена:

f(x)
= f(0)
+

х
+

х²+
… +

х^п+
R_n₊₁(x)

с
остаточным членом

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Разложение
некоторых элементарных функций по
формуле Маклорена

1.
f(x)
= е^х.

Так как

f(x)
=

= … = f
^п⁺¹(x)
= е^х,

f(0)
=

= … = f
^п⁺¹(0)
= 1,

то
формула Маклорена имеет вид

е^х
= 1 +

+…+

+ R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)
=

х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Аналогично
можно разложить по формуле Маклорена
следующие функции:

2.
f(x)
=

= х
−

−

+
…+ (−1)^т⁺¹

+ R₂_т(x),

где
R₂_т(x)
= (−1)^т
·
,
0 <

< 1.

3.
f(x)
=

= 1
−

−

+
…+ (−1)^т

+ R₂_т₊₁(x),

где
R₂_т₊₁(x)
= (−1)^т⁺¹
·
,
0 <

< 1.

4.
f(x)
= (1 + х)^т.

(1
+ х)^т
=1+
х+
х²+

х³+…+

+

х^п
+R_n₊₁(x),

где

R_n₊₁(x)=

х^п⁺¹(1
+

)^т^—^п-¹,
0 <

< 1.

Пример.
Вычислить число е.

□ Запишем
разложение е^х
по формуле Маклорена:

е^х
= 1+

+…+

+
х^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
заменить функцию е^х
ее многочленом Тейлора степени п
(отбросим остаточный член), то получим
приближенное равенство

е^х

1 +

+…+

,
(1)

абсолютная
погрешность которого

| R_n₊₁(x)
| =

| х
|^п⁺¹,
0 <

< 1.

Если
рассматривать функцию е^х
для −1 ≤ х
≤ 1, то

|
R_n₊₁(x)
| ≤

<

.

Полагая
в (1) х
= 1, получаем приближенное значение числа

е
≈ 1+

+ …+

.

При
этом | R_n₊₁(x)
| <

Если
требуется вычислить значение е
с точностью

= 0,001, то число п
определяется из неравенства

< 0,001, или (п
+ 1)! > 3000,

которое
выполняется при п
= 6. Следовательно,

е
≈ 1+

+ …+

.

Вычисляя
с четырьмя знаками после запятой, получим

е
≈ 2,7180.

Три
знака после запятой гарантированы.
■

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле

$displaystyle tg: varphi =frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},; ; (2)$

где $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения $displaystyle P(x_{0},y_{0})$ ,
т. е. частные значения в точке $displaystyle x_{0}$ производных от по из уравнений этих кривых:

$displaystyle k_{1}=tg: alpha _{1}=left ( frac{dy_{1}}{dx} right )_{x=x_{0}};; k_{2}=tg: alpha _{2}=left ( frac{dy_{2}}{dx} right )_{x=x_{0}}.$

Рис.1

Пример 1. Найти углы, под которыми пересекаются следующие линии:
1) прямая displaystyle x+y-4=0 и парабола $displaystyle 2y=8-x^{2}$ ;
2) эллипс $displaystyle x^{2}+4y^{2}=4$ и парабола $displaystyle 4y=4-5x^{2}$ ;
3) синусоида displaystyle y=sin x и косинусоида displaystyle y=cos x .
Решение.
1) Совместно решая уравнения параболы и прямой, находим, что они пересекаются в двух точках: A(0;4) и B(2;2) , рис.2.

Рис.2

Далее находим производную от по из уравнения параболы: displaystyle 2y'=-2x,: y'=-x и определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и , как частные значения этой производной:

$displaystyle y'_{A}=k_{A}=0;; y'_{B}=k_{B}=-2.$

Угловой коэффициент прямой один и тот же во всех ее точках; у данной прямой он равен — 1.
Согласно формуле (2) получим

$displaystyle textrm{tg}: A=1,: A=45^{circ};; textrm{tg}: B=frac{-1+2}{1+2}=frac{1}{3},; Bapprox 18,5^{circ}.$

2) Решая совместно уравнения кривых, находим их общие точки: A(1,2;-0,8), B(0;1) и C(-1,2;-0,8) рис.3. Затем определяем угловые коэффициенты $displaystyle k_{1}$ и $displaystyle k_{2}$ касательных в любой точке эллипса и параболы как производные от по из их уравнений

$displaystyle k_{1}=-frac{x}{4y};; k_{2}=-frac{5}{2}x.$

Рис.3

Подставляя координаты точки , получим $displaystyle k_{1}=frac{3}{8}$ и $displaystyle k_{2}=-3$ . Следовательно, в точке :

$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{frac{3}{8}+3}{1-frac{9}{8}}=-27;; varphi approx 92^{circ}.$

Под таким же углом кривые пересекаются и в точке вследствие их симметричности относительно оси .
В точке имеем: $displaystyle k_{1}=k_{2}=0$ , следовательно, в точке кривые имеют общую касательную, т. е. касаются друг друга. В этой точке угол между кривыми равен нулю.
3) Абсциссы точек пересечения кривых (рис.4) определяются уравнением displaystyle sin x=cos x , решая которое, получим

$displaystyle x=frac{pi }{4}+pi n; (n=0,pm 1,pm 2,...).$

Дифференцированием находим угловые коэффициенты касательных к синусоиде и косинусоиде: $displaystyle k_{1}=cos x;: k_{2}=-sin x.$

Рис.4

Искомый угол между кривыми определяем по общей формуле (2)
$displaystyle textrm{tg}: varphi =frac{cos x+sin x}{1-cos xsin x}=pm frac{frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}}{1-frac{1}{2}}=pm 2sqrt{2}.$
Положительному знаку соответствует острый угол $displaystyle varphi approx 70,5^{circ}$ , отрицательному — тупой, смежный с ним угол $displaystyle varphi_{1} approx 109,5^{circ}$ .

Источник

We cannot find two real focal lengths $a,b$ satisfying the given relation. Minimum value of $ (a/b)^3 +(b/a)^3 $ is $=2$ at $ (a/b) = 1 $ (when two identical parabola axes are orthogonally placed).

So instead we try to find what may have lead to such an anomalous problem formulation.

Parabola equations
$$ y^ 2 = 4 a x,, x^2= 4 b y, ;tag1$$

Points of intersection
$$(x,y) = ( 4 a ^{frac13} b^{frac23}, 4 a ^{frac23} b^{frac13} ,) ; tag2$$

Slopes at parabolas intersection

$$left( frac{2a}{y},frac {x}{2b} right) = left( frac{(a/b)^{^ dfrac13}}{2} , 2 (a/b)^ {dfrac13} right) = (m_a,m_b); tag3$$

Tangent of angle $varphi_{ab}$ between parabola tangents at the intersection point:

$$ dfrac{m_a-m_b}{1+ m_b m_a} = dfrac { 3/2 } {{(a/b)}^{frac13} +{(b/a)}^{frac13} }; tag{4}$$

$$ tan varphi_{ab} = dfrac { 3/2 } {{(a/b)}^{frac13} +{(b/a)}^{frac13} }; tag{5}$$

which should be the guiding criterion to set up such a problem.

In a more realistic particular case we take $( a=1,,b=2) $ The figure verifies computed intersection point and $varphi_{ab} approx tan^{-1} 0.7304 approx 36.14^0$ graphically a bit less than maximum possible.

EDIT 1:

Equation(5) above offers some hind/insight. Right hand side is bounded on one side to minimum value $2$ , $tan $ function has range $ (-infty,infty),$ so we cannot have $varphi_{ab}$ more than $ tan^{-1}frac34 approx 36.87^0 $ when two identical hyperbolae intersect.

Had the problem been set up assuming a solution value $ 0< varphi_{ab} < 36.87 ^0 $ like e.g.,

$$ (a/b)^{frac13} +(b/a) ^{frac13} = 2.5, tag{6} $$

the problem posing would have been OK.. resulting in two solutions for this case with

$$ a/b = 8, , 1/8, , varphi_{ab} =30.964^0 $$

In Conclusion

Two parabolas whose vertices touch coordinate axes at origin cannot intersect at acute angles in excess of $ tan^{-1}frac34 approx 36.87^ 0= sin^{-1}dfrac35. $

EDIT 2:

Maybe we can attempt a generalization:

A single $C_1$ parameter family of curves tangential to x axis at origin cuttng another $C_2$ parameter curves tangent to y-axis at origin forms a maximum angle between tangents when $ C_1=C_2.$

In case of circles they all cut orthogonally.

Источник

Как найти угол под которым пересекаются кривые

Читайте также:

II. Операционная стратегия на примере отдельного предприятия.
PEST-анализ и пример его использования
SWOT-анализ и пример его использования
VI. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ
А Примерный перечень вопросов, рассматриваемых на практических занятиях
А. Работа переписчиков на Руси. Причины и примеры порчи текста в древнеславянских рукописях библейских книг.
А.2. Пример описания объекта
Анализ примера
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 1 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 2 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 3 страница
Аппаратная поддержка мультипрограммирования на примере процессора Pentium 4 страница

Решение.Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений

Отсюда имеем , . Далее, определим угловые коэффициенты касательных к параболе в точках и .Соответственно имеем , . Угловой коэффициент прямой во всех точках один и тот же и равен в нашем случае 2. Далее находим углы ,

Пример 3.Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

, .

Решение. Находим производную . Далее находим значение из уравнения . Имеем, .Значения функции при есть и . Отсюда имеем, и точки заданной линии в которых касательная к этой линии параллельна данной прямой . Найдем теперь уравнения этих касательных. Используя формулу (1), получим

-уравнение касательной в точке ,

-уравнение касательной в точке .

Контрольные вопросы.

1.Геометрический смысл производной.

2.Касательная и нормаль к кривой.

3.Угол между двумя кривыми.

4.Другие приложения производной.

Задания.

1.Найти углы, под которыми пересекаются эллипс и парабола

, .

2. Определить в каких точках заданной линии касательная к этой линии параллельна прямой и написать уравнение этой касательной

1) , ; 2) , ; 3) , .

3.Найти угол между кривой и прямой

Дата добавления: 2014-12-16 ; Просмотров: 3162 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали — по формуле По условию, .

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

Подставим полученные решения в равенство

Найдем производную функции, заданной параметрически .

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

Ответ: уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Таким образом, кривые пересекаются в точках .

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

производный дифференцирование уравнение планиметрический

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

Ответ: в точке угол равен 0 (т.е. касательные совпадают), в точке угол равен .

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

Требуется найти максимум функции .

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Определим критические точки: .

Так, — точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа — отрицательна.

Очевидно, что — точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет . Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Пусть стороны прямоугольника равны . Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдём производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что , поэтому нас интересует точка .Слева от нее производная отрицательна, а справа — положительна.

Так, — точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

Выразим через и стороны треугольника . Из подобия треугольников и следует, что

В результате площадь записывается как функция:

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса ,

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию . По теореме синусов:

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен . Определить радиус полукруга , при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна . Другую сторону обозначим через . Периметр всего окна выражается формулой

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию . Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

то найденная точка является точкой максимума, т.е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

Ответ: радиус полукруга , при котором площадь является наибольшей.

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

Источник

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Март 4, 2014 by Вячеслав Моргун

Для того, чтобы ответить на вопрос: «под каким углом пересекаются кривые»,
найдем
1. координаты точек пересечения.
2. уравнения касательных к кривым в точках пересечения
3. угол между касательными
Решение:
1. найдем координаты точек пересечения, для этого решим систему уравнений $$ begin{cases}x^2 + y ^2 = 5\ y^2 =4xend{cases} => begin{cases}x^2 + 4x -5= 0\ y^2 =4xend{cases} => begin{cases} x_1 = -5, x_2 =1\ y^2 =4xend{cases} => $$ Рассмотрим ОДЗ кривой (y^2 = 4x), т.к. (y^2 > 0 ), то (x > 0 ), т.е. корень (x_1 = -5) не подходит из -за ОДЗ кривой (y^2 = 4x), получаем $$begin{cases} x =1\ y_1 = -2; quad y_2 = 2 end{cases} => $$
получили две точки пересечения с координатами (1;-2) и (1;2).

2. найдем уравнения касательных в точках пересечения. Уравнение касательной (y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)).
Для уравнений касательных найдем производную функций по переменной (x)
((x^2 + y ^2 — 5)’ = 0 => 2x+2yy’ =0 => y’ = -frac{x}{y}) — производная уравнения окружности
((y ^2 — 4x)’ = 0 => 2yy’ =4 => y’ = frac{2}{y}) — производная параболы
Запишем уравнения касательных для точек пересечения
((1;2)) — касательная к параболе в точке( y = 2 + frac{2}{2}(x-1) => y = 1+x) => (k_2 = 1)
((1;2)) — касательная к окружности в точке ( y = 2 -frac{1}{2}(x-1) => y = frac{5}{2} — frac{1}{2}x) => (k_1 = -frac{1}{2})
((1;-2)) — касательная к параболе в точке( y = -2 + frac{2}{-2}(x-1) => y = -1-x) => (k_2 = -1)
((1;-2)) — касательная к окружности в точке ( y = -2 -frac{1}{-2}(x-1) => y = -frac{5}{2} + frac{1}{2}x) => (k_1 = frac{1}{2})

3. Угол между касательными находится по формуле ( tg(x) = frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1})
для точки ((1;2)) — ( tg(x) = |frac{1+frac{1}{2}}{1-1*frac{1}{2}}| = 3 => x approx 77^0 )
для точки ((1;-2)) — ( tg(x) = |frac{-1-frac{1}{2}}{1-1*frac{1}{2}}| = 3 => x approx 77^0 )

Ответ: угол пересечения ( x approx 77^0 )

4. Графики кривых и касательных

Источник