От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.
Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).
Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.
Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)
, откуда
Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.
Нахождение углов треугольника по заданным сторонам
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Количество цифр после запятой
Десятичный разделитель
Разделитель групп разрядов
История вычислений
Автоконвертация
Угол
Число ПИ
Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая
из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует
определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми.
Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как
прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная
определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как
линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.
- Угол треугольника через три стороны
- Угол прямоугольного треугольника через две стороны
- Угол треугольника через высоту и катет
- Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и боковую сторону - Угол при основании равнобедренного треугольника через
биссектрису и основание - Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника
через биссектрису и боковую сторону - Острый угол прямоугольного треугольника через катет и
площадь - Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного
треугольника через площадь и боковую сторону
Угол треугольника через три стороны
Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно
теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его
сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за
предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β).
Из полученного равенства можно вычислить
cos(α) = (a² + c² — b²) / 2ac
cos(β) = (a² + b² — c²) /
2ab
cos(γ) = (b² + c² — a²) / 2cb
где a, b, c — стороны треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21.
Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если
Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.
Угол прямоугольного треугольника через две стороны
Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти
один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.
sin(α) = cos (β) = a / c
sin(β) = cos (α) = b / c
tg(α) = ctg(β) = a
/ b
tg(β) = ctg(α) = b / a
где a, b — катеты, c — гипотенуза.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c =
15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление
тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9. По таблице Брадиса, угол
α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8. В
этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.
Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь
Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади
прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим
образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для
нахождения угла будет следующая:
tg(α) = a² / 2S
где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132.
Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.
Угол треугольника через высоту и катет
В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из
катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h.
Второй катет a остается со своим обычным названием.
sin α = h / a
где h — высота, a — катет.
Цифр после запятой:
Результат в:
Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание
Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC
на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих
половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α
= γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый
равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и
равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для
треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:
tg α = L / (a/2)
где L — биссектриса, a — основание.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу
получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º
Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB =
BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку
пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание
поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK).
Согласно свойствам внешнего угла:
sin α = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в
формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону
В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и
углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и
пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того,
биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA
и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения
угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например,
на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы,
прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла
через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC,
которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также
поделила пополам).
2cos(β) = L / b
где L — биссектриса, b — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64
см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º
Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую
сторону
Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh, где b – это
основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два
прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону
будет следующая:
sin(α) = 2S / b²
где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно
вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º
Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°.
Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления
углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы
треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и
использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся
неизвестные.
Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять
данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.
Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем
данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит углы ( alpha, beta ) и ( gamma ) по заданным пользователем
сторонам ( a, b ) и ( c )
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5
Введите стороны a, b и c
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Теорема синусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} $$
Теорема косинусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное
на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba cos A $$
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным
элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC:
AB = c, BC = a, CA = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано: ( a, b, angle C ). Найти ( c, angle A, angle B )
Решение
1. По теореме косинусов находим (c):
$$ c = sqrt{ a^2+b^2-2ab cos C } $$
2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
$$ cos A = frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
По ( cos A ) находим ( angle A ) с помощью микрокалькулятора или по таблице.
3. ( angle B = 180^circ -angle A -angle C )
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: ( a, angle B, angle C ). Найти ( angle A, b, c )
Решение
1. ( angle A = 180^circ -angle B -angle C )
2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и c:
$$ b = a frac{sin B}{sin A}, quad c = a frac{sin C}{sin A} $$
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: ( a, b, c ). Найти ( angle A, angle B, angle C )
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ cos A = frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
По ( cos A ) находим ( angle A ) с помощью микрокалькулятора или по таблице.
2. Аналогично находим угол B.
3. ( angle C = 180^circ -angle A -angle B )
Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны
Дано: ( a, b, angle A ). Найти ( c, angle B, angle C )
Решение
1. По теореме синусов находим ( sin B ) получаем:
$$ frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} Rightarrow sin B = frac{b}{a} cdot sin A $$
Введём обозначение: ( D = frac{b}{a} cdot sin A ). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. ( sin B ) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный ( angle B: quad sin B = 1 Rightarrow angle B = 90^circ )
Если D < 1 и a < b, то ( angle B ) имеет два возможных значения: острый ( angle B = arcsin D ) и тупой
( angle B’ = 180^circ — angle B )
Если D < 1 и ( a geqslant b), то ( angle A geqslant angle B ) (против большей стороны лежит больший угол). Т.к. в треугольнике не
может быть двух тупых углов, тупой угол для ( angle B ) исключён, и угол ( angle B = arcsin D ) единственный.
2. ( angle C = 180^circ -angle A -angle B )
3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a frac{sin C}{sin A} $$
Теорема косинусов
Определение теоремы косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
a2=b2+c2-2*b*c*cos(A)
b2=a2+c2-2*a*c*cos(B)
c2=a2+b2-2*a*b*cos(C)
Расчёт стороны по теореме косинусов
Введите сторону
Введите сторону
Введите угол
Формула расчёта стороны по теореме косинусов
Где a, b и c — стороны треугольника,
A — угол между сторонами b и c
Расчёт углов треугольника по теореме косинусов
Введите сторону a
a =
Введите сторону b
b =
Введите сторону c
c =
Формулы расчёта углов по теореме косинусов
Где a, b и c — стороны треугольника,
A, B и C — углы треугольника
Доказательство теоремы косинусов
Дано
Треугольник со сторонами a, b и c.
Доказать
a2=b2+c2-2*b*c*cos(α)
Доказательство
Из вершины B проведём высоту h
Сравним и упростим
Теорема доказана